CHAPITRE III. - THÉORÈME DES TANGENTES CONJUGUÉES. 8l

se rencontrer tangentiellement qu'à un point limite, car elles ne sauraient avoir d'autre tangente commune qu'une asymptote de l'indicatrice.

Les observations <iuo nous venons de présenter peuvent être faites quel que soit le corps qui porte ombre, et par conséquent nous avons le théorème suivant :

Quand sur une surface la courbe d'ombre propre et la courbe d' ombre portée par une autre surface quelcoiujue se rencontrent, ces lignes sont tangentes à deux diamètres conjugués de l'indicatrice du point commun.

906. Si le point S' s'abaisse, les points a et C se rapprochent l'un de l'aulii'. Quand le point S' sera sur la tangente alterne commune des deux cercles A'B' et a'b' , le point C et celui qui loi est symétrique sur la partie non représentée du tore seront confondus avec le pointa; les points P, /> et Q seront réunis; les deux parties du cône d'ombre se toucheront le long de la génératrice bitangente.

La partie dont la trace est EP touchera le cône au point a, et la courbe d'ombre portée aura un point double au point de contact a. Le point A sera un second point double de cette courbe. On pourra déterminer les tangentes à ces points par la méthode de l'article 865 (f ].

Si le point S' continue à s'abaisser, aucun rayon ne passera dans l'intérieur du tore, et la séparatrice sera composée seulement d'un arc de la ligne d'ombre propre et d'un arc de la ligne d'ombre portée.

907. Cas oîi il est nécessaire d'avoir égard aur dimensions des corps lumineiiv. — Jusqu'à présent nous avons supposé que les dimensions du corps lumineux pouvaient être négligées; lorsqu'il est nécessaire d'en tenir compte, la surface d'ombre devient une développable circonscrite, mais, le théorème des tangentes conjuguées étant applicable dans ce cas, comme dans celui du cône circonscrit, on est conduit à des conséquences analogues à celles que nous avons exposées

( ' ) Oa remplacera lo luro par un liyperboloïdc osculateur. et le côae par un cylindre osculaleur. On obtiendra sans difficulté l'hyperboloïde (art. 869); s'il s'agit du point n. le rayon de la section droite du cylindre sera celui do la seconde section principale du tore en A. 11 faut remarquer, en etîet, que la génératrice Si? appartietil à la partie du cône qui est circonscrite au tore le long de la ligne AG. (;omme d'ailleurs celle ligne rencontre normalement, au point A. le méridien DB du tore et la génératrice Srt du cône, elle est tangente aux secondes sections principales des deux .surfaces: ces sections sont donc dans le plan normal (jui contient la tangente à la courbe de contact AG. et par suite leurs rayons de courbure sont égaux, conformément au théorème suivant de Cli. Oupin :

Quand deux surfaces sont tangentes l'une h l'autre le long d'une courbe, leurs sections par un plan tangent à cette cnurl)e ont un contact du troisième ordre.

Pour prouver ce théorème, supposons que l'on fasse passer un plan sécant par deux points M et N do la ligne do contact .\ : les sections des surfaces seront tangentes en ces points. Si maintenant on transporte le plan de manière à le rendre tangent à la courlie A, les points .M et N se confondront, et les sections auront quatre points communs réunis en un seul, ou un contact du troisième ordre.

Si le plan était tangent aux surfaces en un point M de la ligne de contact, le point M serait double dans les deux sections, et ces courbes, bien qu'ayant quatre points réunis en un seul, ne seraient plus tangentes.