CHAPITRE V

SliUFACES HÉLICOIDES NON RÉOf.ÉES.

Section piano. — Plan (a/ii^cnt. — Coiirhr d'uuihrc. — Xorniale. Surface de vis à JUcts triangulaires normale.

1042. Une surface hélicoïde est donnée, en général, par son axe que nous supposerons vertical, par son pas et par une génératrice curviligne. On construit le contour apparent de cette surface par rapport à un plan, en prenant l'enveloppe des projections, sur ce plan, des hélices décrites par un certain nombre de |ioints convenablement espacés sur la génératrice.

On détermine l'intersection delà surface par un plan, en prenant les traces, sur ce plan, d'un nombre sultisant d'hélices. La construction est très facile quand le plan sécant est perpendiculaire au plan vertical, car, à chaque point d'intersection delà trace verticale avec une sinusoïde projection d'une hélice, correspond sur le plan horizontal un point delà projection de la courbe. Quand le plan n'est pas perpendiculaire au plan vertical, on l'amène à cette position en le f;usant tourner autour de l'axe d'un mouvement hélicoïde, puis, lorsque l'intersection a été construite, on le ramène à sa véritable position : il suffit pour cela de faire tournei' sa piojection horizontale d'un ani;le égal et de sens contraire à celui dont on fait tourner le plan, et de diminuer on d'augmenter les hauteurs des projections verticales de ses divers points d'une quantité égale à celle dont tous les points du plan ont été élevés ou abaissés dans le mouvement hélicoïde.

I0i5. Plan tangent. Surface de vis à filets triangulaires de raccordement . — On obtient le plan tangent à un hélicoïde en un point donné en déterminant la tangente à la génératrice et celle de l'hélice qui se croisent à ce point. Lorsque l'on veut construire plusieurs plans tangents, il est utile d'employer <les héliconles gauches de raccordement.

Quand une courbe et une de ses tangentes se transportent d'un même mouvement, les surfaces qu'elles engendrent se raccordent le long de la ligne décrite par le point commun. Si la courbe est la méridienne d'un hélicoïde, la surface décrite par l'une quelconque de ses tangentes est celle d'une vis à filets triangu-

laires.

La courbe/ {,fig- '122) étant la méridienne d'un hélicoïde, si l'on veut construire le plan tani-ent à cette surAice au point dont la projection horizontale est N, on pourra décrire du point O comme centre l'arc N.M, relever le point >[

CIIAPlTlIli V. - HÊLICOIDES NON RÉGLÉS. l8l

on M, tvuvci' la tangente M'T' et remplacer l'hélicoïde par la surface de vis ii tilets triangulaires (jui a le même pas, le même axe (0, XZ), et dont la droite ( ().r, T'.Al'; est la génératrice dans sa position initiale. On appliquera à cette surface l'une des deux méthodes expliquées à l'article 991; la seconde exige (|ue l'on détermine le paramètre /-(art. 989).

En appelant*, a,, y.., ... les angles que les tangentes à la méridienne aux points M, M,, .M!,, ... font avec le plan horizontal, et r,r^,r^,... les paramètres des surfaces de vis à filets triangulaires de raccordement le long des hélices décrites par ces points, on aura

r=/icota, /•, = /! cota, , r2^ hcotx.,, .... d'où

/■ tanga = /•, tanga, = r-^ tangxj = . . . .

Cette relation conduit à une construction très simple des paramètres /-,. r^.--. qui serviront à déterminer le plan tangent en divers points des hélices qui passent aux points M',, M.,

lOi-i-, Ligne cVombre. — Si l'on veut connaître les points d'une courbe d'omhre qui appartiennent à l'hélice décrite par un point déterminé, on reni- |)lacera, comme précédemment, l'hélicoïde par la surface de visa filets triangulaires de raccordement, et l'on appliquera ensuite la construction de l'article 997 ou€elle de l'article 1010, selon que les rayons seront parallèles ou divergents.

Dans le premier cas, quelle que soitl'hélice considérée sur la surface, le cercle auxiliaire P/iN [fig. \o i ) reste invariahle, car son rayon est égal à // coty art. 997 . La distance du point F à l'origine 0 est égale au paramètre rque l'on détermine coiiinif nous l'avons dit à l'article précédent, d'après l'inclinaison de la génératrice de la surface de vis à filets triangulaires. Des quatre points M,M,, wet m,. situés sur le cercle G^ projection de l'hélice considérée, deux seulement sont utiles : on verra dans chaque cas à ((uelle nappe de la surface de vis à iiicts triangulaires appartient l'hélice de raccordement, et l'on rejettera les deux points ([ui ne sont pas sur cette nappe en se réglant sur les indications àe?, fig. J98, /|()o et 402 ( ').

Si la génératrice donnée n'était pas dans un plan contenant l'axe, pour avoir la tangente à la méridienne, il faudrait construire le plan tangent à la surface et déterminer sa trace sur le plan méridien du point de contact.

104o. Dans le cas (jue nous examinons, c'est-à-dire quand les rayons sont

^'J liour a été conduit i)ar des CDiisidéralions de ciiiémali(inc à une cnnslruclion dans lai|iiellc om emploie un cercle variaMe et un point li\e, au lieu d'un cercle fixe et d'un [)oinl ajaiit une |)ositioii variable {voir la séance de la Société l'Iiiloniatliique du J juin 1864).

(g2 LIVRE IX. — SURFACES HELICOIDES.

parallèles, on peut opérer directement sans considérer une surface de raccordement.

Soient (R, IV) le rayon de lumière ifig. /|25), y la méridienne de l'iiélicoide, (0, O'Z) l'axe, (AA2, A'A'2)les projections de l'hélice décrite par un point (A, A') de / : nous allons chercher quels sont les points de cette hélice qui appartiennent à la ligne d'omhre propre de la surface.

Nous construisons d'ahord le plan tangent au point (A, A'); pour cela, nous prenons un plan horizontal d'opération XY situé au-dessous de ce point à une liaulpur égale à une fraction simple du pas, le huitième. La tangente à l'hélice au poinl(A, A') a sa traceau point i,',, à une distance du pointA égale à l'arcA^. huitième de la circonférence. La tangente à la méridienne perce le plan horizontal au point T : le plan tangent a donc pour trace horizontale lg^•■, il rencontre l'axe au point (0, 0').

Tous les plans tangents à l'hélicoïde aux points de l'hélice (AAo,A'A'2) font, avec le plan horizontal, le même angle que le plan (TX-, T'O'); ils sont donc parallèles aux plans tangents au cône de révolution dont le sommet est le point (0, 0'), et dont la trace est le cercle qui a pour rayon la droite O^perpendiculaire à Tg,.

Les génératrices de ce cône, le long desquelles le plan tangent est parallèle aux rayons de lumière, sont Oj?-, et 0/î-5(art. 131). Si nousprenons les arcs c,A, et fv, A2 égaux à cA, les points A, et A, seront les positions du pointA lors(|ue le point r aura été transporté en c, et eni?,. Les points (A,, A',) et (Ao,A,,) sont donc ceux de l'hélice où le plan tangent ii la surface est parai lide aux rayons de lumière ( ' ).

Il n'y aurait que très peu de modifications à apporter aux tracés, si la génératrice donnée n'était pas méridienne.

On peut encore déterminer la courhe d'omhre en faisant des sections par des plans paiallèles aux rayons de lumière, et en menant à ces courhes des tangentes parallèles aux rayons. Pour que les constructions soient faciles, il faut prendre les plans auxiliaires perpendiculaires au plan vertical (art. 1042) et opérer sur les projections horizontales des sections. Ce procédé est applicahle au cas où les rayons sont divergents; il a l'avantage de donner en même temps des points des deux courhes d'ombre propre et d'ombre portée.

1046. Normale. — Nous allons maintenant nous proposer de construire la normale à la surface en un point (M, M') du méridien principal {Jig. 422).

Nous plaçons le plan horizontal au-dessous de ce point, à une hauteur égale au quart dupas des hélices; pour avoir un point E de la ligne de terre, il suftit de prendre au-dessous du point M' une longueur M'E égale à l'J.

(*) Cette métliode a été ein|iloyée par le clievalier Kaà de bvuno (Mémoire sur- les colonnes torses).

CIIM'ITIîK V. — llKLir.UIDES NON lîElILES. I 8 J

Ln trace L de la tangente à l'Iiéliee au point ^I est sur la droile }>\\\ à nue distance ML égale an quart de cercle >1Q. On détermine facilement la trace T de la tangente à la méridienne : le plan tangent est donc (TL, T'M). On obtient les projections de la normale en abaissant des points M et M' des perpendiculaires MG et M'F' sur les traces IL et T'M' de ce plan.

lOiT. Surface de vis à Jilels triangulaires normale. — La normale ( MF, MF') ne rencontre pas l'axe, et par suite, dans le mouvement hélicoide, elle engendre un hélicoide gancbe général. Le plan tangent à cette surface au point (M, M') ('ontient la normale à la surface et la tangente à l'hélice; ses traces sont par conséquent LF et K'M'.

Si la droite K'M' trace verticale du plan tangent à l'iiélicoïde des normales est entraînée dans le mouvement liélicoide, elle décrira une surface de vis à lilets triangulaires qui se raccordera avec cet hélicoide gauche le long de l'hélice décrite par le point (M, iM'), et (|ui, par conséquent, rencontre normalement la surface considérée ( ' ).

Quand la génératrice donnée de l'hélicoïde n'est pas méridienne, ses tangentes décrivent des surfaces gauches hélicoïdes générales; mais, par une construction analogue à la précédente, on peut déterminer des surfaces de vis à lilets triangulaires de raccordenient.

1048. Intel-section cran hélicoide et d'un conoïde. — Dans certains problènu's de Stéréotomie, on a besoin de déterminer l'intersection d'un hélicoide et d'un conoïde droit de même axe. On prend alors pour surfiices auxiliaires des surfaces de vis à filets carrés ayant le même pas et le même axe ([ue riiélicoïde : leurs intersections avec cette surface et avec le conoïde sont, sur le plan horizontal, des droites et des Cercles. La construction de la projection horizontale nedilTère donc pas de celle que nous avons expliquée pour l'épure de la voiïte d'arêtes en tour ronde fart. G71).

Indicatrices .

10i9. On trouve, par l'analyse (art. 1049f/), que pour déterminer les projections horizontales des asymptotes de l'indicatrice d'une surface hélicoide en un point donné (M, M') de la méridienne/ [fig- 423), il faut: i" délei'ininer le |>aramètre rde la surface de vis à filets triangulaires qui se raccord(> avec l'hélicoïde

(') Les appareilleurs avaioiU adopté pour gcncralrices des lits do la \ is Sainl-Gilles rondo des rayons d'une dos domi-circonférences méridiennes de l'intrados; mais les lits ainsi obtenus sont obliques à l'intrados. Aussi Jules do la Gouniorio a proposé pour lits les surfaces do vis triangulaires normales engendrées par les droites analogues à K'.\l'. J'ai déterminé la valeur de l'angle do ces doux espèces tie lits (Niiitvrltcs Annules dr Miittirnutlinucs, janvier i88i ). (E. 1,.)

[fi'l LIVRE IX. — SURFACES HÉLICOIDES.

le long (le l'hélice du point (M, M'), et porter ce paramètre en OQ sur une perc pcndiculaire à OM, du côté où s'étend la branche de la spirale d'Archimède sur laquelle est la trace delà génératrice ÎMK; 2° construire la projection .M(j de l'une des asymptotes de l'indicatrice de la surface qui serait engendrée par la révolution de la méridienne autour de l'axe (art. 822); 3" prendre sur la droite OM une longueur OC égale à OG, puis décrire un cercle passant par le point C et avant son centre en Q : les points P et P,, où ce cercle rencontre la droite OQ, appartiennent aux asymptotes cherchées.

liiOff. Voici la démonstration des constructions indiquées dans l'article précédent.

L'équation des projections horizontales des asymptotes de l'indicatrice en un point

(.r, V, :) est

r{x— ay-\- 2s{.T — a){y— b) -t- t()-— i)-= o;

(i pl /> étant les coordonnées variables, et r, s, t les dérivées partielles du second ordre de l'ordonnée .: considérée comme fonction des coordonnées x et v.

Nous allons nous proposer de déterminer r, s el t.

Soil

l'équation de la méridienne. Si l'on appelle p le rayon vecteur d'un point, w son azimut et // le pas réduit commun des hélices, l'équation de l'hélico'ide sera

z = /no -+-/{?);

(in a d'ailleurs

et par suite

io = arctang — ) p = ^x' -+- j-,

dw sinii) dtjù costo do dp

— — ' = COSio, -p:=Sinw.

dx p dv p dx ' dy

D'après ces valeurs, el en différentiant l'équation de la surface, on obtient

h sinio ., , , p = h/'(p)cosw,