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ou

cotLH'0">cotUO'E

ou encore

, ^ EO' cotv>Ëu'

en appelant 7 l'angle que les rayons de lumière font avec le plan horizontal.

EU étant une moyenne proportionnelle entre EO' et lE, l'équation précédente revient à

tang'7<ôTË-

901. Courbe d'ombre portée. — Nous allons maintenant étudier la courbe d'ombre portée par une surface sur elle-même; cette ligne est l'intersection de la surface considérée avec le cône circonscrit qui a son sommet au point lumineux.

Revenons à la fig. 3G8, qui représente une section d'un corps par un

(1) Dunesme a fait connailrc un procédé graphique pour déterminer les points où la courbe de contact d'un cylindre circonscrit à un tore a pour tangente une génératrice du cylindre {Comptes rendus, ï" semestre 1857); mais la construction qu'il indique nous parait moins facile que celle que nous donnons. On trouve cette dernière dans le Truite de Stéréotomie do Leroy.

nO, LIVRE VIII. - COURBURE DES SURFACES.

plan contenant le point lumineux S. Le rayon Sm touche la surface au point /«, et si on le considère comme une droite i^^éométrique indéfinie, il la coupe aux points /?i, et /«.. L'arc mm, est dans l'ombre et l'arc /«,/• est éclairé; m, est doue un point réel de la courbe d'ombre portée, comme m est un point réel de la courbe d'ombre propre.

Sur le ravon Sp, les points p et/j, sont des points virtuels des courbes d'ombre propre et d'ombre portée. La courbe d'ombre portée se compose ainsi d'arcs réels et d'arcs virtuels. Un point /n de la courbe de contact est réel, comme point d'ombre, lorsqu'il se trouve en dehors des points de section /«, et m^, et alors le premier de ces deux points est réel sur la courbe d'ombre portée. Sur le rayon Sp, le point de contact/; est situé entre les deux points de section/;, ctp^; il est virtuel, et le point/;, de la courbe d'ombre portée est également virtuel. Les seconds points de section, tels que m., et p.,, n'ont jamais d'importance, bien qu'ils appartiennent à la courbe géométrique de l'ombre portée.

Puisqu'un point de contact devient virtuel lorsqu'il passe entre les deux points de section, il est nécessairement réuni à l'un d'eux quand il se trouve à un point limite, et par suite le rayon de lumière a dans ce cas un contact du second ordre avec la surlace, ce que nous avons déjà trouvé par des considérations un peu différentes (art. 889). La ligne d'ombre portée devient virtuelle au même moment. Il résulte de là que les arcs réels des courbes d'ombre propre et d'ombre portée ont les mêmes points limites.

902. Considérons la courbe A d'intersection d'une surface à courbures opposées par son plan tangent en m [fig. 355). Si un point lumineux S' est dans ce plan, le point /?2 appartiendra à la courbe d'ombre propre, et l'intersection m, du rayon S'w, et de la ligne A sera un point de la courbe d'ombre portée. Le plan tangent au cône d'ombre le long de la génératrice S' m touche la surface en m, et par suite la courbe d'ombre portée et la courbe A ont l'une et l'autre pour tangente en m, l'intersection des plans tangents aux points m et m, ; elles sont donc tangentes.

Si le point S' se meut dans le plan, lorsqu'il se trouvera en un point S sur l'une des asymptotes de l'indicatrice du point m, le rayon Sm sera tangent à la courbe A (art. 797); le point m, se sera donc réuni au point m, et la courbe d'ombre portée se sera transportée en se modifiant de manière à passer par ce point; elle y sera tangente à la branche mm, de la ligne A, et par suite à la droite mS; cette droite, étant une asymptote de l'indicatrice et passant au point lumineux, sera tangente à la courbe d'ombre propre, et le point w sera un point limite. Nous voyons ainsi que les courbes d'ombre propre et d'ombre portée se rencontrent tangentiellement aux points limites.

905. Étude des lignes d'ombre portée par un fore sur lui-même, et considérations