AC = AB + BG

Plus généralement, si A, B, G, . . ., H, K sont n points d'une même droite, on a (relation de Ghasles)

AK = ABh-BGh hHK.

Cette relation a été établie dans le cas de trois points; pour prouver qu'elle est générale, il suffit de montrer que si on la suppose vraie pour n points, elle existe pour (n-\-i) points.

Soient donc (n-i-1) points A, B, G, . . ., H, K, L. La relation étant supposée vraie pour n points A,B;,G, ..., H^ K^ on a

(1) AK = AB + BGh hHK.

D'autre part, on sait que

(2) AL = AKh-KL.

Des relations (1) et (2), on déduit

AL = AB^BGh hHKh-KL.

G'est la relation de Ghasles pour les (n+1) points A, B, G, . . ., H, K, L.

3. Abscisse d'un point. — Sur une droite X'X, fixons un sens positif et choisissons arbitrairement, sur cette droite, un point 0 que nous appellerons l'origine. Un point quelconque A de la droite sera défini sans ambiguïté si l'on connaît le nombre algébrique OA. Ge nombre est Vabscisse du point A.

Soient A et B deux points de la droite, a et b leurs abscisses; la relation OB = OA -+- AB

donne AB ^^ OB— OA = 6 — a.

La mesure d'un segment est donc égale à la différence entre l'abscisse de son extrémité et celle de son origine.

i II.

Division harmonique.

4. Définition. — On dit que deux points C et D divisent harmoniquement un segment AB {fig. 2) si Ton a la relation CA DA