CHAPITRE III. — SURFACE DE LA VIS A FILETS TRIANGULAIRES

Nous allons chercher le plan tangent à la surface gauche en un point (N,N') de cette génératrice.

La trace horizontale du plan tangent à la surface au point (M, 31') passe aux points V et K, traces de la génératrice et de la tangente à la directrice. L'intersection de ce plan et du plan vertical .MT, perpendiculaire à SM, est (MT,M'T').

La surface donnée se raccorde le long de (SN, wN') avec l'hélicoïde qui a pour axe la verticale (S, AS'), dont une hélice passe au point (M, M') tangente à la droite (MT.iNl'T'), et dont le cône directeur est celui que décrit la droite o^m' (ail. 61i]. Nous pouvons donc opérer sur cette surface auxiliaire.

Le plan tangent au point (N,N') est déterminé par la génératrice et par la tangente à l'iiélico. Pour obtenir la trace horizontale de cette dernière droite, nous remarquons que, les hélices décrites par les points (N,N') et (M, M') ayant des pas égaux, les cotangentes de leurs inclinaisons sont proportionnelles aux rayons SN et SM. D'après cela, si le point (N, N') était en (N, N") à la hauteur de (M, M'), la tangente à l'hélice en N aurait sa trace au point U sur la droite ST, et sa projection verticale serait N"U'; dans la position oîi se trouve réellement le point (N,N'), la tangente à l'hélice a pour projection verticale la droite N'R' parallèle à N"U'; d'où il suit que sa trace horizontale est au point R et que la droite RV est la trace horizontale du plan cherché.

Si l'on avait plusieurs plans tangents à construire en des points d'une même génératrice, on déterminerait le paramètre /• de l'hélicoïde de raccordement, et l'on appli(iuerait les tracés de l'art. 991.

L'axe, considéré comme directrice do la surface gauche, n'est utile que sur la longueur du segment AB. Les points A et B sont par conséquent des sommets (art. 652 ). Quelle que soit la forme de la directrice tracée sur le cône de révolution, aux points où la tangente à cette courbe est horizontale, l'hélicoïde de raccordement se change en un cône; les sommets de ces cônes sont des sommets de la surface gauche.

1022. Quand deux surfaces gauches se raccordent le long d'une génératrice, cette droite a le même point central dans les deux surfaces. Il résulte de là, et des considérations présentées dans l'article précédent, que, quand une surface gauche a une directrice rectiligne et que les génératrices rencontrent cette droite sous un angle constant, la ligne de striction de la surface est cette directrice.

1023. Extension ci Vhélicoide gauche ffénéral des constructions relatives à la surface de la ris à filets triangulaires. — On peut étendre assez facilement à l'hélicoïde gauche général les diverses constructions expliquées pour la surface de la vis à filets triangulaires. Nous nous bornerons à ce qui concerne le plan tangent.

Soient (('D, (]'D') l'hélice de gorge {/ig. 425 bis), (FB, E'B) une génératrice parallèle au plan vertical, et NK une génératrice quelconque : nous nous proposons de construire le plan tangent au point M de cette droite.

l56 LIVRE IX. — SURFACES HÉLICOIDES.

Si la génératrice (FB.E'B') entraîne dans son mouvement la droite (OA, E'B) qui lui est parallèle, cette dernière ligne engendrera une surface de vis à filets triangulaires, dont la trace sera une spirale d'Archimède AV que nous savons construire. Lorsque la génératrice FB aura la position NK, la droite parallèle OA, devenue OB, aura sa trace en B, et l'on olitiendra la trace K de la génératrice en prenant, à partir du point N, une longueur égale à OB.

Par le point C, nous menons deux droites C'S et CL respectivement parallèles à B'E' et à la tangente à l'hélice de gorge au point (F, E') : la longueur LS est égale au paramètre des génératrices (art. 961).

L'hélicoïde se raccorde le long de la génératrice NK avec une surface do vis à filets triangulaires qui a pour axe la verticale du point N, et dans laquelle le pal'amètre des génératrices est égal à LS. D'après cela, si nous prenons sur le rayon ON une longueur NQ égale à LS cot YB E' ou Lq, il suffira, pour obtenir la trace du plan tangent on M, de mener la droite Q3L et de lui abaisser une perpendiculaire du point K.

En conservant les notations de l'art. 960, et en ayant égard aux résultats obtenus dans cet article, on a

OQ = ON + NQ, OQ = Z> + /•, cota, OQ = h cota.

La longueur OQ est donc indépendante du rayon h; on la construit comme pour une surface de vis à filets triangulaires, et on la porte du côté du point 0 où s'étend la branche de la courbe spirale sur laquelle la génératrice considérée a sa trace (').

Obscrvatiojis générales sur- les trayons de courbure et les lignes asjmptotifiucs clc la surface de la vis à filets triangulaires.

1021. Nous pouvons déterminer les rayons de courbure des sections principales d'une surface devis à filets triangulaires en un point donné, car le théorème do l'art. 826 nous fait connaître leur produit, et il est fiicile d'obtenir leur rapport en construisant l'angle des asymptotes de l'indicatrice.

(' ) Le lecteur qui voudra avoir plus do détails sur les constructions relatives à l'hélicoïde gauche général pourra consulter le Mémoire que nous avons publié dans le XXXIV cahier du Journnl de l' Ecole Polytechnique.

Nous complétons celte Note de l'Auteur en citant un Mémoire de M. Karl Pelz « sur la détermination des contours apparents des hélicoïdes gauches », publié à Vienne, en i883, dans les Comptes rendus des séances de l'Académie impériale des Sciences. La construction de l'art. 1023 y est obtenue en considérant un paraboloïde de raccordement le long de chaque génératrice rectiligne, et appliquée à la détermination du contour apparent vertical de l'hélicoïde oblique général à axe vertical. En outre. M. Karl Pelz démontre, sans appliquer le théorème des tangentes conjuguées, une construction simple des tangentes à la projection horizontale de ce contour. (E. L.)