CHAPITRE III. - SURFACE DE LA VIS A FILETS TRIANGULAIRES

De ce qui précède, et en considérant uniquement les tracés sur le plan horizontal, on conclut les deux théorèmes suivants :

L'enveloppe des droites menées par les divers points d\ine spirale d' Ai-chiinède, perpendiculairement aux rayons vecteurs, est une développante du cercle rpii a son centre à l'origine de la spirale, et dont le rayon est égal au paramétre de cette courbe.

Le lieu des pieds des perpendiculaires, abaissées du centre d'un cercle sur les tangentes à l'une des développantes, est une spirale dWrchiméde.

Plans tangents.

991. Une surface de visa filets triangulaires étant donnée par son axe (0, O'Z) {Jig. 399), une hélice directrice (AC, A'C), et la génératrice (AO, A'O') parallèle au plan vertical, proposons-nous de déterminer son plan tangent en un point (M, M') d'une génératrice (ON, RN'). Il passe au point donné une hélice qui se projette horizontalement sur le cercle décrit du point 0 comme centre avec OM pour rayon; elle rencontre la génératrice initiale (AO, A'O) au point (D, D). Si l'on prend pour plan horizontal d'opération le plan xy qui contient ce point, on obtiendra la trace /de la tangente à l'hélice considérée, au point (M, M'), en portant sur la tangente 3!L au cercle MD une longueur M/ égale à l'arc MD. Il est d'ailleurs facile d'avoir les traces k et K de la génératrice sur les plans horizontaux xy et XY; les traces du plan cherché, sur ces plans, sont par conséquent la droite X-/et sa parallèle KL menée par le point K.

On peut modifier cette construction de manière à n'avoir à faire des tracés que sur le plan horizontal (').

Nous menons par le point M la droite IQ perpendiculaire à KL, et par 0 la perpendiculaire OQ à OM : les deux triangles LMK et MOQ, qui ont leurs côtés respectivement perpendiculaires, donnent

ML OM MK ~ OQ"

Le point L étant la trace de la tangente à l'hélice MD sur le plan XY nous avons

ML ~ 2-x OM' H étant le pas des hélices; car chacun des deux membres est une expression de

(') Dans son Dictionnaire des Malhéinatiqucs appliquées (p. 982), H. Sonnet fait remarquer que « la construction qui précède a été modiflce d'une manière lieureuse par M. de la Gournerio ». (E. L.)

^l^^ LIVRE IX. — SURFACES HELICOIDES.

la tangente trigonométrique de l'angle que les tangentes à l'hélice font avec le plan horizontal.

Multipliant ces deux équations l'une par l'autre, on a

mm;, II

Mlv 2~ X OQ

et enfin, en introduisant le pas réduit h, et remarquant que le premier membre est la tansente de l'aniile a, on obtient

0Q = /iC0t5C

La longueur de la perpendiculaire OQ est donc constante, et égale au paramètre de la spirale d'Archimède trace de la surface sur un plan horizontal (art. 989). D'après cela, pour déterminer le plan taugenl en un point M d'une génératrice OK, il suffit d'élever au point 0 une droite OQ perpendiculaire à OK et égale au paramètre r, de tracer la droite QM et de lui abaisser de la trace K de la génératrice une perpendiculaire KL : cette droite est la trace horizontale du plan tangent.

Si l'on donne à la figure différentes dispositions, on reconnaîtra que la perpendiculaire OQ doit toujours être dirigée du côté où s'étend la bi'anche de la spirale d'Archimède sur laquelle se trouve la trace de la génératrice que l'on considère.

Celte seconde construction est beaucoup plus facile que la première (juand le paramètre r a été déterminé. 0n doit la préférer lorsque l'on veut avoir plusieurs plans tangents. En renversant l'ordre des tracés, on a la solution du problème inverse : ainsi, étant donnée la trace LK d'un plan contenant une génératrice OK, pour trouver le point de contact de ce plan il suffit d'élever OQ perpendiculaire à OK, et d'abaisser QI perpendiculaire à KL : cette droite coupe OK au point cherché M.

992. Si le point M se meut sur la génératrice OK, la trace KL du plan tangent et sa perpendiculaire QM tourneront l'une autour du point K, l'autre autour du point Q. Lorsque le point 31 sera en K, la droite LK devra être tangente à la spirale d'Archimède : la normale à cette courbe au point K passe donc au point Q, ce (jui démonlre que dans la spirale d'Archimède la sous-normale est constante et égale au paranu'tre (' ).

Quand le point M est à l'infini, la droite QM est parallèle à OK, et par suite la trace du plan tangent est perpendiculaire à la projection de la génératrice.

(') Enadmetlant ce llioorèmo. déjà établi à l'article G7i, on arrive directement aux tracés que nous avons donnés pour la détermination du plan tangcnl; mais nous n'avons pas voulu que cette construclion importante reposât sur une proposition qui n'a été démontrée que d'une manière incidente.