CHAPITRE II. — TABLEAUX GUAPHIQUES. lio

I08i. 0)1 remplace souvent les Tables à simple entrée par des courbes planes, en consitlérant les nombres des deux colonnes comme des abscisses et des ordonnées. Cette substitution iiermet de résoudre graplii([uement divers problèmes; elle a d'ailleurs l'avantage de faire apprécier d'un coup d'ieil les relations de grandeur exprimées par la Table (' ).

Nous avons tracé, sur Vàfig. 45 r, une courbe propre à remplacer une Table de logaritbmes vulgaires pour les nondjres com[)ris entre i et lo; les abscisses sont les logaritbmes des nombres représentés par les ordonnées, ces longueurs étant respectivement mesurées aux échelles de S''™ et de 5""" pour un. Quand un nombre est dans les limites des ordonnées, l'arc AB fait trouver son logarithme; s'il est plus grand que lo ou plus petit que i, on obtient encore son logarithme à l'aide de la courbe, en le multipliant ou en le divisant par une puissance de lo, et donnant à la caractéristique une grandeur convenable.

Au lieu de construii'e la logarithmique }Jà, on peut la déterminer par sa projection cotée X'Y'. Une simple droite ainsi graduée fait connaître le logarithme d'un nombre donné, ou le nombre qui correspond à un logarithme connu.

Toute Table à simple entrée peut être remplacée, de cette manière, par une droite convenablement cotée ou graduée.

108o. Tableau propre à remplacer la Table de Pythagore. — On peut remplacer d'une manière analogue une Table à double entrée par une surface : il suffit de considérer les deux arguments et le nombre qu'ils déterminent comme trois coordonnées. Ainsi, en appelant .r et v deux nombres, et ; leur produit, la Table de Pythagore aura pour expression analytique l'équation

z = arr,

et pour expression géométrique le paraboloïde qu'elle représente. En donnant

(' ) On réunit qiu'lqiiefois sur un Tableau plusieurs courbes de nu^nic nature, de manière à rendre sensible la comparaison des phcnomèues. des fondions ou des mouveuieuts qu'elles représenlenl. L'atlas de Berghaus contient plusieurs Tableaux de ce genre.

Dans le service de l'exploitation des cbcmins de fer, on emploie, pour représenter la marche des trains, des Tableaux sur lesquels les temps forment les abscisses, et les distances itinéraires les ordonnées. La vitesse d'un train étant supposée uniforme, sa marche est indiquée, entre deux stations, par une ligne droite. On voit immédiatement sur ces Tableaux les heures et les lieux où chaque train en croise ou en dépasse d'autres.

Nous croyons aussi devoir mentionner des Tableaux graphiques d'une nature dilléronte; nous voulons parler de ces Cartes géographiques qui sont destinées à rendre sensibles les résultats de certaines recherches statistiques. Sur les unes, les routes sont indiquées avec des largeurs variables et proportionnoUes au nombre dos voyageurs qui les ont parcourues dans une année; sur d'autres, chaque port do mer est représenté par un cercle dont la surface est dans un rapport déterminé avec le tonnage des navires qui l'ont fréquenté, etc. M. Minard. inspecteur général des l'onls et Chaussées, a publié le premier des Cartes de ce genre; il en a fait paraître un grand nombre, tontes fort intéressantes. ( Voir la Notice de M. Miuard : Des Tableaux graphiques et des Cartes Jigiiralives; i8Ci.)

m. — De la GoCRSEniE. — Descripiii'e . 27

2IO I.IVn.E X. — SURIACKS TOI'i H ; |i VPIIIQLKS.

successivement à : clifférentes valeurs, on aura des courbes liorizoïilales de cette surface : ce seront des hyperboles équilatères et homolbétiques (juc l'on pourra facilement dessiner {fig. /po).

Le produit de deux nombres tels que ^ et S'est la cote du point dont ils sont les coordonnées. Quand le point se trouve sur une courbe tracée, on a immédiatement sa cote ; dans le cas contraire, on recourt aux procédés de l'article lOoo, ou plutôt on fait une interpolation à vue, car, en général, on n'emploie les Tableaux graplii(|ues que quand ce dernier procédé peut être adopté sans inconvénient.

Le même Tableau peut servir pour faire des divisions. Ainsi, le ((uotieut de /|0 par y est l'ordonnée de celui des points de l'hyperbole [\o dont l'abscisse est 8. Si le nombre à diviser avait été compris entre les cotes de deux hyperboles tracées, il aurait été nécessaire de construire des courbes intercalaires. En général, un Tableau qui contient une série de lignes de niveau de la surface représentée par une équation à trois variables peut servir à détei'miner l'une quelconque de ces quantités (juand on connaît les deux autres.

1()8(). Tableau des températures moyennes à nulle. — Lorsqu'une Table à double entrée n'est pas l'expression d'une loi matliémati([ue connue, la construction du Tableau graphique propre à la remplacer exige quelques précautions particulières que nous allons expliquer sur un exemple.

Kaenitz, après avoir fait de nombreuses observations thermoméfriques à Halle, a dressé une Table qui fait connaître la température moyenne de cette ville, suivant l'heure du jour et le mois de l'année. Li\Jig. 453 reproduit sous une forme gi'aphique les résultats de ce Tableau. On y voit des courbes d'égale température rapportées à deux axes dont les divisions correspondent, pour l'un, aux mois de l'année, pour l'autre, aux heures du jour. La verticale du mois de mai rencontre l'horizontale de f)'' du matin un peu au delà de la courbe cotée 9; la température moyenne indiquée pour ce mois et cette heure est donc un peu supérieure à 9"; le Tableau de Kaenitz donne 9",oj.

Pour construire ce Tableau, après avoir pris des grandeurs arbitraires pour représenter les heures, les mois et les degrés de température, on a considéré successivement les diflerentes colonnes horizontales de la Table numéri(jue, et l'on a tracé la courbe (jue chacune d'elles représente, en la rapportant à deux axes rectangulaires Xx et A.z. On a ainsi la ligne qui indique la température moyenne des différents mois pour une même heure, ou la section de la surface par un plan perpendiculaire à l'axe des heures. Pour éviter la confusion, on n'a conservé que huit des vingt-quatre courbes ainsi obtenues. On a tracé ensuite la droite horizontale qui correspond à un degré déterminé du thermomètre, et, rapportant sur le Tableau ses intersections avec les courbes, on a obtenu les points où une ligne (l'égale température rencontre les dilTcrentes droites horaires.

niM'iTiir. II. - Tvp.Lr.vi \ GiiM'iiua i:s. 211

Les poinls ;iiiisi (Iclfrininés suffisent, en général, pour le tracé dos lignes de niveau; cependant, (l:ins les parties de ces courbes où la lanirente est parallèle à l'axe des mois, il existe une petite incertitude «luc l'im a liiit disparaître en conslruisaiit une section par un plan vertical correspondant au mois de juillet.

1087. Les ondulations des courhes horizontales font connaître toutes les circonstances de la variation de la température aux difTérenfes heures du jour et aux différentes époques de l'année. Le poinl culminant de la surface est aux environs du mois de juillet et de j'' après midi; c'est un maximum absolu. Le point le plus bas, minimum absolu, est en janvier entre G'' et 7'' du matin. Entre i*" et 2" de l'après-midi, en janvier, se trouve un col qui indique un minimum pour les mois et un maximum pour les heures. Un autre col est entre juillet et août vers 3'' du matin.

Si l'on unit par un trait continu la suite des points de contact des courbes de niveau avec leurs tangentes parallèles à l'axe des heures, on aura les lignes des points les plus hauts et des points les plus bas des sections longitudinales; elles font connaître, suivant la saison, les heures du jour auxquelles ont lieu le n)a\imum et le minimum diurnes; on les a indiquées sur la figure par des traits en points ronds. On obtient d'une manière analogue, en traçant des tangentes parallèles à l'axe des mois, des lignes qui marquent les époques de l'année aux- (juelles se produisent le maximum et le minimum pour chaque heure.

1088. Tableau pour la résolution de l'équa/ian numérique du troisième degré {fig. 455). — Lorsque l'équation du troisième degré est ramenée à la forme

z^ -f- xz + r = o,

elle représente un conoïde horizontal, si l'on y considère l'inconnue z et les coefficients^ et v comme des coordonnées variables. En attribuant successivement à z différentes valeurs, on peut tracer quelques-unes des droites qui forment les lignes de niveau de cette surface, et construire son contour apparent.

Suivant que le point déterminé par les valeurs données de x et de y se trouvera en dehors de l'enveloppe, sur cette courbe ou dans son intérieur, il sera la projection d'un seul point du conoïde, de trois points dont deux sont réunis en un seul, ou de trois points distincts, et l'équation possédera une racine réelle, trois racines réelles dont deux égales ou trois inégales.

On trouve par les procédés ordinaires que l'équation de l'enveloppe est

Cette courbe est la développée de la parabole qui a pour équation

212 LIVRR X. — srnFVCIÎS TOPOr.HAPHIQUKS.

Les positions du point à l'extérieur et à l'intérieur de l'enveloppe correspondent respectivement aux valeurs positives et aux valeurs négatives du binôme ('jj-i i 2-v=). Nous voyons que la considération du Tableau graphique conduit facilement à des résultats que l'on déduit ordinairement de la discussion directe de l'équation du troisième degré.

On peut employer avantageusement un Tableau de ce genre lorsque l'on doit résoudre un grand nombre de fois l'équation trinôme du troisième degré, pour des valeurs de .r et de r comprises dans des limites déterminées (' ). Ce mode de solution s'étend d'ailleurs sans difficulté à toute équation de la forme

::'" -t- xz" + 'y = o.

Tableau gi-aplii(jue représentant deu.r fonetions différentes de deu.v mêmes arguments.

1089. Si deux quantités = et z^ sont fonctions de deux variables .r et/, de sorte (|ue l'on ait

on pourra établir sur un même Tableau deux séries de lignes de niveau qui feront connaître les grandeurs de : et de z^ correspondant à chaque système de valeurs de x et de y. Tous les problèmes dans lesquels on devra détermine)' deux des quati'e (juantités x,y, z et ;,, quand on connaît les deux autres, seront facilement résolus à l'aide de ce Tableau. Par exemple, si z et :;, sont donnés, on tracera les courbes intercalaires des deux séries qui correspondent à ces cotes; les valeurs de x et de v seront les coordonnées de leur point de rencontre. Le probll'nie admettra autant de solutions que les courbes auront de points communs.

Anamorphose des Tableaud: grapJnqaes.

10î)0. Les Tableaux graphiques ont souvent l'inconvénient d'exiger des courbes compliquées. Nous allons faire connaître un artifice par lequel on parvient quehiuefois à transformer ces lignes en d'autres plus simples.

(') Gergonue a proposé pou:- résoudre réqualion du troisième degré une méthode graphique qui. biou que très différente en réahté de celle qui est due à M. Lalanne et que nous expliquons dans le texte, repose cependant sur la même base, la construction des normales à la parabole ordinaire (An/uilrs <tc Mathcmatiquca, t. IX).