CHAPITRE III. - SI lîIACE I)K LA VIS A I ILKTS TRUNGLLAIRES. lo^j
points 0 et s : il coupe la spirale au point K, trace de la i^énéialrice sur laquelle est le point M(').
Le même cercle rencontre la spirale aux points K, et K^ qui l'ont trouver les |)oints M, et M...
1011. L'axe étant supposé divisé en segments égaux au pas des hélices, les arcs de la courbe d'ombre sur les parties correspondantes de la surface ne sont pas identiques. La projection horizontale d'un arc qui n'a pas de branche intinie présente, avec la ligne de la //"/?•. 3()8, une ressemblance d'autant plus grande que la partie de la surface sur laquelle il se trouve est plus éloignée du point lumineux. Quand cette partie est à une très grande distance du point lumineux S, les projections des arcs sont très resserrées près l'origine 0, car les plans passant par le points et par les différentes génératrices sont presque verticaux, et ont leur point de contact rapproché de l'axe. On peut d'ailleurs vérifier que la construction de l'art. 1007 donne des points très voisins du pied de l'axe, (juand on opère sur les génératrices qui ont leurs traces sur les grandes spires de la spirale d'Archimède.
Dans l'espace, la courbe rencontre l'axe à des intervalles égaux à la moitié du pas des hélices (art. 1009); au delà des parties où sont ses branches infinies, elle se resserre de plus en plus sur l'axe qui doit, par conséquent, être considéré comme étant une de ses asymptotes.
Tangentes et asymptotes des courbes d'ombre. Points- limites de ces lignes dons le cas de rayo/is divergents.
1012. Le procédé facile que nous avons pour la détermination des asymptotes de l'indicatrice, en un point quelconque de la surface de la vis à filets triangulaires (art. 1004), permet de construire rapidement les tangentes à la courbe d'ombre. Nous examinerons d'abord ce problème sur la projecticm horizontale.
Soient {fig- 4iG)
S le point lumineux; OK la projection d'une génératrice; K la trace de cette droite; O la trace dcî l'axe;
<)Q le cercle auxiliaire dont le rayon est /• : en appliquant à la dtoite OK la construction de l'art. 1007, on trouve que la courbe d'ombre passe au point M.
( I ) La construction de l'article 1010 nous a été communiquée par Bour ; on peut en déduire les tracés iini ont été exposés à l'article 1008.
1,58 LIVRE IX. - SURFACES IlELICOIDES.
Nous prolongeons le rayon OQ d'une longueur égale QD, nous traçons DM : les droites MO et MD sont les deux asymptotes de l'indicatrice du point M, MS est le rayon de lumière; la tangente à la courbe d'ombre étant l'barmonique conjuguée du rayon lumineux par rapport aux asymptotes de l'indicatrice, on en obtient un point R en menant la parallèle EG à MD et en la prolongeant d'une longueur GR égale au segment EG.
Cette construction ne peut pas servir pour les asymptotes. Nous allons la modifier de manière à la rendre d'une application plus générale, tout en lui conservant sa simplicité.
Nous traçons la droite SD qui rencontre la tangente en d et nous construisons le triangle dam, homothétique au triangle DOM et ayant avec lui le point S pour centre de similitude. La droite MO partage en deux parties égales le coté md parce qu'il est parallèle à ER, et ensuite le côté «r/ parce ([u'elle est elle-même parallèle à la base am. Le point / est donc le milieu du côté ad, et par conséquent il se trouve sur la droite qui va du point S, centre de similitude, au milieu Q de OD.
D'après cela, pour avoir le point d de la tangente ^\d, il sui'tit de tracer la droite SQ, de mener, par le point / oîi elle rencontre la génératrice OM, la parallèle al à 00, et de prolonger cette ligne d'une longueur égale à elle-même du côté du point /. Les tangentes à la courbe aux points situés sur la droite indéfinie OK passent toutes par le point d.
Quand les rayons sont parallèles, le point S est à l'infini et la droite Q/doit être parallèle à la droite OX {fig. 897, 398, 4oo et f\o-i.) ( ').
1015. La/ig: 412 montre une application de la construction que nous venons d'expliquer à la détermination de l'asymptote «/d'une brancbe infinie. La trace de cette droite est au point e, sur la trace Re du plan qui touche la surface au point situé à l'infini sur la génératrice OR.
Si la spirale d'Archimède rencontre tangentiellement le cercleOSen unpoint R ( fig. 4i<^). la droite RQ est la normale commune (art. 992], et par conséquent le centre du cercle est au point G où cette droite coupe OS. Le point Q doit d'ailleurs être sur le cercle, car l'angle ROQ est droit. Il résulte de là que les droites RO et SQ qui passent aux extrémités des diamètres SO et RQ sont parallèles; le point / i /ig. 412) est par conséquent h l'infini, le segment «/est infini et la branche infinie de la courbe d'ombre est parabolique.
1014. Quand on connaît la projection horizontale d'une tangente, on construit
(') CeUe consiruction nous a été communi(|uée par Bour qui y était parvenu par l'analyse; nous l'avons rattacliéc au théorème des taniientos conjuguées, eu égard à la nature spéciale de cet Ouvrage.
Poncelet a trouvé par la méthode de Roberval une construction également très simple pour la tangente à la projection horizoutale de la courbe d'ombre de la surface de la vis à Qleis triangulaires, mais seulement dans le cas où les rayons sont parallèles. {Àpjdications lUnnlrse et de Géométrie.)
CHAPITKE III. — SLRKACE DIMA VIS V 1 lUCTS Ti;iA\<;i;L\im!:S.
facilement sa projection verticale par la considération du plan tanifont au point cori'cspondant do la surface. Toutefois ce procédé ne [tcul pas être cniplové lorsque le point considéré est sur l'axe, parce (jne le plan lani;ent est vertical, il faut alors recourir au théorème des tangentes conjuguées : les deux asymptotes de l'indicatrice sont l'axe et la génératrice.
lOIo. Nous terminerons ce qui concerne les courbes d'omhre en disant (|uelques mots sur la déterminalion de leurs points limites.
Le point 31 de la courbe d'omhre {fig- 4i5) est un point limite quand le rayon de lumière SM est la seconde asymptote de l'indicatrice, et par conséquent quand ce rayon passe par le point D, situé sur la perpendiculaire OQ) ii DM, à une distance de 0 double du paramètre /■.
Si nous décrivons un cercle du point 0 comme centre et avec un rayon égal à OD, et si nous considérons S comme un point tixe de divergence, le point M sera sur la courbe (jue l'on obtiendra à l'aide du cercle et du point S par la construction de l'art. 91)5. Les points limites sont les intersections de cette courbe auxiliaire et de la courbe d'ombre, pourvu toutefois qu'elles résultent d'azimuts et de rayons vecteurs égaux et non d'azimuts inverses avec des rayons vecteurs contraires.
On reconnaît, comme dans le cas des rayons parallèles (art. 100(ï), que les points de la courbe projetés sur le point 0 ne sont jamais des points limites.
Rcprcsciitatioji (Viinc surface de vis à filets tr/'anf^r/faircs et de ses ombres.
lOK). Nous avons représenté sur ln/ig. 409 une partie de la nappe inférieure d'une surface de vis à filets triangulaires éclairée par des rayons parallèles. Le cercle BG, projection de l'hélice directrice, a été divisé en quatorze parties égales, et les génératrices qui passent par les points de division ont été ti'acées sur les deux plans de projection. Leur enveloppe sur le plan vertical est le contour apparent de la surface, ou la projection verticale de sa ligne de contact avec un cylindre circonscrit perpendiculaire à ce plan. La projection horizontale de ce contour apparent est une courbe D,OD, . .., H, OH du genre de celle que nous avons étudiée à l'art. 1002. Les génératrices du cylindre circonscrit étant perpendiculaires au plan vertical, les droites qui divergent du point fixe situé à l'infini sont parallèles à la ligne de terre. Nous traçons le cercle auxiliaire KA qui a pour rayon le paramètre /• et nous obtenons ensuite la courbe sans dilliculté. Les points situés sur l'hélice directrice doivent être déterminés directement. La discussion des difiérentes parties du contour apparent se fait cpmme pour la courbe d'ombre dont nous nous occuperons à l'article suivant; nous
,Qo UVRK I\. - SURFACES IIÉLICOIDES.
nous bornerons ici k dire que les arcs DO et OH sont seuls utiles, parce que nous ne considérons que la partie de la surfoce comprise entre l'axe et l'hélice directrice. En relevant sur le plan vertical les points où ces arcs rencontrent les projections horizontales des différentes génératrices, nous avons les positions précises des points où les droites tracées sur le plan vertical touchent leur enveloppe.
Une asymptote du contour apparent dans l'espace est déterminée par sa projection horizontale et par le plan tangent à la surface au point situé à l'intini sur la génératrice parallèle. L'asymptote de la branche ODH, 0 est donc l'intersection du plan vertical B, G, et du plan (B|B^, B'L) tangent au point situé à l'infini sur la génératrice (BO,B L), c'est-à-dire ladroite (B,G,, H L)pour la première spire. Les projections des génératrices parallèles au plan vertical sont ainsi les asymptotes du contour ajiparent sur ce plan, ce qu'il était facile de prévoir, cai' elles doivent être tangentes à cette courbe, comme les projections des autres génératrices.
1017. Nous supposons la surf;ice éclairée par des rayons parallèles à la droite R' située dans le plan vertical; nous déterminons alors le point fixe P et nous construisons la piojection horizontale de la ligne d'ombre (art. 995) : elle est du genre de la courbe qui est représentée sur h\ fig. [\o2. On relève ensuite ses différents points sur le plan vertical. 11 serait facile de tracer ses asymptotes, nuiis elles présentent peu d'intérêt pour les arcs (|ui se projettent dans l'intérieur du cercle BG.
On peut facilement discuter les dillerentes parties de la courbe d'ombre, à l'aide des principes que nous avons posés dans les articles précédents. Le point !\[ est sur la divergente PQ et correspond au rayon OQ; la branche de la spirale d'Archimède sur laquelle se trouve la trace de la génératrice OM s'étend donc du côté où se trouve le point Q. On reconnaît ainsi que le point ^I appartient ii la nappe inférieure (art. 991). Les deux asymptotes de l'indicatrice sont .AIO et ]\[0| ; lorsque l'hélicoide se réduit à un cône, la partie OMQ, disparait : c'est donc celle (|ui contient les courbes dont les tangentes au point 31 sont au-dessous de la surface i^art. 1005 1. Le rayon de lumière SM situé hors de cet espace angulaire est au-dessus de l'hélicoide, et par suite le point M est utile et vu sur le» plan horizontal. Il en est de même de tout point des branches 0^ et Oa. Sur la projection verticale, les points de la première 5'F' sont vus et ceux de la seconde iz'L' cachés.
La surface étant limitée à l'axe, les génératrices B'L et B"L , qui sont dans un plan passant par l'axe et parallèle aux rayons de lumière, forment la ligne d'ombre portée sur la face inférieure de la nappe, au moins dans la partie vue.
ciiAi-mΠm. - sinKACE de la vis a kilets triangulaires. i6i
llcpicscutatioii (l'une vis à filets triangulaires et de son éerou.
1018. Une vis ii filets triangulaires ?>(i compose d'un noyau plein qui a la forme d'un cylindre de révolution, et d'un solide hélicoïde dont la génératrice méridienne est un triangle B'C, IV, ijig. '\o-j], placé de manière que sa base B'B', soit un segment d'une génératrice du cylindre. En général, le triangle est isoscèle et le pas des hélices que décrivent ses différents points est égal à la base B'B', ('). 11 résulte de là d'abord que les points B' et B', se meuvent sur une même hélice, et ensuite que les surfaces de vis à filets triangulaires auxcjnelles appartiennent les zones engendrées par les droites B'C, et G, B', ont un même paramétrer. Il peut arriver que ces zones appartiennent aux deux nappes d'une même surface.
Une vis a le plus souvent à l'une de ses extrémités une tête qui est un solide prismatique dont les bases sont perpendiculaires à son axe. Elle glisse en tournant dans un écrou, corps limité intérieurement aux surfaces hélicoides qui la terminent elle-même extérieurement.
Pour représenter une vis à filets triangulaires, on trace d'abord les projections horizontales et les projections verticales des deux hélices suivant lesquelles se coupent les deux ûices du filet. Sur le plan vertical, nous avons limité ces hélices aux droites XY et S"U", qui représentent le plan de la face supérieure de l'écrou et celui de la face inférieure de la tête.
Le contour apparent sur le plan vertical est formé de lignes courbes, mais elles sont rapprochées de leurs asymptotes (art. i01G\ et vu leur peu de longueur on peut les tracer comme des droites. On les obtient d'une manière suffisamment exacte en menant des tangentes communes aux arcs consécutifs des sinusoïdes qui forment la projection verticale des hélices d'intersection.
Ces deux courbes rencontrent le plan S"U" aux points (L, L') et (M, M'). Les deux faces du filet rencontrent le même plan suivant deux arcs de spirale d'Archimède qui vont du point L au point M.
Nous avons représenté l'écrou par une projection horizontale et par une coupe verticale : le plan sécant COE est méridien et parallèle au plan vertical [fig. 4o8). La ligne de contour apparent qui passe près des points B' et G, [fig. 407) est au delà du plan GD, elle appartient donc à la partie de la surface qui est conservée sur Xafig. 4o8; mais cette courbe étant réelle sur la vis est nécessairement virtuelle sur l'écrou : nous ne l'avons pas tracée. Les demi-spires
v') Ou fait des vis à double et môme à triple filet; le profil i,'énérateur Cit alors composé de deux ou de trois triangles égaux, et le pas est égal à deux ou à trois fois la longueur de leur base; quelquefois lc*filet est engendré par la révolution hélicoïde d'un trapèze (fig. 4o6).
m. — De l.v GoiRNEUiE. — Dfscrifitii'e. 21
l62 LIVRE I\. - SURFACES HÉLICOIDES.
(le riiélice BD sont vues entièrement, celles de l'hélice CE sont cachées sur de (res petites loniiiieiirs près des sommets C, C',, ... des angles rentrants, car les tangentes à leurs projections en ces points sont verticales.
La sinusoïde projection verticale de l'hélice CE rencontre la droite X, Y, eu un point J', que nous ramenons en J sur la projection horizontale. Les deux arcs de spirale d'Archimède qui limitent les faces du tilet à leur partie supérieure partent du point J et aboutissent au point A diamétralement opposé sur le cercle BD.
1019. Ombres propres de la vis. — Nous supposons maintenant la vis éclairée par des rayons parallèles à une droite (R, R) [fig- 4o7)< et nous allons déterminer ses ombres.
Nous construisons d'abord la longueur Uv: du paramètre r, et nous décrivons un cercle du point 0 comme centre avec ce paramètre pour rayon. Les tracés expliqués à l'art. 995 nous donnent ensuite le point fixe P : il doit être placé, par rapport à la projection du rayon de lumière qui passe par le point 0, d'un coté différent de celui où il se trouve sur hi/ig. l\o\, car les liélicoïdes sont de même sens [sinistrorsum] et les rayons de lumière sont inclinés en sens contraire. Nous déterminons alors la courbe >.0v ..., oPOPr, projection horizontale de la ligne d'ombre, en ayant soin de construire directement les points situés sur les deux hélices qui forment l'arête saillante et l'arête rentrante des filets (art. 997). Chaque partie comprise entre les cercles CE et BD est la projection horizontale d'un ai'c de la ligne d'ombre de l'une des faces du filet. Des considérations analogues à celles que nous avons présentées à l'art. 1017 permettent de reconnaître à laquelle des deux faces appartient chacun des arcs, et font voir qu'ils sont tous réels.
Pour obtenir la projection verticale d'un arc réel, d'après sa projection horizontale, on relève les points extrêmes sur les hélices et on détermine un point intermédiaire en traçant d'abord la projection horizontale, puis la projection verticale de la génératrice à laquelle il appartient.
Ombre portée par la vis sur le plan horizontal. — On construit ensuite les ombres portées sur le plan horizontal par les différentes lignes de la vis. L'ombre de l'hélice saillante est la courbe KT:"Â-n"A~,, ...; nous savons que c'est une cycloide allongée engendrée par le point K, quand le cercle dont le rayon est OP roule sur la tangente PP, parallèle à R (art. 953).
Les ombres des lignes v', ju.',, X', /',,({/', y',, t'|' sont les arcs v'îj^'î, >^', x',» ^//i* t"^", . . .; ils appartiennent a deux courbes distinctes qui correspondent l'une à la face supérieure du filet, l'autre à la face inférieure, et qui sont les enveloppes des ombres portées par les lignes tracées sur les deux hélicoïdes (art. 571). Ces arcs se raccordent par suite tangentiellement avec l'ombre de l'hélice saillante à leurs points de rencontre >.", , v", , t" et o\.
CHAPITRK III. - Srai-ACE DE LA VIS A FILETS TRIANCilL VIRES. iG'î
■ Les ombres des arêtes (ST, S"T"), (TU, T"U") de l;i tète de la vis sont les lignes S,T, etT.U,.
Ces différentes lii;nes font connaître la limite de ronibre portée snr le plan horizontal, et donnent tous les éléments nécessaires pour la détermination des ombres sur la projection verticale.
Ombre portée par la vis sur elle-même. — Nous allons déterminer les ombres que la vis porte sur elle-même parla méthode des projections obli([ues (art. 570- 575), et d'après les lignes d'ombre que nous avons obtenues sur le plan horizontal. Les courbes v", [7.'^ 6tV, ;(", sont les traces des cylindres circonscrits parallèles aux rayons de lumière, et dont les lignes de contact sont v'^ a, et a,/',; ces traces se coupent en un point «", et par suite les cylindres ont une génératrice commune, dont la projection verticale w', &/, passe par le point w'î projection deo/'. Les arcs V, w', eto/v', projettent leur ombre sur le plan horizontal, l'arc a, o/ n'est pas éclairé et l'ombre de l'arc w, /', est reçue par la face supérieure du filet inférieur; elle s'étend de ■/^^ à w'. Pour en avoir un point intermédiaire, nous traçons une génératrice rectiligne imn, m' n') de l'hélicoïde, et nous déterminons son ombre n"m". Cette ligne coupe la projection V, j^", en un point r/", et par suite le rayon de lumière qui aboutit à ce point rencontre successivement la courbe d'ombre propre '>'^^/^^ et la génératrice m'n'; le point d' , ramené de d", est donc un point de la trace, sur la face supérieure du filet, du cylindre circonscrit le long de la ligne X',/',.
Les autres déterminations se font d'après les mêmes principes et ne présentent pas plus de difficultés. Le point p;" fait connaître le point ^' où le plan d'ombre de l'arête (ST, S"T") rencontre l'hélice saillante. En traçant des génératrices rectilignes sur les deux faces du filet, de part et d'autre de §•', et considérant les intersections de leurs ombres avec les droites S,T, et T,U,, on détermine par points l'ombre qui est projetée sur la vis par les arêtes (ST, S"T") et (TU, T"U").
Les lignes T,U| et7.!,/'l se rencontrent en un point /"que nous ramenons d'abord en t'[, puis en t' , en t\ et en t.,. L'ombre du segment T" t., est f't'. L'ombre de l'arête T"U", au delà du point t.,, est reçue sur le filet suivant à partir du point t\ .
On détermine par les mêmes principes les ombres portées sur le plan vertical.
Nous n'avons tracé les lignes d'ombre cachées que lorsqu'elles sont utiles pour la construction.
1020. Ombres de l'ècrou. — Les lignes d'ombre propre étant réelles sur la vis sont virtuelles sur l'écrou, et par suite les figures de la /'/. XXVH n'ont que des ombres portées. Pour obtenir leurs contours, nous projetons, par des droites parallèles au rayon (R, R'), les différentes arêtes sur un plan horizontal don! nous avons placé la ligne de terre X"Y" à la hauteur du point D',. L'ombre portée sur le plan horizontal par un point est indiquée par la lettre (jui désigne le point, avec un double accent : ainsi H" est l'ombre du point (H, H').
j6^ livre I\. — SURFACES HÉLICOIDES.
Les courbes H"J" et B^D'!,, projections obliques de la spirale (rArcliimède H' J' et de la demi-spire BID,, se coupent en un point ^" : le point correspondant fi' de l'hélice est celui où cette courbe reçoit l'ombre de la spirale. On détermine d'une manière analogue les points y', c?' et i où l'ombre de la ligne brisée W'V coupe les demi-spires C!,E',, B, D', et C, E'. On obtient des points intermédiaires de la courbe d'ombre portée en considérant des génératrices rectilignes. La génératrice [rnn,m'n') a pour projection obli(iue la droitem"n" qui rencontre en <:" et en n les projections CB^ et H"J" de l'arête (CB, C!,B.,) et de la spirale (HJ, H'J'). Ces points font connaître les intersections n' et n' de la génératrice avec la ligne d'oniln-e.
Nous avons reproduit de \^ /îg- 4^7 la ligne d'ombre propre (t];y, A'o'); le point (a, a!) où elle rencontre la spirale est l'origine de la courbe d'ombre portée par la spirale d'Archimëde sur le tilet, car le rayon de lumière qui passe par ce point y est tangent à la surface : c'est celle des génératrices du cylindre d'ombre de la spirale, dont lesdeux points situés sur la face du filet se sont réunis en un seul.
A partir du point où commence l'ombre de la ligne brisée HT', les mêmes contours se reproduisent sur les filets. Le point ô', se trouve par suite sur la verticale de ^' .
Hélicuïde de la vis à filets triangulaires employé comme surface
auxiliaire.
1021. L'iiélicoïde que nous venons d'étudier peut être employée comme surface auxiliaire dans divers problèmes relatifs aux surfaces gauches; mais le seul cas où cette méthode présente des avantages réels sur les procédés ordinaires est celui où la surface considérée a une directrice rectiligne et où ses génératrices rencontrent cette droite sous des angles égaux ; car on obtient alors sans difficulté des hélicoides de raccordement.
Supposons qu'une droite se meuve en restant normale à un cône de révolution aux différents points d'une section plane, et proposons-nous de construire le plan tangent en un point à la surface qu'elle engendre. Nous prenons des plans de projection tels que l'axe du cône soit une verticale (S, AS')(y?-g^. ^o'i), et que le plan sécant (PG, GL) soit perpendiculaire au plan vertical.
La génératrice (SC.S'C) coupe le plan au point (M, M'). Si l'on suppose que cette droite tourne sur le cône, jusqu'à devenir parallèle au plan vertical, le point M' se placera en m', et la normale en ce point sera la droite w'u perpendiculaire à »i'S'. La normale au cône au point (M, M') est donc la droite (SM, wM'j.
