CHAPITRE II. - TABLEAUX r.RAPIIIQl KS. 2l

Revenons au paraboloïde qui remplace la Table de Pylhagore (arr. lOS.'i ; smi équation est

z. = xy.

Nous posons

x'=z logA-, y = logj,

et |)ai' suite nous avons

logs = x' -\-y.

Si nous considérons .v' ,y' et z comme trois eoordonné-os variables, cette nouvelle équation représentera un cylindre borizontal, surface dont les lignes de niveau sont des droites parallèles, et que, par conséquent, nous pouvons représenter t'acilenient \fig. ^52). Pour trouver le produit de deux nombres à l'aide du Tableau que l'on obtient ainsi, il faut prendre pour coordonaées horizontales les logarithmes des valeurs données de x et de y. Cette opération exige l'emploi d'une Table numérique; mais, pourcju'il n'en résulte aucune gène, on transporte cette Table sur la figure, en donnant aux axes une graduation logarithmique, comme nous l'avons expliqué à l'article 1084. Les cotes sont les nombres dont les abscisses sont les logarithmes. Il résulte de là que les coordonnées de l'origine sont cotées i et non pas o.

l()i)l. Cet exemple montre en quoi consiste X anamorphose des Tableaux graphiques; on cherche à simplifier l'équation des courbes de niveau en prenant de nouvelles coordonnées qur soient fonctions des premières, et l'on place, sur les axes, des cotes qui font connaître les valeurs de celles-ci. La complication dn problème est alors reportée sur la graduation des axes.

Nous allons indiquer un autre exemple emprunté à l'art des constructions.

Dans le calcul des terrassements pour les routes, on. doit résoudre un grand

nombre de fois l'équation

En y considérant x,y et = comme d'es coordonnées, elle représente un byperboloïde dont les lignes de niveau sont des paraboles. Si l'on pose

a,-'=log(A-dr), y=log(B + y), on aura

y = ia;'-+- i[log2 + l.og(= -+- C)].

Cette équation est celle d'un cylindre horizontal; on peut facilement construire le Tableau graphique qui le représente, pour des valeurs déterminées des constantes A, 15 et C. Les cotes de l'origine correspondent aux valeurs nulles de x et de y, et sont, par conséquent, les logarithmes de A et de B.

1092. Suivant la nature des relations qui existent entre les anciennes coordonnées et les nouvelles, il peut arriver que les valeurs de x\ ou les abscisses.

2 l4 LrVHE X. - SIRFACKS TOrOCHAPIIIOlHS.

aiiiiincnft'nt quand les grandeurs de x, qui sont leurs cotes, diminuent. Lorsque rajjscisse a:', considérée comme fonction de .r, a un maximum on un minimum, la série naturelle des cotes se développe d'abord dans un certain sens, puis daus le sens opposé.

Considérons, par exemple, l'hyperboloïde représenté par l'équation

les courbes horizontales sont des paraboles, mais, si nous posons

a'' = .z" — 20 j" + I o '1 , nous aurons

yz -\- .r' = o,

el les ligues de niveau seront des droites.

A la valeur 4 de oc' correspond pour a- une grandeur iiiiiiininm égale ii 10. La cote 10 sera, par conséquent, au point dont l'abscisse est 4. et les cotes 11. 12,

1 3 9, 8, 7, . . . seront sur la partie de l'axe qui s'étend au delà de ce point.

l^es valeurs de x sont imaginaires pour les abscisses inférieures à 4. et par suite les droites transformées des paraboles sont parasites au delà de la parallèle à l'axe des ordonnées dont l'abscisse est 4-

1095. On est quel(|uefois conduit à employer deux Tableaux distincts pour l'ésoudre une même formule. Considérons l'équation

on ne peut pas la simplifier en prenant des variables qui soient des fonctions distinctes des anciennes, car ces dernières sont réunies dans le dénominateur; si cependant on veut avoir des droites pour lignes de niveau, on posera

et l'on construira deux Tableaux sur les formules

Le premier fera connaître l'ordonnée auxiliaire v'; le second, dont l'axe des abscisses aura été convenablement gradué, donnera ensuite l'inconnue :'.

Application de V amimorpliosc à la nprcscntation t^rapliiquc de certaines lois naturelles.

iOÎ)i. Lorsque l'on connaît une loi mathématique entre trois variables oc' ,y' et s, on peut représenter par des courbes de niveau la surface qui en est l'exprès-

CIIVPITHK II. - TVI5Li:\L\ (II! \l'll H M KS. 2 1 .■)

sion. Alors, si chacune des grandeurs x' et v' n'est pas donnée immédiatement, mais doit être prise dans une Table à simple entrée en fonction d'une autre (|uan(ité.r ou y, on peut éviter cette recherche, en inscrivant sur les ixirds du Tahieau îles cotes qui donnent les grandeurs des variables primitives, d'après les dillerentes valeurs des coordonnées.

Afin de donner un exemple de ce genre d'anamorpliose, supposons (pic l'on possi'de une Table numérique qui fasse connaître, pour un pavs, le chillre de la po[iula(ion dont l'âge est inférieur aux dillerents nombres d'années, et qu'on veuille construire un Tableau graphique qui permette de déterminer le nombre d'individus compris entre deux âges x et j. On aura, en appelant ; ce nombre et en désignant par x' et j' les nombres des personnes dont les âges sont respectivement inférieurs hx et y,

On construira dans la partie utile les lignes de niveau du plan que représente cette équation, et, à l'aide de la Table, on inscrira sur les axes les valeurs de jet de y qui correspondent aux grandeurs réelles des coordonnées x' et y'.

La 7%. 454 représente ce Tableau, construit d'après une Table numérique donnée par Demontférand pour la répartition de la population mâle en France dans l'année \S33 {Journal de l'Ecole Polytechnique, XXVP ("ahier, p. aQ'i). Les cotes mises sur l'axe des abscisses indiquent les âges^ qui correspondent à la population mâle x' , cette dernière étant représentée par une longueur de 4""" pour un million d'habitants. On doit concevoir l'axe des coordonnées gradué de la même manière, mais les cotes sont reportées sur la parallèle qui passe à l'âge de quatre-vingts ans; c'est à cette droite que le Tableau est limité.

Pour obtenir le nombre d'individus compris entre deux âges déterminés, il faut suivre la parallèle à oj? correspondant au plus petit âge, jusqu'à la rencontre de la paralll'le à ov correspondant au plus grand. La cote de la ligne in- (dinée sur laquelle on arrive indique, en millions, le chiirre de la population mâle.

En opérant de cette manière pour savoir combien il y avait en France, en i833, d'hommes de dix-huit à soixante ans, on trouve que le point de rencontre des parallèles à oa; et à oy passant par i8 et Go tombe entre les obliques 8 et ^y plus près de celle-ci que de la première, à un cinquième environ de l'intervalle qui les sépare. On en conclut que le nombre d'hommes cherché est d'environ 8800000; le calcul exact fait à r,aide de la Table numérique donne 8 792 jGg.

FIN DIÎ LV TItOISIK.MK l'.VinU;.