En opéraiil comme à l'article précédent, on trouve

surf.N.OX, = surf.N.OQ - surf.N.OQ, ON, X ON, = ON, X OQ cos? - ON, x OQ sins.

Slllffl COS'-

= R, X OQ - R.. X OQ,

lin rapprochant ce résultat de l'équation {■2obis) do l'article 812, on reconnaît que la longueur OQ est égale au paramètre de déviation relatif à l'angle 9; mais, •i'après l'article 847, cette longueur est moyenne proportionnelle entre les rayons de courbure de la surface gauche au point 0 ; nous voyons donc que la i^randeiir absolue du produit des rayons de courbure de la surface des normales, en un point de son intersection avec la surface directrice, est égale au carré du paramétre de dénation qui correspond à l'azimut de cette courbe [' ).

8j2. Le plan central de la génératrice OZ et le plan ZOX sont tangents l'un en A, l'autre en C, à la surface des normales : l'angle aigu qu'ils comprennent est donc égal à NoOA' (art. 8i-6). Nous avons immédiatement

tangN,OA'=:^, tangQOA'=^.

On déduit de ces équations

N^QxOA'

tangNoOQ:

G.WA'NjX A'Q

tangN,OQtangN,OA'= j,^^^^^^^^ j,^tangN20QtangN,0A'= ^•

La droite ON, qui correspond au plan ZOX est l'origine commune des angles NoOQ et NoOA'; ces angles sont par suite de signes contraires. Le second

membre de l'équation est égal à la quantité |t^ qui, dans la disposition adoptée sur la figure, est positive ; nous avons donc

tang9tangN2 0A'= — ^•

( ' ) Le paramètre do déviation n'est autre que le rayon de seconde courbure de A lorsque celte courbe est une ligne gcodésique de S. (Le rayon de seconde courbure d'une courbe gauche est le rappor d'an arc infiniment petit de cette courbe, à l'angle que font entre eux les plans osculateurs aux extrémités de cet arc.) (Mannheim.)

Nous vovons que les azimuts 9 et N^OA', qui sont mesurés à partir du plan principal ZOX, correspondent à deux diamètres conjugués de l'indicatrice de la surface 2.

La tangente à la trace de ja surface des normales et la trace du plan central d'une de ses génératrices, sur le plan tangent à la surface directrice, sont deux diamètres conjugués de l'indicatrice de cette dernière (' ).

Si l'on veut éviter de considérer des angles négatils, il faut prendre pour azimut de la direction conjuguée à OT le supplément de N.OA'.

855. La construction expliquée ii l'article 849 nous a fait trouver le rayon de courbure OC d'une section normale, la longueur OQ du paramètre de déviation et l'azimut N^OA' de la droite conjuguée à la tangente OT. dette construction a donc, en dehors de la considération des surfaces normales, une importance réelle dans les problèmes d'application relatifs h la courbure des surfaces, lorsque l'on connaît les plans et les rayons de courbure des sections principales.

Si l'on mesure les abscisses positives de 0 vers Q, le paramètre de déviation sera de signe contraire à l'abscisse OQ.

Si l'on fait les tracés sur le plan tangent, pour la construction de l'azimut N2O A', il faudra mener la droite ONo dans la direction OX, la droite OQ sera la tansente OT, et la droite OA' se trouvera dans la direction coiiiuaruée à OT.

834. Les plans ZOX et ZOY [fig. 354 ^«•^) étant rectangulaires, l'angle sous lequel on voit du point A' le segment de la normale compris entre leurs points de contacte, et C, est droit (art. 843). Il résulte de là que si l'azimut ç de la courbe A passe par toutes les grandeurs possibles, le lieu des positions du point A' sera le cercle décrit sur le segment 0,0-, comme diamètre. Le point central A est toujours compris entre les points C, et C^; il atteint l'une ou l'autre de ces positions extrêmes, quand la tangente OT est confondue avec OX ou avec OY; le paramètre est alors nul, OZ est une génératrice singulière de la surface gauche, et un sommet se trouve au point C, ou au point C^.

A deux valeurs de ? égales et de signes contraires correspondent un même point central et deux paramètres égaux et de signes contraires. Les valeurs limites du

paramètre sont les rayons GG' et GG', ifig. 353 bis), ou ± -^ ^•

Pour avoir la grandeur de l'azimut lorsque le paramètre est GG', il suffit de fiiire en ordre inverse les constructions expliquées à l'article 849. Nous traçons le rayon vecteur OG', sa perpendiculaire IG'Noft la droite 0N„ : l'angle NoOX est égal à Ç5. L'équation que nous avons obtenue à l'article précédent devient

tang9tangN,0G'=-{^^j

C) Ce Ihéorome a déjà été donné par pUisiours géomètres.

ciurnnK i. - tiiéhkie généu.vlk. 49

mais la droite OG' est la bissectrice de l'angle droit NiONo; iiniis avons donc

tangç = ± j^-

\ons mettons le donhle signe, parce (jue nons considérons les denx snrfaces qui ont pour paramètres GG' et GG, .

On peut concevoir, sur une surface, des courbes directrices pour lesquelles, en cbaque point, la valeur de k soit un maximum en grandeur absolue. Ces lignes sont toujours réelles; elles forment deux séries : l'une correspond aux valeui's positives deX-, l'autre aux valeurs négatives.

8o5. D'après ce que nous avons vu à l'article 847, la longueur C,E| est moyenne proportionnelle entre les rayons de courbure principaux au point C, [^fig. 354 Us); il en est de même du segment C. Eo pour les rayons correspondant au point C^. On trouve d'ailleurs

if \^ A \ X ij-T y t\ c* y^ -V-\ X 'jo ij ]

donc

C,E,x C.,E,. = C..C, =(R,- RJ-.

Le produit des rayons de courbure princijxiu.r de lu surface gauche aux puiuls G, el Cj est indépendant de l'angle o et ègcdà la quatrième puissance de la différence des layons principaux de la surface directrice.

80G. Lorsque les rayons R, et R^ sont de signes contraires, les points G, et C. sont situés de part et d'autre du point 0. Si, alors, la courbe A devient tangente à une asymptote de l'indicatrice, le rayon de courbure OG est infini, la droite N.N^ est parallèle à OZ {fig. 338 his), et par suite le point A' est sur OX, et le point central en 0.

Quand la directrice A est tangente à une asymptote de l'indicatrice, le point ceritr'ul de la générrrtrice nonrmle est son intersection avec la surface 2i. Si L est une ligne asyrnptotique de 2 , c'est aussi la ligne de striction de la surface gauche lieu des normales.

Le segment O.V est moyen proportionnel d'une part entre les rayons principaux de la surface gauclie au point 0 (art. 817), de l'autre entre les rayons OC, et OC^ : donc le produit des rayons de cour-bure est le même aupoint O,pourla surface gauche normale et pour la surface directrice, dans le cas qui nous occupe. On peut déduire ce tbéorème de celui de l'article 80I.

857. A l'aide de la fg. 354 ^-"X. on peut établir de nombreuses équations entre l'azimutç), le rayon de courbure Rde la section normale qui lui correspond dans la surface 1, le paramètre de déviation K, le paramètre /• de la généra-

ni. — Dii i.A GiiruNiiRiE. — ■ Dcscriplivc. 7

5o I.IVnK VIII. — COLRBIRE DES SLRFACES.

trice OZ, ronlonnée OA de son point central, elle produit des rayons de courbure principaux en un point donné de cette droite (' ). Nous ne nous arrêterons pas à ces détails, et nous nous bornerons à appeler l'attention sur deux cas qui présentent quelque intérêt.

Quand le point 0 est un ombilic, le cercle 0,^ se réduit à un point, le paramètre k est toujours nul, l'ordonnée du point central est constante et égale au rayon de la spbère osculatrice.

Lorsque le rayon R., est infini, la droitoN^C^ s'éloigne à l'infini, le cercle C|C^ se confond avec la droite C,N|, le point A' se place en N,, et la droite auxiliaire est parallèle à ON,. On a alors

/{• = Ri tangç.

L'ordonnée du point central est constante et égale à R,. Ces circonstances se présentent toujours lorsque 2l est une surface développable.

858. Quand un veut étudier les relations cjui existent entre deux surfaces gauches lieux de normales à une même surface, aux dilférents points de deux courbes issues d'un même point, il faut établir simultanément sur la figure les deux droites auxiliaires (jui correspondent aux azimuts de ces directrices.

L'a/iuiii( ç d'uni' diicdiiie A étant XON^ [fig- 338), la droite auxiliaire sera NiNj. Nous projetons les points N, et N, en ^L et IM,. et nous (raçons ^LMa, OM, et O^M^. On a immédiatiMiient

langXOM., = - cotZOM.. = -^ = --^= 'il- ;

tangç) tangXOM. = — ît^

L'angle XOM^ qui détermine le point 3L est donc celui de la direction conjuguée à o dans lindicatrice, et, comme le même raisonnement peut être appliqué aux angles XON, et XOM, (-), nous voyons que les droites N|No et M, ^L sont les droites auxiliaires pour les surfaces gauches qui correspondent à deux directrices dont les tangentes en 0 sont conjuguées.

La normale OZ fait des angles égaux avec les droites M, Mo et N'iNo, et par suite avec leurs perpendiculaires OA' et OB'. Il résulte de là que les segments OB' et OIV, sont éqaux.

(') Phisieiirs des formules que l'on peut obtenir ainsi ont clé données par Joacliimstal (/oH/-«rt/ de M. Lioiwillc, 1848), ou par M. Lamarlc {Exposé géo/iict/irjiie), qui les ont U'ouvées par d'autres procédés.

(^) Cette observation nous dispense de prouver que l'angle Mi OM^. est droit, ce qui du reste est facile.