III. — De la Gourserie. — Descripliie

j,Q LIVRE IX. — SURFACES HÉLICOIDES.

théorème de l'art. S02G, la ligne d'ombre dans l'espace est une hélice excenlri([ue.

1051. Il est facile d'étahlir.que la projection horizontale de la courbe d'ombre propre est un cercle, d'une manière directe, en partant de la construction de l'art. 1028. Nous supposons le rayon de lumière (R, R') parallèle au plan vertical {fig. 421); nous considérons une génératrice (ON, 0', N'), et nous déterminons successivement la trace KG du plan passant par cette droite et parallèle aux rayons, la trace TG du paraboloïde de raccordement formé par les tangentes aux hélices, et le point M de la courbe d'ombre.

Nous pouvons supposer que le plan horizontal s'élève ou s'abaisse de manière à se trouver toujours à une même hauteur au-dessous de la génératrice considérée; alors la trace A de l'hélice directrice est en un point variable du cercle ANC, l'arc AN a une grandeur constante ainsi que l'angle TON, et le point K est fixe.

L'angle OGK égal à TON est constant, et ses côtés passant respectivement par deux points fixes 0 etK, son sommet se meut sur un cercle. Si nous prolongeons la droite G.M jusqu'à ce cercle en P, le point P sera fixe, car l'angle OGP complémentaire de TON est constant. Le sommet M de l'angle droit PMO décrit donc un cercle ayant OP pour diamètre.

Dans le quadrilatère inscrit POKG, l'angle en G est droit ; l'angle en 0 est donc aussi droit, et par suite le diamètre OP du cercle PO.M est perpendiculaire à xy.

Lorsque le point M est en P, G se trouve en G,, l'angle G,OP est égal à TON, et l'on a

tauyTON On trouve d'ailleurs

OK = O'O; coty, tangTON = AON,

7 étant l'angle OK'O', des rayons de lumière avec le plan horizontal. En portant ces valeurs dans l'expression de OP, on obtient

<>!' = xois-co^v;

et, en introduisant le pas réduit /;,

OP = h coty.

Nous n'avons ainsi que la grandeur absolue du diamètre OP. En faisant sur la direction des ordonnées positives les mêmes conventions qu'à l'art. î)9o, on reconnaît, d'après la position du point P sur la figure, que son ordonnée est de signe contraire au produit h coty.