LIVRE IX. — SURFACES HELICOIDES

position initiale; par conséquent, si nous appelons w l'azimut AOB du point M, la longueur IJ sera wA, et nous aurons

p = i) A cota -+- ON,

ou bien

p = /-'jj 4- ON,

en posant

r ^ h cota.

L'équation que nous venons de trouver montre que la section de la surface delà

ins à filets triangulaires par un plan perpendiculaire à l'axe est une spirale d'Archi-

mède (art. 675). La tangente à cette courbe à l'origine l'ait avec la droite AC un

ON angle AOS égal à :-•

Les points doubles G et R de la spirale appartiennent aux hélices doubles.

Un plan perpendiculaire à l'axe n'est parallèle à aucune généi-atrice; la section s'étend cependant indéfiniment et doit être considérée comme ayant une branche infinie qui correspond à une génératrice située à l'infini (art. 599).

Le paramétre r de la spirale est le rayon du cylindre sur lequel est l'arête de rebroussement de l'hélicoïde dé<,'eloppable asymptote (art. 966). Pour construire cette longueur on peut développer le quart de cercle VC sur- sa tangente VU, projeter le point double E' en E, et celui-ci en K : la longueur OK est le paramètre r. Cette construction est analogue à celle du rayon OK de \àfig. 373 (art. 95o).

990. Considérons la droite OM {fig. !\o\), projection d'une génératrice qui perce le plan horizontal en un point M de la spirale d'Archimède OL, trace de l'hélicoïde : le plan vertical OM est le plan central de la génératrice (art. 939), et par suite le plan tangent au point de cette ligne situé à l'infini a pour trace la droite MN perpendiculaire à OM. L'enveloppe des droites telles que MN doit être la développante de cercle trace de l'hélicoïde développable asymptote.

Il est facile de vérifier ce résultat. Si nous appelons a l'azimut BOM du point considéré M de la spirale OL, nous aurons