TRAITÉ DES COURBES PLANES

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N° 58, p. 69. — Pour l'équivalence des singularités d'ordre élevé des courbes avec les singularités ordinaires, voir le Mémoire de H. -J. -S. Smith, Onthe higher singularities of plane curçes (Proceedings of London Math. Soc, t. VI, 153, et Zeuthen, Math. Annalen, t. X, p. 212).

N^ 151, p. 190. — Pour ce qui regarde cette théorie, voir Gre- MONA, Nouvelles Annales, 1864, p. ^3 ; Sghrôter, Sur un mode de génération des cubiques [Math. Annal., t. V, p. 5o); Durège, Sur une cubique considérée comme le lieu des foyers d'un système de coniques {Math, Ann., t. V, p. 83); Glebsch, Sur deux modes de génération des cubiques {Math. Ann., t. V, p. 422). Grassmann (C;^e//e, t. 52, p. 254) a aussi indiqué la génération d'une cubique comme lieu d'un point tel que les droites qui le joignent à trois points fixes coupent trois droites fixes en des points situés sur une même droite.

N° 161, p. 199. — Des recherches de même nature que celles de Sylvester ont été publiées à peu près à la même époque par Brill et NôTiiER {Gôttinger Nachr., 1878, p. 116). Fiedler en a donné un aperçu dans les notes à la traduction allemande du présent Ouvrage.

N'' 220, p. 273. — Aronhold écrit S sous la forme qui suit :

— 8:==: {b^c^ — m'^f ■^\- (c^a — af) {bc^— bl) -\- {abi— al) (63C — c|) -i- («2^3 — ma) (bc — 63C2) M- {a=^m — a-^bi) {b^Ci -\~ cb^ — 2 c^m ) -+- {maz — «2^1) (61C2+ Ci^ — imb^).

P. 3oi. — Ajouter à la note : « Dans le dernier Mémoire cité, Gundelfinger donne les trente-quatre formes qui constituent le système des concomitants d'une cubique ternaire, d'après la théorie de

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GoRDAN {Math. Ann., t. I, p. 90). Voir aussi un Mémoire du même auteur (Math. Ann., t. VI, p. i36). Pour ce qui regarde les cubiques, consulter aussi Glebsch, Vorlesungen ûber Géométrie, p. 497; o^ dans la traduction française, p. 277

NOTE SUR LES BITANGENTES d'uNE QUARTIQUE, PAR M. CAYLEY.

Les équations des vingt-huit bitangentes d'une quartique ont été données sons une forme très élégante par Riemann, dans son Mémoire Zur Théorie der Abelschen Functionen fîXr den Fall p = 3, (Œuvres complètes, Leipzig, 1876, p. 456-47^. Fot> aussi la Théorie der Abelschen Functionen vont Geschlecht 3, de Weber, Berlin, 1876.) Riemann rattache les différentes bitangentes aux caractéristiques des vingt-huit fonctions impaires et obtient ainsi un algorithme qui mérite d'être exposé; nous nous servirons néanmoins de Falgorithme des n°^ 260 et suivants, qui, par le fait, est le plus simple. La représentation caractéristique d'une fonction 6 triple est un symbole de la forme

dans lequel chacune des lettres est égale à zéro ou à l'unité. 11 y a donc en tout soixante-quatre symboles; mais on les considère comme pairs ou impairs suivant que la somme

est paire ou impaire, et les nombres des caractéristiques impairs ou pairs sont respectivement 28 et 36. Gomme on l'a déjà dit, les vingthuit caractéristiques impaires correspondent respectivement aux vingt-huit bitangentes.

Soient 37,7,^ des coordonnées trilinéaires, a, p, y, a', p', y' des constantes choisies à volonté et a'', p", 7" des constantes déterminées telles que les équations

, a^^+ py H y'^^+ |, H Zl H ^, ^ o, a p ^

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soient équivalentes à trois équations indépendantes. Gela étant, elles déterminent chacune des quantités ^, t), Ç en fonction linéaire de ^, JK, z. Et les équations des biiangentes de la courbe

sont {voir Weber, p. loo),

lOI

lOl

lOI

X = Oy

dx -\~ ^y -}- Y^ = 0,

irr + ?y + f^ - 0,

x-hr^-i-z = 0j