CHAPITRE IV. — LIGNES IlELATIVES VL \ IlOUiliL lUCS. q
Sur le plan de l'axe non transversc et dr l'axe Iransverse mineur, la courbe auxiliaire est une ellipse iinaiçinaire. Cela indique qu'il toute valeur léelle de a' ou b' correspond une graiuleur imaginaire pour b' ou a', et que par suite les courbes des deux séries sont des hyperboles telles que les axes transverses des unes et les axes n(ui Iransverses des autres sont sur une même droite. En remplaçant successivement jS- par — jS"; et 7- par — y;;, on obtient deux hyperboles (|ui font respectivement connaître les axes des coniques des deux séries.
Ohscrvdtions s///' les dispositioiis des lignes de aiurhiire pi 'es d'un oinhilie.
9.")0. Les raisonnements que nous avons présentés à l'article 8*20 pour établir qu'il passe deux lignes de courbure en chaque point d'une surface ne subsistent pas pour un ombilic, car l'équation (20) de l'article 811 montre qu'en un tel point la déviation est nulle dans toutc^s les directions; mais, comme la même circonstance n'a pas lieu aux points voisins, les surfaces lieux des normales aux divers points d'une courbe qui passe à un ombilic sont en général gauches, et n'ont de remarquable (]uc d'avoir un sommet sur la génératrice qui rencontre la surface considérée à l'ombilic.
Les lignes de courbure présentent près des ombilics diverses dispositions. Nous constaterons ici celles que l'on rencontre sur les surfaces ([ue nous connaissons.
1" Sur les surfaces du second ordre, une seule ligne de courbure passe i» un ombilic; elle forme transition entre les deux séries.
2° Quand une méridienne est rencontrée normalement [)ar l'axe, le point commun est un ombilic de la surface de révolution. Une infinité de lignes de courbure, toutes de la même série, passent à ce point.
'i" Quand le centre de courbure C d'une méridienne pour un point M est sur l'axe de révolution, les points du [larallèle décrit par le point M sont des ombilics. Deux lignes de courbure, un méridien et le parallèle, passent à chacun d'eux.
Les méridiens sont en eénéi'jd les liijiies de idus "rande courbure d'un coté du parallèle, et de plus petite courbure de l'autre coté.
Monge a ii\t\\c\k lignes des courbures sphériques les ligues dont tous les points sont des ombilics.
4" Sur la sphère, tous les points sont des ombilics, et une courbe quelconque peut être considérée comme ligne de courbure.
tll. — Du i\ GoinxiKic. — PcrsfiKrtit.
nS LIVRE VIII. - COLRIU'RK DICS SIRFVCES.
Mesure (le la eoiirhiire dune surjaee en un point.
951. La considération des lignes de eourhiirc est d'une grande iililité dans diverses recherches géométriques. Nous allons en donner un exemple.
Soit, sur une surface, un rectangle ACDB [fig. 369) dans lequel deux côtés opposés appartiennent à deux lignes de courbure infiniment voisines : les côtés de ce rectangle étant infiniment petits doivent être considérés comme rectilignes et égaux deux à deux. La normale à la surface au point A rencontre les normales aux sommets B et C en des points P et Q. Les segments AP et AQ sont les rayons principaux R, et Rj, et, en appelant £ et vj les angles APB et AQ(^, on a
AB = R,£, AC = R,vî.
L'aire ABD(] doit être par conséquent égale à R, R^r/î.
Supposons maintenant que par le centre» d'une sphère d'un rayon égal à l'unité, on fasse passer (|uatre plans respectivement parallèles aux plans qui contiennent les normales en deux sommets voisins du rectangle .ABDC, on déterminera sur la sphère un rectangle ahdc, dont l'aire sera sr,, et l'on aura
nhdc I
On peut regarder le périmètre ahdc comme le lieu des pieds des rayons parallèles aux normales aux différents points du périmètre ABDC.
La forme rectangulaire n'a aucune importance pour le résultat que nous venons d'olUcnir, car, quelle que soit l'aire infiniment petite considérée, on peut toujours la concevoir divisée en rectangles dont les côtés ayant des longueurs infiniment petites du second ordre seront dirigés sur les lignes de courbure.
Nous voyons d'après cela que si, parle centre d'une sp/ière d'un rayon eqalà runilc, on mène des droites parallèles aiiv normales à une surface aux dilferents points diLpèiimètre d'une aire infiniment petite, on déterminera sur la sphère une aire dont le rapport à Vaire considérée sera égal à V unité divisée par le produit des rayons de courbure princij)auv de la surface (' ). Gauss a appelé ce rapport mesure de la courhure; en adoptant cette définition, on doit considérer la courbure comme positive ou négative, suivant que la surface est convexe ou à courbures opposées.
C) On iKnil voir pinir ce tliéorème une Note de Binci sur un .Mémoire par Olindc Rodi'igues. dans li'oisicnie \'iilume de la Cnn-cspondaruc <lc l'École Poly/cc/iiii(jiif.
CIIAPITHK IV. - LIGNIiS liliLATIVKS MA Cdl !!IU RKS. Qq
§ II. — L K; N F, S A S Y M P T O T I V l E i .
C()iisi(l('f(tt(()iis ^niri'dlcs .
932. Nous avons dit à l'ai-ticle 820 que, sur une surfaco, une ligne asymptotique est une courbe tangente en chaque pointa une asymptote de l'iniliralriee de ce point. 11 résulte de cette définition et du théorème de l'article 818 (jue tous les plans oscillateurs d'une ligne asymplotijue d'une surface sont tangents à cette surface. Nous avons dû faire, il est vrai, dans l'énoncé de la proposition de l'article 8Î8, cette restriction que le contact de la courheavec une asymptote de l'indicatrice soit seulement du premier ordre, mais une ligne ne peut avoii' des inflexions qu'en des points sinijuliers.
Réciproquement, et en vertu d'un théorème que nous avons établi à l'article 797, une courbe tracée sur une su/face est asymptotique, cpiand cluicun de ses plans osculateurs est tangent à la surface.
Lignes asyinptotiqties des surfaces gtutclics.
953. Les surfaces du second ordre ont pour asyniptotiques des droites (jui ne sont réelles que pour l'hyperboloïde à une nappe et le paraboloide hyperbolique.
Sur une surface gauche, les génératrices sont les asymptotiques de l'une des séries, et on appelle spécialement a5jm/?/o;/7W('.y celles de ces lignes (jui appaitiennent à la seconde série.
Considérons une génératrice G et appelons G' la génératrice qui lui est intiniment voisine : G' appartient à l'hyperboloïde osculaleur le long de G. Les génératrices du second système de cet hyperboloïde sont tangentes aux asymptotiques de la surface, et par suite quatre de ces lignes interceptent sur G et sur G' des segments dont les rapports anbarmoniques sont égaux (art. 699), même en ayant égard aux infiniment petits du premier ordre. Les quatre asymptotiques coupent successivement les diverses génératrices, et, d'après ce que nous venons de voir, le rapport anharmoniquc des points de rencontre est invariable de l'une à l'auti'e. Nous avons donc ce théorème : Dans toute surface gauche, le rapport anharmonique des points où quatre asymptotiques déterminées rencontrent deux génératrices quelconques est constant. On peut encore dire (art. 699, note) que les points où les lignes asymptoti'pu's d'une surface gauche coupent deux générât/ires quelconques forment sur ces droites des divisions homograpJiitpies.
Quand la surface est un conoïdc, les hyperboloides osculateurs sont des paraboloïdes, et, en raisonnant comme précédemment, on trouve que les asym-
iQo i.iviiEviii. ('m;iîRi lu: DES sriîFVCKs.
plnlintcs iiilcf.'ep'rn! sur di-it v ^r/icra/zv-es quelconques des segmen/s proportionnels Mrl.(>10)i').
î)54. Quand une génératrice passe à un sommet, elle n'est pas croisée à ses (liirérenls points par les asymplotitjiies, car elle est une ligne de conrlnire et les asymptotes des indicatrices sont confondues avec elle. Au sommet, tous les plans conleiiaiit la génératrice doivent être considérés comme tangents, et chacun d'eux est leplan osculatenr d'une asymptotique qui rencontre tangentiellement la génératrice section normale d'un rayon infini.
Quand la surfiu^e a une directrice rectiligne, cette droite est une asymptotique en tous ses points et notamment à chacun des sommets où elle passe. On voit ainsi qu'à un sommet une asymptotique peut ne pas être tangente à la génératrice. Rn résumé, les asynipiotiques d'une surface gauche passent à chaque sommet, et y sont en gênera! tangentes à la génératrice.
955. On considère quelquefois la surface gauche formée par celles des normales à une courbe gauche qui sont respectivement situées dans les plans osculateurs et que l'on appelle normales principales. La directrice est une courbe asymptotique de la surface gauche, car chacun de ses plans osculateurs lui est tangent. Nous concluons delà (|ue le lieu des normales principales à une courbe gauche ne peut pas être un hyperboloïde, car les lignes asymptotiques de cette surface sont des droites I' .
E\\ tout point de la directrice, les deux asymptotiques de la surface gauche sont cette courbe et la génératrice, lignes qui se rencontrentà angle droit. 11 résulte de là que les rayons de courbure principaa v de la surface sont égaux en grandeur absolue auv divers points de la directrice.
Lorsqu'une ligne asymptotique d'une surface gauche est une trajectoire orthogonale des génératrices, cette surface est le lieu des normales principales à l' asymptotique ( ■' ) .
Lignes asyiiipt(di(jii('s des surfaces de révuliitiuii .
Î)5G. Les surfaces de révolution n'ont des lignes asymptotiques que sur les parties qui sont engendrées par les arcs de la méridienne dont la convexité est tournée
( ') Ces Ihéorèmes soiil dus à M. l'aiil Poi-ret {Thèse mu- lis propriétés i^éumélriiptes des couitics h double courbure ).
(-) L'élude de la surface lieu des normales priucipales à une courbe gauche se ramène à l'étude de la surface lieu des normales à une dévcloppabie sur la(|iielle la courbe donnée esl une géodésique. Celte développable est l'enveloppe des plans laugenls à la courbe gauche donnée el respectivement perpendiculaires à ses plans osculateurs.
En se reportant à l'article S."}], on voit ([ue la grandeur ab<ii'liie du produit des rayons de courbure de ta surface lieu des nirinnles principales à une courbe <^aac/ic, en un point de cette courbe, est égale au carré du rayon de seconde courbure correspondant à ce point. ( M \nmii;i.\:. )
(») Ces théorèmes sont dus a M, .1. Bertrand, .founud île M. lÀoufiUe, iSjo.
r.lIVPITlîK IV. - LIi.NKS RKLVTIVIvS VI \ Col HBURES. lOI
vers l'axe, car ce sont les seules dont les courbures soient néi^atives lart. 951 '. Ces parties sont limitées à des parallèles le long des(juels la surface est touchée par un plan, et quelquefois à un parallèle d'indexion \a[fig. 35G).
En un pointe du parallèle Aa, la méridienne, qui est une section principale, a Mil rayon infini; les deux lignes asymptotiques lui sont donc tangentes, et, comme elles ne peuvent dépasser le point C, elles forment les deux branches d'un rebroussement. On voit que le parallèle d'inflexion est le lieu des points de rebroussemenl des asymptotiques, et que les deux branches de chacune de ces lignes appartiennent aux deux séries diflerenles.
Les sections principales sont les méridiens et les courbes tangentes aux parallèles; aucun de leurs rayons de courbure n'est infini dans la partie comprise entre Art et \ib. Il résulte de là qu'à partir du rehroussement C, les deux branches d'une asymptotique se rapprochent continuellementdu parallèle Bè. D'ailleurs, elles ne peuverttpas l'atteindre, car ce parallèle est une asymptotique qui n'est rencontrée par aucune autre, parce qu'en chacun de ses points la surface a un plan tangent unique, et une seule section à courbure nulle. Il passe par tout point de la zone considérée, quelque voisin qu'il soit du parallèle B6, deux asymptotiques qui d'un côté se rapprochent de ce parallèle, et de l'autre s'avancent vers le cercle Aa. Il résulte de ces diverses considérations que les asymptoliques sont toutes asymptotes du parallèle supérieur ^b.
§ IIÎ. — [.IGNES TANGENTES AUX SECTIONS NORMALES SUROSCULÉES PAR DES CERCLES.
DcterniliKttion des sections normales suroscitlées par des cercles en lin point d'une surface.
057. Considérons deux surfaces 1 et 2', l'une quelconque, l'autre du deuxième ordre et osculatrice de la première en un de ses sommets : ces deux surfaces se traversent, et l'on reconnaît, par des considérations analogues à celles de l'article 865, qu'il y a un contact du troisième ordre entre leurs sections par un même plan normal contenant la tangente à une des branches de l'intersection. La section faite dans 11 est une conique ayant un sommet au point de contact : la section de 2 est donc surosculée par un cercle.
Nous prenons pour origine le point où les surfaces se touchent, et pour axe des ordonnées z leur normale commune : les deux autres axes sont dans le plan langent. Si nous ne considérons que la partie voisine de l'origine, pour laquelle l'ordonnée s est infiniment petite du second ordre, l'équation delà surface 2, supposée algébrique ou développée suivant les puissances entières des variables, se réduira à la forme suivante, quand on y négligera les infiniment petits d'un ordre plus
élevé que le troisième :
^'^ i +A.r= + Ay 4-B.ry + B'r.r + B"v= + C==:o.
La surface du second ordre 1' osculatrice de 1 en un de ses sommets est représentée par l'équation (art. 792)
A.r^ + A'y- + K=^ + Bxy + C= = o.
dans laquelle K est un coefficient arbitraire. En considérant seulement la partie de l' voisine de l'origine, et négligeant le terme en z- qui est du quatrième ordre, l'équation se réduit à
(a) Ax--\- A'y-' -+- Bry -\- Cz = o.
Les sections normales surosculées par des cercles, dans la surface 2, sont tangentes aux intersections des surfaces représentées par les équations (i) et (2). L'élimination de z nous fera donc connaître les tangentes à ces courbes.
Eu égard à l'équation (2), l'équation (i) se réduit à
M.r' -4- M'.v' + N,r\v -f- N'..ry= + (B'.r + B"y, z = o. L'élimination de z entre cette dernière et l'équation (2) donne
^__Air'nB'w-^/j^j AB'
On voit qu'il passe par tout point d'une surface trois sections normales surosmilées par des cercles, et qu'il ne peut y en avoir plus de trois, :i moins qu'elles ne jouissent toutes de cette propriété : tous les coefficients de l'équation sont alors nuis. Deux des trois sections peuvent évidemment être imaginaires.
958. Si la surface proposée 1 est du second ordre, M, M', N et N' seront nuls, et l'équation (3) se réduira à
A'B"''', + (A'B' + BB")-^ + (AB" + BB') - h- AB' =- o. On peut mettre cette équation sous la forme
ClIvriTCK [V. - IJGMCS RELATIVES AUX COURBURES. lo3
Elle se divise donc en deux é(|uations :
La première représente l'intersection de la surface du second ordre par le plan des xy, et par suite les génératrices rectilignes qui sont en effet des cercles d'un rayon infini; la seconde détermine la tangente à une section normale surosculée par un cercle d'un rayon fini. Cette section est toujours réelle.
Dans le cas qui nous occupe, les surfaces 2 et l' sont toutes les deux du second ordre. Elles se coupent d'ailleurs suivant deux droites : leur intersection complète comprend donc, en outre, une courbe plane (art. 2o2). Il est facile de reconnaître que cette courbe est en général située dans un plan oblique.
Détenninatioii sui- les surfaces du second ordre des lignes tangentes aux sections noi-niales surosculées par des cercles.
959. On peutconcevoir des courbes qui soient tangentesaux sections normales surosculées par des cercles, comme les lignes de courbure le sont aux sections principales. Chaque surface a trois séries de ces lignes ou une seule série.
939 a. Nous avons donné en i855, dans \q Journal de M. Liouville, l'équalion générale des courbes tangentes aux sections normales surosculées par des cercles. Nous allons reproduire ce travail en développant les calculs plus que nous ne l'avons fait alors.
Nous nous occuperons d'abord d'une surface quelconque, sur laquelle nous considérons une section par un plan normal en un point. Nous appelons R le rayon do courbure de la section en ce point, et a, p, ■{ les cosinus des angles que sa tangente lait avec trois axes coordonnés rectangulaires. Nous regardons l'ordonnée z du point de la surface comme une fonction des coordonnées horizontales j; et/, et nous désignons suivant l'usage par/7, q, r, ... ses dérivées partielles des différents ordres.
En posant
(1) Z.= iS^ -H 2.s-3a + /-aS
on a, d'après une formule connue,
rfl I— /72 x ,
Si la section est surosculée par un cercle, elle a le même rayon de courbure au point inliMiinenl voisin de celui qui est considéré, et par suite on peut différentier l'équation (2) en regardant II comme constant. On a ainsi
(p- + y- -\- \)dZï— [(ps -\- qt)dy — ipr -t- qs)dx\L, = o.
,,,/ LlVliK VIII. Cdll'.lUliK l)i;s SI lU -ACKS.
En appelant S l'arc intiiiinienl pelil de la spdioii iiDrinale, ou a
(3) f/)=S?, </j- = So(, l'I l'riiualion (Icvionl
(4) (/(--+-7--1- iic/Zo— [(/« r- 70? + ^/"' +-7*,'=']^2^
Nous allons cliereher la valeur de d'L,. En différenllaiil réi|ualiciii (1 1, el en .\ i<'iiii)laçant dx cl dv par leurs valeurs (3), on oLlienl
<//.,= (r3' + 3ii\i-x + iiii^yx'- -\- ti'ji' ]S -t- •.>.(/ 3 +.sa) c/S + •-. i .vji + r-j.)ilx. Nous posons
En portant dans l'équation (4) la valeur de d'/., simplifiée par cette nolatiun, on id>lieiil
{ (/''--!-'/'+ l)Z;,S-h9.(// +- '/'-T- l)[(.<i -|-.Vï)f/? ht-vii- /-ïlf/aj
^ ) — [(/w4- '/nS -i- (/>/• -i- '/AjïJZjS — o.
Il (aiit niainlenaut delerniiner les dilTérentielles d^. et (/^.
La normale à la surface et la langente à la section au point considéré ont respectivement poui' éqiialious
{ .v'—.r^p(z'—z) — o, \ (.i'—j-)-r — {z'—:)'x, \ y—y-hqtz'—z.)=o; ) ( v'— v)v = fc'^ ;) 3,
;<•', v' et ;' étant les coordonnées courantes. Le plan de la section contient ces deux droites, et par suite on trouve que son équation est
Les différentielles f/a, f/3 et f/-,' doivent être telles que la tangente au imini inllMiiueni voisin de celui que nous considérons soit dans le plan de la section. Eu dillérentiant les équations de la tangente par rapport aux coordonnées du point île contacl, on a
{x' — .r }d-; — Y dx rrz (;' — z) di — -idz, (y'—y)d-: — •; dv — [z — ;) d'i — 3 dz.
Les termes -{dx et idz sont égauv à xvS et par conséquent égaux entre eux. Les ciiiantilés -[dy el '^dz sont aussi égales. Les deux équations que nous venons d'obleuir se réduisent donc à
D'aprésce que nous avons dit, les valeurs de (j'— j) el de(,v'— v) prises dans ces deux (leiniéres équations doivent satisfaire à ré(|uation (7). Cette condition donne
(8) (<^ + rj ■;) dy: — {-x + J>-;) d'i -h (pp — '/7.)d-;—0.
La langente ii la section au point considéré étant perpendiculaire à la noiinale à la surface, on a
(.9) pu + (j'fi — -;^o.
