PLUS GRANDE QUE
Positif
Positif
Positif et plus grand que «^ et b'^.
Positif
Positif
Positif et plus petit que a- et b'^.
Positif
Négatif et plus petit que b^ en grandeur absolue.
Négatif
Positif
Négatif
Négatif et plus petit que b- en grandeur absolue.
r)6 LIVRE VIII. - C0URI5I UK DES SURFACES.
Quand <?= est négative, nous trouvons un ellipsoïde projeté sur le plan de l'axe mineur et de l'axe moyen : les points 0 et 0, sont sur le premier. Les gi'ands axes des ellipses qui sont dessinées étant sur AB, on ne voit pas immédiafenient comment la disposition que nous indiquons peut être réalisée; mais il faut remaripier que la grandeur absolue de [i^ étant supérieure à a-, l'angle des asymptotes de l'hyperbole auxiliaire est obtus, et que par suite, à partir d'un certain point, les valeurs de b' surpassent celles de a' ; il en résulte qu'une dos ellipses de la série générale est un cercle, et que celles qui la suivent ont leur grand axe sur la droite indéfinie D,D.
Lorsque e- est positive et plus petite que «-, les surfaces sont des ellipsoïdes projetés sur le plan de l'axe majeur et de l'axe inovcn. La figure est établie spécialement pour ce cas.
Quand e'^ est comprise entre a" et — ^^, on obtient des hyperboloïdes à deux nappes projetés sur le plan qui contient le plus grand des deux axes non transverses et l'axe transverse; les points () et 0, sont sur ce dernier. Les ellipses ont chacune deux arcs utiles et deux parasites; les hyperboles qui se trouvent en dedans du contour apparent sont utiles, les autres parasites.
Enfin, lorsque c- est plus grande que — /5'^ on a des hyperboloïdes à deux nappes projetés sur le plan des deux axes non transverses : les points 0 et 0, sont sur le plus petit des deux. Les ellipses et les hyperboles sont utiles sur toute leur longueur.
928. On trouve par des raisonnements analogues que les coniques qui sont tangentes aux quatre côtés du losange XrX'r'(//^. 36^) sont les projections des lignes de courbure d'une série d'ellipsoïdes etdedeux séries d'hyperboloïdes à deux nappes. Le plan de projection contient l'axe majeur et l'axe mineur de chaque ellipsoïde, l'axe transverse et l'axe non transverse mineur de chaque hyjierboloïde.
On peut dire d'une manière générale que les dispositions représentées en partie sur les/7i^. '^6'^ et 3G5 sont celles des lignes de courbure de l'ellipsoïde et de l'hyperboloïde à deux nappes, projetées sur le plan des ombilics et sur un autre des plans principaux.
929. Il nous resterait à étudier les lignes de courbure de l'hyperboloïde à une nappe, mais nous nous bornerons :i quelques observations. Sur le plan de l'ellipse dégorge, les coniques sont à peu près disposées comme celles de la/?^. 365 : l'angle des asymptotes de l'hyperbole auxiliaire est aigu, et par suite toutes les (dlipses ont leur grand axe sur la même droite. Les points 0 et 0, sont dans l'inlérieur de l'ellipse de gorge, et appartiennent à un segment parasite de la projection de la section parle plan qui contient l'axe non transverse et l'axe transverse majeur : l'hyperboloïde gauche, étant une surface à courbures opposées, ne peut en effet avoir d'ombilics.
