On a

^ ~ cosQOA' cosH^OA'

En rapprochant cette expression de l'équation (afi) de l'article 8*26, et remarquant que AA' est le paramètre k et QOA' l'angle du plan tangent en 0 et du plan central, on voit que la longueur OQ, ordonnée à l'origine de la droite auxiliaire, est moyenne proportionnelle entre les grandeurs absolues des rayons de cour-bure principaux de la surface au point 0.

Si l'origine se meut sur la génératrice OX, la droite auxiliaire PQ tourne autour du point A' en restant perpendiculaire au rayon vecteur de ce point. Lorsque l'origine est au point B, c'est-à-dire lorsque l'on mesure les angles des plans tangents à partir du plan tangent en B, la droite auxiliaire est la perpendiculaire AB', à BA'; l'ordonnée BB', est donc moyenne proportionnelle entre les rayons de courbure principaux an point B.

848. La considération de la droite auxiliaire facilite la discussion des circonstances que présente une surface gauche aux différents points d'une génératrice. On peut, par son aide, rendre plus sensibles les résultats que nous avons obtenus à l'article 677 pour les génératrices singulières; mais nous ne devons pas nous arrêter à ces détails, et nous allons appliquer les propositions qui précèdent il l'étude des surfaces auxquelles ce paragraphe est spécialement consacré.

819. On a souvent à considérer en Stéréotomie des surfaces gauches lieux de normales à une surface directrice 1 aux différents points d'une courbe A tracée sur elle.

Soient O un point de la courbe A [fig. 354 ^«). 0^ la normale en 0 à la surface 1; OX et OY deux droites respectivement tangentes en 0 aux sections principales; C, et Cj les centres de courbure en 0 de ces sections. Nous désignerons par R, et Rj les rayons OC, et OC,, et par <p l'azimut TOX de la tangente OT à la

'g LIVRE VIII. - COI KnunE DKS SURFACKS.

directrice A au point 0; enfin nons supposerons que le plan XOY est horizontal. ■ La normale à la surface .S au point de A infiniment voisin de 0 rencontre les axes de déviation C, y et C^a- rospeotivenient perpendiculaires aux plans ZOX et ZOY (art. 814); ces deux droites sont donc tangentes à la suiface des normales, et par suite les points où les plans ZOX et ZOY, qui contiennent la normale OZ, touchent cette surface sont C^ et C,. Nous savons d'ailleurs que le plan ZOT est tangent en 0 à la surface des normales; nous connaissons donc les plans tangents à la surface en trois points 0, C, et C;> de la génératrice OZ, et par suite nous pouvons déterminer son point central et son paramètre. Adoptant la construction de l'article 84-6, nous traçons, dans le plan ZOX, les droites ON. et ON, taisant avec OX des angles égaux à o et à (90° + 9), et nous les arrêtons aux horizontales des points C. et C, : la droite N,No est la droite auxiliaire relative au point 0 pour la génératrice OZ de la surface gauche considérée. En abaissant les droites OA' et A'A respectivement perpendiculaires sur N, N^ et sur OZ, nou> obtenons le point central A et le paramètre AA' ( ' ).

Eu égard au sens dans lequel le plan tangent tourne quand le point de contact se transporte de C. en 0, le paramètre AA' est positif (art. G25). Il serait négatif si le point A' était de l'autre côté de la verticale OZ.

80O. Nous avons identiquement

surf.N.ON, = surf.NoOC + surf.N,OC, ou bien

ON, X ON, = ON, X OC cosy -h ON, x OC sin®.

Mais on trouve immédiatement