IH

xV qq^ qq^q^ qq^-^qt

qq,..

X x^i x^i^2 isii-'-qi xqi'-qi

Le nombre K se conserve donc en coordonnées tangentielles avec la même signification. Si Ton se reporte à l'expression de ^, on voit que ce nombre se conserve aussi; par conséquent : la somme des ordres des contacts des branches de deux cycles différents et la somme analogue pour deux cycles corrélatifs sont égales entre elles.

70. Le premier problème à la solution duquel nous allons appliquer les notions qui précèdent est celui-ci : Véquaiion d^une courbe étant donnée en coordonnées ponctuelles y et les points multiples étant connus j trouver la classe de la

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courbe sans former V équation en coordonnées tangent telles.

Les points de contact des tang^entes menées d'un point a sont les zéros, variables avec ce point, pour le covariant

différentiel ioLU—r-y Soit /(i/i, u^j U's)=o l'équation de

la courbe ; les trois coordonnées tangentielles [U-j-] sont

proportionnelles aux dérivées partielles de /. Au covariant différentiel, on peut donc substituer le covariant fini

dt ôt dt

aux au2 uuz

polaire du point a. Pour préciser les coordonnées, nous les supposerons liées par une relation linéaire. Sous cette convention, F est un covariant absolu; il reste absolument in- A'^ariable si l'on change les coordonnées. Pour cette raison, on peut supposer les points à coordonnées infinies situés sur une droite arbitrairement choisie. En appliquant à Fia proposition générale du n° 27, nous aurons donc, pour la somme des ordres de F répondant aux coordonnées infinies, le nombre — m [m — I ), où 77Z est le degré de la courbe proposée.

Relativement à un cycle, dont l'origine a des coordonnées finies, l'ordre de F diffère de zéro, quel que soit le point a,

dans le cas où les trois dérivées partielles — sont nulles à

^ du

l'origine dé ce cycle. C'est précisément là le caractère des points singuliers. Prenons un tel point et, pour calculer l'ordre de F relativement à un des cycles^ choisissons les coordonnées u^ et u^ nulles à l'origine, et pour u^ = o prenons la tangente de ce cycle. Faisons, de plus, u^=^ i , Ces suppositions sont permises, comme on l'a vu tout à Theure. Nous mettrons maintenant x et y au lieu de U\^ u^.

D'après les hypothèses, c'est la dérivée —■ dont l'ordre est

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le plus petit. Ceci résulte du calcul fait au n° 6, en vertu de la proportionnalité des dérivées partielles et des coordonnées tangentielles.

Pour calculer l'ordre de F relativement au cycle (G), il suffît (n° 27) de substituer dans F le développement d'une détermination dey suivant la puissance de ^, de prendre le degré de la partie principale, et de multiplier par l'ordre du cycle.

Soient j^^, jk'S y"\ • • • tous les développements de jk suivant les puissances croissantes de a, valables aux environs de X = o. Nous pouvons écrire

d^où résulte, pour j/ =j>/',

Si y est une des déterminations appartenant à (G), nous avons à prendre ainsi la somme des degrés des parties principales de toutes les différences (y — y)^ (y —y")-)^ • • et à multiplier cette somme par l'ordre du cycle.

Le résultat se compose donc : i"^ du nombre 2T, calculé au n''(67), et relatif au cycle (G) ; 2° de la somme des nombres S, calculés au n° 65, relatifs au cycle (G) combiné avec tous ceux qui ont la même origine.

Soient (Go), (G^ ), (G2), ... les divers cycles de même origine, Tq, T|, T2, . . . Sqo . . ., Si2? • • • les nombres qui sont relatifs à ces cycles. L'ordre de F relativement à (Go) est 2T0 -H Soj 4- S02 + .... La somme des ordres de F relativement à (Gq), (Gi), (G2),... est donc

2 (To-hTiH-T2+ . . . Soi -I-S02 + S12+. . .).

Gonsidérant de même tous les points singuliers, on aura

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(inalement, en ajoutant tous les résultats, cette expression de la classe [x :

]xz=^7n{m— i) — 2 V (T + S).

Les nombres T se rapportent à tous les cycles d'ordre différent de l'unité ; les nombres S aux combinaisons deux à deux de tous les cycles ayant des origines communes. Au lieu des nombres T, S, on peut introduire les nombres j8i, t, el écrire

En appelant N = /Zq + /^^ + ^2 -h . . . l'ordre de multiplicité d'un point singulier, origine de divers cycles d'ordres Uq, 72, , /?2, . . ., on a

N(N — i) — V n(/z — i) + 2 y^^/'Vî donc enfin

p, ~ ;;^ (;;^ I ) ^ N(N — I ) — 2 2 (uL -h ^).

N est l'ordre de multiplicité d'un point, et'V(i3i + t) la

somme des ordres des contacts de toutes les branches de courbes deux à deux. Telle est la formule demandée, dans sa plus grande généralité.

Un point double ordinaire apporte à cette formule l'élément N(N — i)=:2, ^4-5 = 0. Un rebroussement ordinaire donne N(N — i)=r 2; 2 (^ -j- 6) = 1 ; il abaisse la classe de trois unités,

71 . Prenons la formule corrélative, et, remarquant que S s'y conserve (n° 69), nous aurons

La première sommation, dans cette dernière formule, ne se

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rapporte pas à tous les mêmes éléments que la première sommation de la première formule. Mais, dans les deux formules, les secondes sommations s'appliquent de part et d'autre auK mêmes éléments, les couples de branches tang-entes entre elles.

Combinant les deux formules et tenant compte de la relation entre ^ et S (n° 68), nous aurons

et, en employant la relation (22),

lx{ix — 3)—m{77i — 3) = y^^0X.{dXo — i) — 2N(N— i).

Cette dernière formule, remarquable par sa généralité, contient l'ordre de multiplicité N de chaque point singulier, et celui DZ de chaque tangente singulière. N est la somme des ordres des cycles ayant une commune origine ; ^X> la somme des classes des cycles ayant une commune tangente (').

Application. — Soit la courbe considérée au n° 33

Pour Je point ^=r^ —o, N(N— i)==6, 2 (€ -^- 6) rr= 4; Pour le point j^ z=z y zm o, 'N (N — i ) .= 2 , 2 ( vL -i- 6 ) -— 3.

Donc |ji = m = 5, comme on l'a trouvé autrement.

72. La recherche du nombre des intersections confondues en un point singulier, commun à deux courbes, constitue le dernier problème dont nous ayons à chercher la solution. Le raisonnement à apphquer est le même que pour le problème précédent : au lieu de la polaire, il faut envisager le premier membre de l'équation d'une des courbes, et l'on a

(') Cette formule a été trouvée par M. Zeuthen, dans le Mémoire qui clôt la liste placée en tête de cetle étude.

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immédiatement la solution suivante : le nombre cherché est la somme des quantités S calculées en accouplant chaque cycle d'une des courbes avec chaque cycle de l'autre courbe. D'après la signification de la quantité 0, on peut dire que le nombre des intersections de deux courbes, réunies en un point, est égal au produit des ordres de multiplicité de ce point sur l'une et l'autre courbe, augmenté de la somme des ordres des contacts qu'ont les branches d'une courbe avecles branches de l'autre en ce même point.