III. — De h GoiRsKKiE. — DcscrifiUfe. Il

dans les articles précédents. Toutefois la complication est un peu plus grande, parce qu'il faut avoir é^ard aux arcs virtuels de la courbe de contact sur le corps lumineux. Ainsi, lors(|u'uue génératrice de la dévelop|)aljle se conl'ond avec une des asymptotes de Tindicatrice de son point de contact avec la surface éclairée, ce point n'est un point limite des courbes d'ombre que si la génératrice est extérieure au corps lumineux près du point où elle le touche. Cette oliservation n'a du reste aucune importance dans la prati([ue, car les surfaces lumineuses ne sont pas à courbures opposées.

Extension du théoiTiiie des Idiii^cnlcs conjui^accs.

008. F.e lliéorèni(> des tangentes eonjuçriiées ne donne aucune indication siu' la langeiito à la cmnlie d'oinljrc propre, quand la surface csi oscmIcc par un plan au poliU considéré. Nous allons étudier ce cas à l'aide du (lalcnl diUcrenlicd.

("onsidérons la surface

l'cquation de son plan langent en un ]ioiiil est

z — z'=ij{x — x') + q{Y—Y');

.r', 1 ', .:' sont les coordonnées variables; x, v, .; les coorilonnées du [)oinl de contact, et /', ij les dérivées partielles de la fonction z.

Si le plan langent conlieiil un point li\e (y. 3, ■; i. (ju aura

r.es équations (i) et (2) déterminent la ligne de contact de la surface con.^idérée avec le cône circonscrit dont le sommet est au point li\e.

En dilTérentianl ré(]ualion (2), on trouve, pour déterminer l'inclinaison sur l'axe des abscisses de la tangente à la projection de la courbe de contact sur le plan des xy, l'équation

Quand au point considéré la surface est osculée par un plan, les dérivées /•, s cl t sont

nulles, et -j- se présente sous une forme indéterminée. Pour obtenir sa valeur, il faut ax

dilTérenlier l'équation (3), lmi v regardant y connue une fonction de a- et -j~ comme une

quantité constante. On trouve

4-'.?[?</(x — ï) +- iT.(,- 3)-|- «;]-^ ^^[u{x — ^) -i~ iu{y — 3) 4- /■] ; o.

ClUCnilI, III. — THEOREME DES TANGENTES CONJUCIEES. »j

\u point considéré, r,s et l sont nulles, el nous avons

liolle éiiaalion (loinic deux valeurs |)Oiir -r- ; par conséiiuenl, qiiaml nue surface est

(isciiléc par un plan, le jKiinl île contact est un point double {on isolé) de la courbe d'ombre, si un point lu mineur est situé dans le plan.

En appelani m le eocriieieril aii.i;iihiire de la projection sur le plan des .ry du rayon de luinièi-c qui ahoulil au point considéi'é, on a

a- — a L'éqiialion que nous avons obtenue devient

( j ) f lï- ^ en! ■) ( -^— ) -i- 2 ( î« -h ivm ) -, i-{u -{- i///n ) = o.

\ ax d.r