CHAPITRE IV. - LIG.NES RELATIVES AUX COURBURES. I i i

()i) nrrivc ainsi à l'éciuatioii lioniiéo par Poinsot pour la projection horizoutale de la

polhodic. pour Uuiuclle le plan tangent est à une distance du centre égale à — ^^^^ (').

i)ii. Nous voyons que les projections sur le plan horizontal XOY des polliodies trai-res sur une même surface du second ordre sont des coniques lioniothétiques dont les axes seconlbndent, en direction, avec les axes horizontaux de la surface.

Si nous désignons par a' et b' les longueurs des demi-axes de l'une des coniques, nous aurons

d"où

Lvifig. 372 représente plusieurs polliodies tracées sur un ellipsoïde scalène. Nous avons

a = OA, ^ = 0B, c = 0'C',

Les projections horizontales des courbes sont des ellipses.

Après avoir déterminé sur les projections verticales les foyers F et /, on obtient par une construction facile les points K et L, qui satisfont aux conditions

prenant alors les longueurs OP et PQ respectivement égales à O'K et à 0"L, nous |)Ouvons tracer la droite OQ, qui est telle que les coordonnées de ses différents points sont les moitiés des axes des diverses ellipses.

9i5. Les projections des courbes sur le plan vertical perpendiculaire à l'axe moyen BB, sont données par l'équation

Elle se réduit

C) La démonstration géométrique que nous avons donnée aux art. 940 et 9il a été trouvée par M. Mannheim. à qui nous avions communiqué les résultats du calcul qui précède.

flans le cas particulier où la constante /• est égale à b. La polliodie est alors formée en projection de deux droites O'N' et O'N, , et dans l'espace de deux ellipses. On pont obtenir les droites O'N' et O'N,, soif par la construction qu'in- (li(|iu' la formule que nous venons de trouver, soit en relevant sur le contour apparent C'A' le sommet N de l'ellipse horizontale qui passe par les points B etB,.

Les projections des autres polliodies sont des hyperboles semblables au système des droites O'N' et O'N',. On obtient un point M' ou R' de chacune d'elles, en relevant sur le contour apparent C'A' le sommet M ou R de l'ellipse corres- |)nniirtnle.

Sur le plan perpendiculaire à l'axe majeur, les projections sont des ellipses comme sur le plan perpendiculaire à l'axe mineur.

A chaque sommet de la surface, toute section normale est surosculée par un cercle, mais il passe seulement deux polhodies aux sommets B etB,, extrémités de l'axe moyen. Chacun des quatre autres sommets doit être considéré comme lormant à lui seul une de ces courbes.

-Nous pourrions faire, sur les parties parasites des projections des polhodies, des observations analogues à celles que nous avons présentées à l'art. 9'i7, pour les projections des lignes de courbure.

il serait facile de construire pour une valeur de r les trois lignes doubles concentriques de la développable circonscrite, sa courbe de contact avec la sphère, son arête de rebroussement, etc. Nous ne nous arrêterons pas à ces questions, mais nous les indiquons comme des sujets d'exercices graphiques (').

§ n . — Lignes géodésiques. — Liuxes t.vngentes aix sections de MfiME coirbire.

Définitions et considérations i^cncralcs.

946. On peut concevoir sur les surfaces certaines lignes dont le tracé dépend des courbures, mais qui diffèrent des courbes que nous avons étudiées, en ce qu'il en passe une intinité par chaque point. De ce nombre, sont les lignes géodésiques et les lignes tangentes aux sections normales de même courbure.

Nous avons déjà parlé dés lignes géodésiques à l'art. 482; ce sont des courbes tracées sur une surfiice, et dont la longueur entre deux quelconques de leurs points est plus courte que celle de toute autre ligne voisine que l'on pourrait tracer sur la surface entre ces points. Nous avons vu que sur une dévelopjtable une géodésique a tous ses plans osculateurs normaux à la surface.

(') M. Valson a démonU'é que le produit des rayons de courbure principaux d'une surface du second ordre est constant en tous les points d'une polhodie.

(;iI\IMri;l, l\. - I.I(;m;S HliL.VTIVKS \l \ CdLlUJlHKS. Il3

Considérons niaintcnanl une surlace quelconque 1 et la géodésiqiie A qui passe par deux points m et /?. Si une surface est circonscrite à 2 le long de A, cette courbe en sera une géodési(ine, car toute ligne tracée sur 1 entre /n et n, et infiniment voisine de A, appartient à la surface circonscrite, et, par hypothèse, l'arc mn do A est un mininuim entre toutes les lignes de ce genre. Or on peut circonscrire à 2 une développable le long de A; la courbe A en sera une géodésique, et par suite ses plans osculateurs seront normaux à la développable; ils seront donc aussi normaux à la surface inscrite. Nous voyons que le théorème démontré à l'art. 182 pour les développables doitétre étendu à une surface quelconque.

La propriété des géodésiques d'avoir leurs plans osculateurs normaux ;i la surface les caractérise complètement et pourrait servir à les définir. Elle établit une certaine correspondance entre ces lignes et les asymptolicpies qui ont leurs plans osculateurs tangents à la surlace.

Quant aux courbes tangentes aux sections normales de même courbure, nous nous bornerons à dire que chacune d'elles est caractérisée par une valeur du rayon de courbure des sections normales touchées. Il passe généralement par chaque point deux courbes qui correspondent à un même rayon. Quand cette constante est infinie, on trouve les asymptotiques.

Coiirhiirc i^cudvsKiitc.

ÎH7. Lorsqu'une courbe s tracée sur une surface 2 est projetée sur le plan tangent en un de ses points, la projection S est une section droite du cylindre projetant; par conséquent, si l'on appelle /• et R les rayons de courbure des lignes ^ et S au point considéré, et y l'angle que le plan osculateur de la première fait avec le plan tangent, on aura, en vertu du théorème de Meusnier,

.- ^ - ces-/.

Quand la courbe s est une asyniptoticjue, y est nul et il y a égalité entre les courbures^ et -■ Dans le cas, au contraire, oii la ligne 5 est une géodésique, y est égal à go" et ^ est nul. ("ette circonstance a conduit à appeler la quantité j7 courbure géodésicjuc de la ligne s considérée sur la surface 2.

Si l'on circonscrit a la sui'face une développable le long de s, et (]u'on la développe sur un plan, le rayon de courlnirc de la liansformée de ,v sera ^^

ni. — De la G'jiiiMiiiii;. — Dvscn'/iU^'e. l5

I 1^ I.lVRi; Mil. - COLRBUHK DES SUHFACflS.

l'art. i74 et 819). Il suit de là que, loisqiiune courbe est tracée sur une surface, sa courbure géodésique en un point est la courbure de sa transformée dans le développcmcnt de la dé^eloppablc circonscrite dont clic est la ligne de contact.

î)i-8. Nous conservons les notations précédentes, et de plus nous appelons R, le ravon de courluire de la section faite dans la développable circonscrite par un plan perpendiculaire à la génératrice rectiligne, et 'p l'angle de la courbe a- avec cette section.

Le ravon de courbure de la section normale à 2 et tangente à 5 est -: — Le théorème d'Euler donne par conséquent

sin Y cos-o

(jette équation et celle qui a été donnée à l'article précédent permettent de déterminer deux des quantités engagées dans la question quand les autres sont connues. Il existe quelques applications utiles des constructions que l'on déduit de ces formules, principalement pour les courbes tracées sur un plan flexible et enroulées avec lui sur une développable. Ainsi, connaissant le rayon de courhure de l'ellipse A'B' en un point D' [fig. 3oi) et le rayon OV, on peut déterminer le plan osculateur et le rayon de courbure de la directrice du conoïde au point correspondant f/ (?y)?> l'art. (>7I pour la génération du conoïde).

I.IVKE I\. SURFACES HÉLICOIDES. — CHAPITRE I. — THÉORIE GÉNÉRALE. I l5