SURF.4.CE DE LA VIS A FILETS CARRÉS

Définitions . — Propriétés générales.

lO'io. On appelle surface de la vis à filets carrés (') la surface engendrée par le mouvement liélicoïde d'une droite autour d'un axe qu'elle rencontre à angle droit. Cet hélicoide est tout à la fois une variété de la surface de la vis à filets triangulaires et un conoïde droit (art. G6B).

Deux génératrices ne peuvent pas se rencontrer, car elles sont dans des plans horizontaux différents : la surface n'a donc pas d'hélices doubles dont les points soient à une distance finie de l'axe.

L'angle des génératrices avec le plan horizontal étant nul, le paramètre /■,

rayon du cylindre sur lequel est tracée l'arête de rebroussement de l'hélicoide

développable asymptote, est infini (art. 989), et par conséquent cette surface

.disparait à l'infini, ce qui doit être, puisque la surface de la vis à filets carrés est

un conoïde (art. 641).

1026. Une surface de vis à filets carrés étant déterminée par l'axe (0, O'Z) et par l'hélice directrice (AB,A'B' A") (/?^. 417), cherchons son intersection avec le cylindre vertical dont la trace horizontale est le cercle de diamètre AO.

Le point (m, m'), où une génératrice (OM, 0"M') coupe ce cylindre, est à la même hauteur que le point (M, M') de l'hélice directrice, et l'angle ACm est double de l'azimut AOM de ce dernier point; mais l'ordonnée et l'azimut du point (M, M') sont dans un rapport constant, l'ordonnée du point {m, m') et son azimut mesuré, en prenant pour origine le point C centre du cercle AmO, sont donc aussi dans un rapport constant, qui est la moitié du précédent; il résulte

( ' ) fair la Note de l'art. 9.^8.

iCg LIVRE IX. — SURFACES HÉLICOIDES.

(le là que le lieu des points [m, m') est une hélice dont le pas est la moitié du pas de l'hélice directrice (AB, A'B).

Nous voyons ainsi que, quand une génératrice d'un cylindre de révolution se confond avec Vaxe d'une surface de vis à filets carrés, V intersection de ces deux surfaces est une hélice dont le pas est la moitié dupas de Vhélicoïde.

Une spire de l'hélice excentrique AwO coupe en deux points chacune des \\k- Wces génératrices dont la distance à l'axe est plus petite que OA, et touche en A celle dont la projection est ANE.

Considérons le point (D, D) de l'hélicoïde et traçons deux droites perj)endiculaires à OD, passant l'une par le point D, l'autre par le milieu L de OD : tout point de celle-ci, tel que E, est le centre d'un cercle qui passe par les points 0 et D; ce cercle touche en F celui qui est décrit du point 0 comme centre avec OF pour rayon. Il résulte de là que Von peut tracer sur une surface de vis à Jilets carrés, par un point quelconque!), une infinité dliélices excentriques, et que ces courbes touchent les hélices génératrices de Vhélicoïde aux points de la section faite par un plan vertical FH (' ).

Plans ta/igr/its. — Sections planes.

1027. Les constructions que nous avons trouvées pour la surface de la vis à filets triangulaires s'appuient presque toutes sur un cercle auxiliaire, qui a pour rayon le paramètre r, et sur une spirale d'Archimède, lieu des traces horizontales des génératrices. Elles sont, pour la plupart, inapplicables à la surface de lavis à filets carrés, parce que le paramètre r devient infini et que les génératrices sont parallèles au plan horizontal; mais, en se reportant à la théorie des conoïdes, on obtient focilement d'autres tracés généralement très simples.

1028. Construction du plan tangent à l'hélicoïde en unpoint donné. — Soient O la trace horizontale de l'axe {/ig. 4ii), EN le cercle projection de l'hélice directrice, B la trace de cette courbe, et M un point d'une génératrice OC où l'on veut construire un plan tangent.

La tangente à l'hélice directrice au point N se projette sur la tangente NT au cercle, et a sa trace en un point T que l'on détermine en prenant la longueurNT égale àl'arcNB(art. 9iî)).

Le paraboloïdequi a pour directrices l'axe et la tangente NT à l'hélice, et pour plan directeur le plan horizontal, se raccorde avec la surface le long de la génératrice ON; sa trace sur le plan horizontal est la droite OT. La parallèle MG

(')Nou» croyons que les deux théorèmes de l'art. 1026 sont dus à Th. Ohvier (Développements fie Géoiiiclric).

CHAPlTIÎIi IV. - SURFACK DE L.V VIS A FILETS CARRÉS. lG()

à NT est la (race d'un plan vertical qni, étant parallèle aux deux directrices rectilin-nes du paraholoïde, coupe cette surface suivant une génératrice du second système. Le plan tangent est déterminé par cette droite dont la trace est G, el |>ar la génératrice horizontale OC : sa trace est donc la droite GH parallèlt à OC(').

On voit qu'il est possible de faire la construction en opérant sur le plan horizontal seulement.

Si l'on devait construire plusieurs plans tangents, il serait utile de tracer la développante BTY du cercle BN. Cette courbe est, comme nous le savons, le lieu des pieds des tangentes à l'hélice.

La même construction, faite en ordre inverse, donne le point de contactai d'un plan qui contient une génératrice OC et dont on connaît la (race GH. On détermine la trace OT du paraboloïde de raccordement; cette ligne rencontre la droite GH en un point G que l'on projette sur OG.

1029. Srctions planes. — Si la surface est divisée en parties correspondant aux didérentes spires de l'hélice directrice [Jig- /117). on pourra déterminer sur chacune d'elles deux génératrices (ON,on\') et (ON,,<o,N', ) parallèles à la trace horizontale PQ d'un plan sécant, quelle que soit sa direction. Toute section plane aura donc deux branches infinies sur chaque partie de la surface. Les asymptotes sont les intersections du plan par les plans horizontaux contenant les génératrices (art. 641).

Quand le plan sécant contient une génératrice, cette droite forme une branchi infinie de l'intersection; la courbe proprement dite passe au })oint de la génératrice où le plan touche la surface. Enfin, lorsque le plan est horizontal, l'intersection se réduit à une génératrice et à la directrice rectiligne que la surface possède à l'infini (art. 641 ).

Ligne d'omhrc propre pour des rayons pctnillèles.

1030. On peut déterminer la projection horizontale de la ligne d'ombre propre par la construction de l'art. 993, en remarquant que le cercle auxiliaire a un rayon infini. Traçant alors du point fixe P une divergente quelconque PQ [fig. 420), on lui mènera une parallèle OQ,, et on élèvera à ces droites une perpendiculaire OM : la courbe est le lieu des points M, pieds des perpendiculaires abaissées de la trace 0 de l'axe sur les droites qui divergent du point P. c'est-à-dire le cercle ayant OP pour diamètre. Par suite, et conformément au

(') CeUe construction est identique avec celle que nous avons exposée à l'article 672 pour le plan tangent au conoïde de la voûte d'arêtes en tour ronde.