CHAPITRE IV. - LIGNES RELATIVES AUX COURBURES. io
Les axes étant rectangulaires, on a
l-]ii difl'ûrentianl les équations (9) et (10) et ayant égard aux relations (3), on obtient
Les équations (8), (1 1) et (la) vont nous donner les différentielles cherchées di et <r/p. l'oui' faii'e facilement l'élimination, nous posons
('■^) a = i3-i-r/7, 0=—%—i>-;, c—p'^—qi..
L'équation (8) devient
{'S, bis) a di -+- h c/p H- c f/'c = o.
Eliminant c/p elr/y enti'c les équations (8 bis), (11) et (12), on obtient
^/ai= —
(67 — cP)/J + (ca — a-c)'7-+-(^'' — «P)
En remplaçant dans chacun des facteurs binômes <7, b et c |)ar leurs valeurs (i3), et eu éliminant ensuite 7 par l'équation (9) et -,-- par l'éqnation (ro), on trouve
b'[ — cfl = — [), ex — «Y^^ — '/' boL ^ a^i z^ — 1.
La substitiilinri de ces valeurs dans l'équation (i4) donne
, /-Z.,S da^= :r^ î ;
on a de même
p- +fj-+'
en ])ortant les valeurs de d% et de r/p dans l'éciuation (6), on ohticni
Z3(/'' 4- -7' + I) — 3 [{ps -f- (/O ? -1- {pr ■+- r/s)x]7., — o.
Enfin, si nous remplaçons Z2 et Z3 par les polynômes que ces signes re|U'ésentent, nous aurons
La (|uantité - est la tangente trigonomi'lriqiic do l'angle (|ue fait avec l'axe des ab-
a 111. — De La Goirnerie. — Descriptifc. l4
,q(3 I.IVP.K VIII. - COURBUIÎE DES SURFACES.
scisscs la projeclioii sur le plan \0Y d'une ilroile tangente, ou point considéré, à une sec-
lion normale surosculée par un cercle. L'équation (i5) est du troisième degré en ^; une
surface quelconque a donc en chacun de ses points trois sections de ce genre, dont une
;)U moins est réelle.
Pour avoir l'équalion dilTérenlielle des Clignes langentes en chacun de leurs points à
3 dy
une section normale surosculée par un cercle, il suffit de remplacer - par sa valeur -^
prise dans les relations (3 ). On trouve
'dY
Cette formule nous sera utile plus loin
qs )
940. D'api'ès ce que nous avons vu (art. 958), les surfaces du second ordre n'ont ([u'une série de lignes langentes aux sections normales surosculées par un cercle, non compris les génératrices. Sur ces surfaces les courbes dont nous nous occupons sont d'ailleurs telles que toute section normale, tangente à l'une d'elles en un point, est une conique ayant un sommet à ce point. Nous allons les déterminer par cette propriété.
Considérons un plan P tangent en un point M à une surface du second ordre, et en un point G à une sphère ayant le même centre que la surface fig. 371) : le rayon de cette sphère est la perpendiculaire AG abaissée sur le plan P du centre jcommun A. Si nous concevons une développable circonscrite à la sphère et à la surface, la droite MG en sera une génératrice, et la tangente >IL à la courbe de contact au point M sera, dans l'indicatrice de ce point, le diamètre conjugué :i >1G (' ).
Nous faisons passer par le centre A un jilan Q parallèle à P ; il coupe la surface du second ordre suivant une conique homothétique à l'indicatrice du point M : les diamètres EF et IJ, respectivement parallèles à MG et à ML, sont par conséquent conjugués.
La normale au point M doit être parallèle à GA : elle rencontre EF en un point D. Nous faisons passer un plan par cette normale et par la droite ML taniiente à la courbe de contact; il coupe la surface du sec(uid wAvc suivant une
( ' ) Nous n'avons tracé ni les contours apparents de la sphère el de l'ellipsoïde, ni leurs lignes de conlacl avec la développable. Ces lignes sont inutiles à la démonstration, et elles eussent compliqué la ligure. Nous avons d'abord tracé les courbes EIF.I et EMF, puis nous avons déterminé la coni([ue BMC en faisant des sections par des plans parallèles à P : son centre est à l'interseclion de .MD avec le diamètre de la conique EMF conjugué ii la direction AG.
