TT + — — I

à son plan tangent. On trouve

■r, y et r- étant les coordonnées du point de contact. En éliminant ;- entre ces équations, on obtient l'équation à laquelle nous sommes parvenus par la considération de la développable circonscrite.

943 bis. Oïl iiL'ul déduire ce résultat tle ré([ualion (iG) de l'ait. t(3!)«.

Les lignes tangentes aux sections normales surosculées par des cercles forment en général trois systèmes. Quand la surface est gauclic, l'un d'eux est formé des génératrices recliiignes, mais on peut facilement l'éliminer, car les polynômes

dry /dry (dy

3 \ dx ) \dx / \dx

ont alors, comme l'on sait, un facteur cunimun (iiii, égalé à zéro, rcpréseiUe ces droites.

( ' ) Pour obtenir une seconde équation d'une polhodie par la méthode de fart. 9i2, sans appliquer les formules générales démontrées préccdemmenl (art. 337 à 340), on rapporte fellipso'ide, de demi-axes n, b, c. et la sphère concentrique, de rayon r, aux axes de l'ellipsoïde. Puis, exprimant que le plan tangent à l'ellipsoïde en .c', /'. z' coïncide avec le plan tangent à la sphère en .v', y. s", on obtient trois égalités donnant .i", ) ", z". L'équation do la si)hère étant satisfaite par ces valeurs, on a une égalité qui. en y supprimant les accents de x', y, z', donne une équation de la polhodie cherchée. L'élimination de z entre cette équation et celle de l'ellipsoïde conduit à la dernière de l'art. 'Ji2. ( E. L. )

I lO

Lorsque la surface est du second ordre, elle possède deux systèmes de génératrices reclilignes : le premier des polynômes est divisible par le second, et le quotient est nécessairement égal à

(• clr u

L'équation différentielle des lignes du troisième système, le seul qu'il y ait lieu de considérer, est donc

ou bien

-(p-h'f + j)— (ps-^,ji)\jj^^ + ^ (jD'- -H f/--)- !)-(/"• ^'/■Oj= O-

Appliquons cette formule à la surface représentée par réf|uatioii

(tn trouve d'abord

c'.ri-

r*(rt'— .f-) Il c^{b'^—y-)js r c'(«-— x-)r

et ensuite

c- /c^cr^ c- y- z-\

ps-h qt

pi -f- qs :

cvr / r

En portant ces valeurs dans l'équation (i), on trouve, après quelques réductions qui se présentent spontanément.

21/ yi

c' / dx

En éliminant le binôme ( — H- -7^ ) à l'aide de l'équation (2), on obtient

et, en intégrant, on a