CHAPITRE IV. - LIGNES RELATIVES Al \ COIRIÎLHES

lignes de courbure de l'une des séries, on obtient celles de l'autre série en traçant des courbes qui les coupent toutes à angle droit, c'est-à-dire leurs irajecloircs orthogonales.

Sur une surface de rcv(dution. les lignes de courbure sont les méridiens et les parallèles, car les normales aux dilTércnls points d'un méridien sont dans le plan de cette courbe, et les normales aux divers points d'un parallèle forment un cône.

Quand l'axe perce la surface, tous les méridiens passent au point de rencontre, et par exception il y a en ce point une inlinilé de lignes de courbure. Si l'axe est normal à la méridienne, toutes les sections normales sont identiques, et le point est un ombilic (art. 795). Si la méridienne coupe obliquement l'axe, la surface a une infinité de plans tangents au point d'intersection de ces lignes; chaque méridien est une section principale par rapport à l'un d'eux; l'autre section principale est le parallèle dont le rayon est nul.

Les normales à la sphère se rencontrent toutes au centre, et par suite une courbe quelcon(jue tracée sur cette surface peut être considérée comme une ligne de courbure, (chaque point d'une sphère est un ombilic, et tout grand cercle peut être regardé comme une section principale à l'un quelconque de ses points.

912. Les génératrices rectilignes d'une développable en sont des lignes de courbure, car les normales à la surface aux différents points de l'une de ces droites forment un plan. Les lignes de courbure de la seconde série sont les trajectoires orthogonales des génératrices ou les développantes de l'arête de rebroussement (art. 45G, -iilj. Sur un cylindre ces lignes sont les sections droites, et sur un cône les sections par des sphères ayant leur centre au sommet.

915. Considérons dans un plan une courbe AB et une droite G i Jig- 36i) : si le plan se meut en restant normal à un cylindre directeur, de manière que la droite G occupe successivement la position des diverses génératrices rectilignes de cette surface, et que chacun de ses points en décrive une section droite, la courbe AB, qui occupe une position invariable par rapport à G, décrira une surface que l'on appelle surface-moulure.

Dans le mouvement, une droite M/« perpendiculaire à G est toujours normale à la section droite décrite par le point m; sa longueur est constante : les courbes décrites par les points M et m ont donc une même développée, et par suite le plan mobile est perpendiculaire sur la tangente ii la trajectoire du point M, c'est-à-dire ([u'ilest normal à la surface-moidure en un point quelcon(|ue de la courbe AB. Cette génératrice curviligne forme donc dans ses dillerentes positions les lignes de courbure de l'une des séries. Les lignes de la seconde série sont les courbes décrites par les dillerents points de AB.

Une surface-moulure peut être considérée comme l'enveloppe des positions

86 I.IVHE Mit. - COURBURE DES SURFACES.

iTiiiie surface de lévoliilliMi dont Taxe se meut sur un cylindre de manière que ses ditrérenis points en décrivent des sections droites (' ).

Ohscn'otio/ts jxiin- la (Ictcvm'iiKitioii des /ii^//cs de coiirhurc (le (jucliidCM sKi'Jaccs.

91i-. Lorsque sur urir surface enveloppe les eararu'rlstifpies sont des lignes de courbure, elles sont aussi lignes de courbure sur les enveloppées, car une enveloppe et l'une ([ueicoiique de ses enveloppées ont les mêmes normales aux divers points de la cara(lérisli([ue correspondante. La proposition récipro(]ue est évidemincnl vraie; elle donne un moyen de déterminei' les lignes de courl)ure de (|ncl((ues surfaces, et notamment de celles (|ui sont enveloppes d'une splii're mobile.

Quand un plan roupc une surface sous une inclinaison conslanle, r intersection est une ligne de courbure de la surface, car les droites qui lui sont noi'males aux divers points de cette courbe sont également inclinées sur le plan ; la surface qu'elles l'orment esl donc d'égale pente et par suite dévelop[)able (art. 5io) (-).

'r/iéoriinc de (h. Du pi il s/tr tes sur fa ces ortiiogoncdcs.

91 o. On parvient (]ucl(}uefois à déterminer les lignes de courbuie par la considération des surfaces orthogonales, c'est-à-dire des surfaces qui se coupent à angle droit sur toute l'étendue de leur intersection.

Considérons trois surfaces orthogonales qui se croisent en un point A [fig- 3Go\ soient AX, AY et AZ les tangentes aux lignes suivant lesquelles elles se coupent deux à deux : nous appellerons première surface celle qui est normale à la droite XL, seconde et troisième surfaces c^\\e% qui sont respectivement normales aux droites AY et AX.

Nous prenons sur ces lignes, que nous considérons comme des axes, des points P, N et M à des distances du point A infiniment petites et égales.

Le [loint M appartient aux deux premières surfaces qui s'y coupent à angle droit, comme à tous les autres points de leur intersection. En désignant par «,, ,5,, 7, et a..,, [i.,, 72 les angles que les normales à ces surfaces au point M font avec les axes, nous avons

cosî(, eosa;; -+- cos|B, coSjJa -i- cos7, COS70 = o.

i ' ) MoNGE, Appt/cfi/iù// tic i Analyse à In Géométrie, § XV'Il.

( -) Celle proi)osilioii est due à Joachiinsllial. 11 exisie un tliéorènie plus général qui consiste en ce que, quand deux surfaces se coupent sons u:i angle constant, si leur iiiterseclioa esl une ligue de courbure de L'une d'elles, elle est aussi une ligne de courbure de l'antre.

(.n\.inTiii': iv. — i.h.nks relativks vl\ an itni kks. 87

Les angles a,, j3,, a^, -j.. difFcrent infiniment peu d'un droil. les an.ules 7, et ^^ sont infiniment petits. On a par conséquent, en négligi^anl les intiniment petits du second ordre,

'l) COS,^, -1- COS'/^ = o.

En appelant y\, ,'î',, y' et y.'^. ^5,, 'j\ lesangles que les normales aux première et troisième surfaces au uoinl .\ l'uni avec les axes, on trouve

Enfin, en nommant «j, jS!,, 7' et «'!,, /5'.',, 7", les angles que les normales aux seconde et troisième surfaces au point P font avec les axes, on a

(3) cosa'l -t- cos,*;'!, = o.

Les longueurs infiniment petites AM et AN étant égales, le théorème de y]. J. Bertrand (art. 78."»^ donne

(4) cos;?, = cosx, ,

car les angles /3, et «', sont complémentaires des angles que les normales à la première surface aux points ^l et N font respectivement avec les plan? normaux et rectangulaires ZAX etZAY. On trouve de la même manière

(5) cos:z.', = cos-,';., cosy!, = eOSj'î'3.

Ajoutant les équations (i) et (2) et ayant égard à l'équation [\), on obtient

2 cos/3, -f- cosY, -f- cosy'j = o.

Les équations (3) et (5) donnent d'ailleurs

COS72 + COS7!, = o.

On a donc

cos/3, = o.

Nous voyons que la déviation de la normale à la première surface au point M est nulle, et que par suite la droite AX est tangente à une ligne de courbure de cette surface; elle est également tangente a une lignr de couilMin' de la Iruisii'uie surface, et chacun des autres axes jouit d'une proprirlé analogue pour les deux surfaces dont il touche l'intersection.

88 LIVRF, MU. — COI RBL'RE DES SlliFACES.

Il résulte immédiatement de là que, si trois séries de surfaces sont le/les que les surfaces de chaque séiie coupent partout à am^/e droit celles des deux autres séries, chaque courbe d'interscctio/t est à la J'ois une ligne de courbure pour les deux surfaces de diférentes séries auxquelles elle appartient ( ' ).

Surjciccs (In second ordre orthogonales.

9I<>. Deux surfaces du second ordre ayant les mêmes plans principaux peuvent être représentées par les équations

En désignant les coordonnées variables par X, Y et Z. on trouve que les équations des plans tangents en un point commun {x, y, z) sont

Pour que ces plans soient rectangulaires, il faut que l'on ait

Cette équation représente un cône du second ordre, dont les axes sont dirigés selon les axes coordonnés; par conséquent, quand deux surfaces du second ordre ont les mêmes plans principaux, tous les points où elles se coupent à angle droit appartiennent à un cône de cet ordre qui a les mrmes plans principaux. D'après un théorème connu (art. 249), les courbes d'intersection des trois surfaces considérées deux à deux se projettent sur un quelconque des plans coordonnés suivant des coniques. Les sommets de ces projections sont les projections des points des courbes situés dans les autres plans principaux.

Si les sections principales de deux surfaces du second ordre se rencontrent à angle droit, les surfaces elles-mêmes se couperont sous cet angle aux points où leur intersection perce les plans principaux, et ces points appartiendront au cône. Alors le cône et les surfaces que nous considérons se couperont deux à deux suivant trois courbes qui, projetées sur les plans principaux, seront du second ordre et auront tous leurs sommets (réels ou imaginaires communs ; elles

(') Ch. Dupin a donné ce théorème dans ses Développements. <lc Gàuneirie (4' Mémoire). La démonstration que nous avons adoptée est de M. J. Bertrand ( Journal île Mnt/iènitilii/iiex. 1844 )■

CIIAriTRi: IV. — LIGNES lUX.VTIVES \L\ COCRCLRliS, 8f)

seront donc identiques, et par suite deua: surfaces du second ordre ayant les mêmes plans principawx sont orthogonales quand leun sections principales se coupent à angle droit.

917. Quand une ellipse et une liyperbole ont les mêmes foyers, elles se rencontrent à angle droit, car leurs tangentes en chacun des points communs sont les bissectrices des angles supplémentaires que comprennent les mêmes rayons vecteurs.

Réciproquement, une ellipse et une liypcrhole sont homofocales quand elles ont les mêmes (ires et qu'elles se coupent à angle droit, car l'hyperbole qui passe par les quatre points de rencontre des deux courbes et qui a les mêmes foyers qm^ l'ellipse touche l'hyperbole donnée en quatre points, et par suite se confond avec elle.

De ce théorème et de celui qui a été démontré à l'article précédent, il résulte que deux surfaces du second ordre sont orthogonales quand leurs sections principales sont homofocales. On dit alors que les surfaces sont homofocales.

Lignes (le courbure des surfaces du second ordre.

918. Considérons la surface du second ordre représentée par l'équalion

^ a- — nr b- — m'- c- — i)i-

Les axes coordonnés sont rectangulaires; a^, h-, c^ sontdes coefficients et m^ une constante arbitraire.

Les différences des carrés des demi-axes sont indépendantes des valeurs de m-, et par suite, si l'on fait passer cette constante par tous les états de grandeur depuis — 00 jusqu'à -+- se , toutes les surfaces données par l'équation auront leurs sections principales homofocales.

Quand m^ est négative et très grande, la surface est un ellipsoïde; si l'on fait varier 7«- comme nous l'avons indiqué, le premier membre de l'équation i arrivera à contenir un terme négatif, puis deux et enfin trois; on aura dans ce dernier cas un ellipsoïde imaginaire.

En ne considérant que les surfaces réelles, nous voyons que le système complet des homofocales représentées par l'équation (i) comprend trois séries composées, la première d'ellipsoïdes, la seconde d'hyperboloïdes à une nappe, et la troisième d'hyperboloïdes à deux nappes. La transition d'une série à l'autre se fait par une surface ayant un axe nul, c'est-à-dire par une conique. Nous avons trouvé des dispositions analogues dans le système des surfaces du second ordre qui peuvent être inscrites dans une même développable (art. 32(i) (').

(,') Nous avons déjà eu l'occasion de considérer les surfaces du second ordre homofocales (art. 3ii).

m. — Df. l\ GoiRNERiE. — DescripiU-e . I'^

„Q IJ\T,E VllI. — COURBURE DES SURFACES.

919. Par un point quelconque de V espace on peut faire passer une surface de chaque série. — On le reconnaît facilement par la discussion directe des séries; ainsi, les ellipsoïdes forment une suite continue depuis l'aire d'une ellipse jusqu'à une surface dont les axes sont infinis, et par suite ils remplissent l'espace de leurs points.

L'équation (i) va nous conduire aux mêmes résultats; on peut la mettre sous la forme

l^ffi m- i[c- — m- )x- + {a- — m-){c- — /n=)v- + (rt^ — m-)[b- — m^)z- — [a- — m^) 6- — m-)(c- — m-) = o.

Si X, y el z sont les coordonnées d'un point donné, on aura une équation du troisième degré pour déterminer la constante m- qui particularise la surface à laquelle appartient ce point. On peut supposer que a^ est plus grand que b-, et bplus grand que c" ; alors, en faisant successivement w^ égal à a-, 6-, c^ et — se , on trouve des valeurs alternativement positives et négatives pour le polynôme qui forme le premier membre de l'équation. Les trois valeurs de m- sont donc toujours réelles, et les surfaces qu'elles déterminent appartiennent à des séries différentes.

920. Il résulte de ces diverses considérations, et des théorèmes démontrés aux articles 91(> et 917, que les surfaces des trois séries représentées par l'équation (i) sont orthogonales, et par suite que leurs intersections mutuelles sont leurs lignes de courbure.

Considérons spécialement la surface qui correspond à la valeur o de m- et dont l'équation est

Nous aurons ses lignes de courbure en prenant son intersection avec l'ensemble des surfaces représentées par l'équation (i).

L'élimination de z entre les équations (i) et (2) donne

La projection d'une ligne de courbure d'une surface du second ordre sur l'un quelconque de ses plans principaux est une conique.

En appelant a' et Z*' les demi-axes de cette courbe considérée comme une ellipse, nous avons

CHAPITlilî IV. - LIGNES RELATIVES AUX COURBURES. QI

L'élimination de m^ entre ces équations donne

fl2 0' a^ b- — a- b-

On voit que les demi-axes des coniques, projections des lignes de courbure sur un plan principal, sont les coordonnées d'une autre conique. On a, pour déterminer les demi-axes a et/3 de cette courbe auxiliaire considérée comme une ellipse, les équations

a — — ; ., ( t . iJ — T-; T f •

9*21. Z,;>/!« de courbure de V ellipsoïde scalè ne. — Pour discuter les équations (|ue nous venons d'obtenir et en déduire des constructions, nous devons faire (les bypotlièsos sur les signes des carrés a*, b'^ et c'-, et sur leurs grandeurs relatives. Nous supposons que l'on a

c'est-à-dire que nous considérons la projection des lignes de courbure d'un ellipsoïde scalène sur le plan de l'axe majeur et de Taxe moyen.

Les équations (G) donnent une valeur positive pour «- et une valeur négative pour |3- ; la conique auxiliaire est donc une hyperbole.

Ln/ig. 363 montre la construction des longueurs réelles a et |3 y/ — i . La courbe ADB est la moitié de la section de l'ellipsoïde située dans le plan de projection; le point F est un de ses foyers. Les courbes V et U sont les rabattements autour des axes KA et KD des autres sections principales. Le point/est un foyer de la premiÎM'e de ces ellipses; le point/,, un foyer de la seconde.

D'après les équations (6) nous avons

a = JJ^KB = KO. /3 ^/^T = ^ KD = KG.

Lorsque l'on connaît les longueurs a et /3 V — i , on peut traceur l'arc 01 de l hyperbole auxiliaire. Sur h/ig. 3Gj, dont l'échelle est double, nous avons établi cet arc sans reproduire la construction pour déterminer les axes.

D'après nos hypothèses, « est nécessairement plus petit que a, et le point 0 est entre les points K et B.

Si nous attribuons art' une valeur déterminée KN (y?o-.3G) ), l'ordonnée NH sera la grandeur correspondante deb'. L'ellipse NMN|M,,qui a pour axes les doubles des longueurs KN et NH, est la projection d'une ligne de courbure.

qo LIVRE VIII. — COURDURE DES SURFACES.

Quand on donne h à une longueur KP plus petite que KO, l'ordonnée è' de l'hyperbole 01 est imaginaire, et par suite la ligne de courbure correspondante a pour projection une hyperbole dont l'axe non transverse se trouve sur la droite KD. Si nous appelons b^ la moitié de la longueur réelle de cet axe, nous aurons

i; = - h\ L'équation (5) deviendra

{^:>bis)

En appelant a et ^, les demi-axes de cette conique, nous aurons

[oois] a- = — ; ;rt-, a =— ,b-.

« et jS, sont les longueurs KO et KG {/ïg. 363); la seconde auxiliaire est donc une ellipse OG {^g. 365). L'hyperbole RR, SS, qui passe au point P a pour axes les doubles de l'abscisse KP et de l'ordonnée correspondante KQ.

922. Pour donner de la régularité à la répartition des lignes de courbure, nous avons tracé la courbe D, eB, rabattement sur le plan de projection de la moitié de la section principale contenue dans le plan passant par l'axe mineur et par l'axe moyen ; nous avons partagé cette ligne en parties sensiblement égales, nous avons projeté les points de division sur D,D, et par ces projections nous avons fait passer des ellipses. On pourrait déterminer les sommets des hyperboles, en divisant d'une manière analogue l'arc appartenant à la troisième section principale et projeté sur 00,. Cette construction n'est pas faite sur l'épure de Monge que nous avons voulu reproduire sans altération.

Les ellipses principales sont des lignes de courbure, car leurs plans coupent normalement l'ellipsoïde. Les lignes de courbure qui se projettent suivant des ellipses ne se rencontrent pas, et par suite elles appartiennent à une même série; celles dont les projections sont des hyperboles rencontrent les premières et dépendent de l'autre série.

L'ellipse principale contenue dans le plan DD, appartient à la série des lignes de courbure dont les projections sont des bvperboles ; celle qui est dans le plan AB de l'axe majeur et de l'axe mineur appartient à la même série pour les parties qui se projettent sur les segments BO et AO, , et à l'autre série pour la partie projetée sur 00, ; elle forme donc une transition, et elle est la seule qui passe aux points OetO,.

923. Le point projeté en 0 est rabattu en T sur l'ellipse Y dont les demi-axes sont a et c {/ig. 363). Nous avons trouvé

KÔr = ^^^;=-Ka'; d'où ÔT' = ^t^c=;