CHAPITRE IV. - LIGNES RELATIVES AUX COURBURES. I

conique BMC. Son intersection BC avec le plan Q est parallèle à ML et à IJ : le milieu de la corde BC est par conséquent an point D. Il résulte de là que la droite MD est dans la conique BMC un dianièlre conjui;ué à la direction ML; comme d'ailleurs elle est perpendiculaire à ML, on voit (jue le point ^I est un sommet de cette courbe.

Nous obtenons ainsi ce théoi-ème : 5/ /'o« circonscrit une dàeloppahlc à une surface du second ordre et à une sphère concentrique, la ligne de contact sur la surface sera tangente en chacun de ses points à une section normale surosculée par un cercle.

9il. En renversant l'ordre des raisonnenienls, on trouve i.\uc quand, sur une surface du second ordre, un point IM est un des sommets d'une section normale BMC, cette courbe est tangente en IM à la lisne de contact de la surface considérée avec une développable qui lui serait circonscrite ainsi qu'à une sphère de même centre quelle. Il suit de là que le plan tangent P n'aura pas cessé de touclier la sphère dont le rayon est AG, s'il roule sur la surface du second ordre de manière que son point de contact se transporte sur la section BMC à une distance infiniment petite de >I. Nous avons donc un second théorème réciproque du premier : Lorsqu'une courbe tracée sur une surface du second ordre est telle que chacun de ses points soit un sommet delà section normale ipii lui est tangente, les plans tangents à la surface en ses différents points sont tous à une même distance du centre.

Il résulte de ces théorèmes que, déduction faite des génératrices rectilignes, il ne passe par un point d'une surface du second ordre qiiune courbe tangente à des sections normales suroscidées par des cercles, car le plan langent en un point ne touche qu'une sphère concentrique à la surfiice.

Poinsot a appelé /;oMorA> la courbe de contact d'un ellipsoide avec une développable circonscrite à cette surface et à une sphère concentrique (' ). Nous adopterons cette expression en l'étendant d'ailleurs aux lignes (jui jouissent de la même propriété sur les autres surfaces du second ordre.

942. Les observations que nous avons présentées à l'article oiO, et les formules que nous avons données dans les articles qui précèdent celui-là, permettent de déterminer facilement les polhodies d'une surface du second ordre donnée.

Les droites diamétrales conjuguées communes à la sphère et à la surface considérée sont dirigées suivant les axes de cette dernière. Si nous désignons par

(1) La courbe que Poinsot a appelée /^ottw/Ze est tracée sur un ellipsoïde dans lequel l'inverse do la valeur du carré do l'axe mineur est plus grand que la somme des inverses des carrés des dou\ autres

axes I -; > -; -H T-, ) . Le savant iréomètre a été conduit à l'étude de celte courl)e par des considérations \ c^ ifl b- j

de Mécanique (yoH/-«rt/ f/c .1/. Liiuu'illi-, i85i).

Io8 LIVRE VIII. — COLRBIRE DES SURFACES.

les lettres m et n les longueurs appelées b et c à l'article o57, et si nous eonservons les autres notations de cet article, les deux premières équations de condition (5) seront

— rz

ii!

-jp-

/// et n d'une part,/^ et </ de l'autre, sont les demi-axes des lignes doubles de la développable situées dans les deux plans coordonnés respectivement perpendiculaires à l'axe des abscisses et à l'axe des ordonnées verticales : )., p. et v sont les demi-axes d'une surface du second ordre inscrite dans la développable.

Si nous représentons par a, h et c les demi-axes de l'ellipsoïde considéré, et par r le rayon de la splière, la développable devant être circonscrite à ces deux surfaces, nous aurons

\ tu- J p- m- \ m- j p- m-

On déduit facilement de ces quatre équations les valeurs de nr , rr , /r et fj" :

o II' — C' . < CI' — c-

ni- =^ r- — ;, ir = r

Les équations de la courbe de contact de la développable avec une surface

inscrite du second ordre sont données à l'art. 559 (' :. La première est

1 ') Puisque nous avons occasion de revenir sur les iléxeloppables circonscriles. imus remarquerons que la proi>osition de l'arl. 513 n'est qu'un corollaire d'un théorème plus général qui consiste en ce (juc les génératrices d'une développable circonscrite à une série de surfaces du second ordre sont divisées homographiquement par les lignes de contact de ces surfaces. On peut obtenir ce théorème par la méthode suivie aux art. SU et suivants; on peut aussi le déduire, par la tiiéorie des polaires réciproques, d'une proposition de Chasles (Conipies rendus, 2° semestre de 1837, p. 1002). 11 permet de tracer facilement les projections de la ligne de contact qui passe jiar un point, quand on connaît trois des lisnes doubles.