CHAPITRE IV. — SURFACE DE LA VIS A FILETS CARRES. l~ I

On peut, sans s'inquiéter du signe, déterminer l'extrémité P du diamètre qui .est sur l'axe OY,, eu cherchant par la construction directe le point de la courbe situé sur cette droite.

1052. Les tangentes au cercle PMO aux points 0 et P sont parallèles à la projection R du rayon de lumière. Nous savons d'ailleurs que les plans tangents à la surface de la vis à filets carrés ne sont verticaux qu'aux points situés sur l'axe. Les points dont la projection est P sont donc des points limites (art. 892). Ceux qui se projettent sur l'origine 0 ne sont pas limites, car les tangentes à une hélice aux points situés dans un plan méridien, de part et d'autre de l'axe, sont inclinées en sens contraire. x\insi la tangente à l'hélice d'ombre (OMP, O'M'P'), au point (0, 0'), a une inclinaison en sens contraire de la tangente au point limite(P, P'). Ce résultat est conforme àcelui que nous avons obtenu à l'art. lOOG. On voit que les spires de l'hélice d'ombre sont alternativement réelles et virtuelles. Puisque cette hélice a des points limites, ses tangentes ont la même inclinaison que les rayons de lumière; par conséquent, et en vertu du théorème de l'art. 954, l'ombre de cette courbe sur le plan horizontal, qui est l'ombre portée par la surface, est une cycloide.

1053. Nous avons représenté sur lay?»-. 419 la partie d'une surface de vis à filets carrés comprise entre deux hélices (AEIMA, A'E'I'M'A"). (AMIEA, A'^rrE-'A"), tracées sur un même cylindre, et deux génératrices (AL A'), (AI, A"), situées dans un môme plan vertical. Nous avons ensuite éclairé cette surface par des rayons parallèles à une droite (R, R'), et nous avons déterminé ses ombres sur elle-même et sur le plan horizontal.

La première partie du travail ne présente aucune difficulté. Nous nous bornerons à dire que nous avons divisé chacune des deux hélices en seize parties égales, et que nous avons tracé les génératrices qui passent aux points de division.

Pour avoir le point P, il faut construire la longueur OP ou ^(art. 995), ou bien faire passer par la génératrice (01, 1) un plan parallèle aux rayons de lumière, et chercher son point de contact (art. lU'IS '). Les deux procédés conduisent à des tracés peu différents; nous avons adopté le second.

En prenant sur la tangente li, au cercle AI une longueur le égale à la moitié de la circonférence, et menant Oc, on a la trace du paraboloïde de raccordement sur le plan horizontal A'r'. La trace du plan parallèle aux rayons de lumière, et contenant la génératrice (AI, I'), est t't; la perpendiculaire abaissée de t sur 01 donne le point P. L'hélice d'ombre propre se projette horizontalement sur le cercle OP, et verticalement sur la sinusoïde A'O r0"A", qu'il est facile de construire.

Nous considérons la surfoce comme une feuille, et non comme recouvrant au corps solide; il résulte de là que la courbe d'ombre a toutes ses parties réelles.

ir^2 LU ni-: I\. — .SUUFACES HELICOIDES.

mais un arc n'est lUile sur une projection que quand les rayons de lumière tangents sont du eôté vu de la surface.

Lorsque l'on considère les positions relatives de deux génératrices consécutives, telles que (CK, C'K") et (DL,D'L"), on reconnaît que la iaco de l'hélicoïde, qui est supérieure quand on la considère d'un côté de l'axe, devient inférieure lorsqu'on la prolonge au delà de cette droite. Sur la projection verticale, chaque face, dans sa partie vue, est supérieure à droite de l'axe et inférieure à gauche.

La manière dont la surface est disposée étant bien comprise, le tracé des ombres ne peut présenter aucune difficulté. Sur la projection verticale, l'hélice d'ombre n'a pas d'arc utile; elle passe au point I' d'une face à l'autre, et appartient toujours à la partie cachée. Au point (0,0') l'hélice reste sur la même face, qui est supérieure d'un côté et inférieure de l'autre; il en résulte que, sur la projection horizontale, le cercle OP est utile d'un côté seulement du point 0.

En déterminant les ombres des génératrices sur le plan horizontal, on obtient; i" la cycloïde jop,/;^, trace du cylindre circonscrit parallèle aux rayons; 2° les courbes abc ... qsa' et 'i/iii", . ..h,i„, ombres des deux hélices qui limitent la partie considérée de l'hélicoïde. Ces lignes sont des cycloides allongées, engendrées par les points A et I lorsque le cercle PO roule sur la droite p/Ji/Jo, après avoir été transporté parallèlement à lui-même, de manière que le point P soit (Ml p. Pour avoir les ombres portées par la surface sur elle-même, il suffit de ramener sur la projection horizontale, et de relever sur la projection verticale, les lignes a/3y, sd et 'k[j.'j données par la projection oblique ( ').

Courbe d' omhrc propre dans le cas oh les rayons sont divergents.

105 Î-. Quand les rayons sont divergents, on simplifie les opérations en prenant pour plan horizontal de construction celui qui contient le point lumineux S { fig. 4' Oî ïilors, pour avoir la projection du point de la courbe d'ombre situé sur une génératrice OC, on trace par le point S une droite HG parallèle à cette ligne, et on la considère comme la trace d'un [»lan contenant la droite OC. On détermine ensuite le point de contact M de ce plan, comme il est (•xpli(jué à l'article i028.

Si l'on su[»pose que la longueui» 00 devienne infinie dans la construction représentée sur \'Afig. L\\^ (art. 1012), les points Q et D iront à l'infini sur OD, et par suite les droites SQ et SD seront confondues en une seule droite perpendiculaire à 0>1. D'après cela, pour avoir un point c/de la tangente au point AI à la

(') Nous avons cru qu'il étùt inutib d'iudiciiicr par des hachures l'étendue de l'oaibre portée par la surface sur le plan horizontal.

CHMMTUE IV. — SURI-ACE DE LA VIS A l'iLETS CARRÉS. I ■jS

projection horizontale de la courbe d'onibi'o propre de la surface de la vis ;i filets carrés [fig- 4ti), il suffit d'abaisser du points une perpendiculaire S/à OC, et de prendre /r/ égale à S/. Les tangentes à la courbe aux divers points situés sur la droite indéfinie OC passent toutes par le point r/.

Tous les plans tangents à l'infini sont horizontaux (art. 641). La courbe d'ombre a donc une seule brandie infinie, correspondant à la génératrice située à la même hauteur que le point lumineux. L'asymptote est parallèle à celle droite.

En appliquant la construction que nous avons trouvée pour les tangenles, on reconnaît que le point lumineux et l'asymptote sont situés de part et d'autre età égales distances de la génératrice, ce (|ui devait être puisque la surface a un plan directeur (art. 88i).

En rapprochant les résultats des articles ÎOiSet 1030, on trouve que les projections des points limites d'une courbe d'ombre sont sur le cercle qui aurait pour diamètre la droite OS (y7g-. /(ii).

Représentation d'une vis à filets carrés et de son écrou.

lOÔj. Une vis à filets carrés se compose d'un noyau plein qui a la forme d'un cylindre de révolution, et d'un solide hélicoide dont la génératrice méridienne est un rectangle a'b'c'd' [Jig. 4i3) placé de manière que l'un de ses côtés a'd' soit un segment d'une génératrice du cylindre, et que son plan passe par l'axe de cette surface. En général, on donne au pas c'c', des hélices une longueur double de la hauteur b'c' du rectangle, afin que les filets de la vis et ceux de l'écrou aient la même épaisseur.

Pour faire l'élévation d'une vis à filets carrés, il suffit de tracer dans leurs parties vues les quatre hélices décrites par les sommets du rectangle, et les segments de droites qui forment le contour apparent du cylindre du noyau et du cylindre extérieur du filet.

Nous avons représenté l'écrou par une projection horizontale et par une coupe verticale {/ig. f\\[\)-

l^i^Jig- 4o5 est l'élévation d'une vis double à filets carrés.

1056. Nous supposons maintenant la vis de la y?^. 4i3 éclairée par des rayons parallèles à une droite (R, R'), et nous allons déterminer ses ombres.

Les hélicoïdes auxquels appartiennent la face supérieure et la face inférieure du filet ont un même pas, et leurs lignes d'ombre propre sont des hélices identiques. On trouve que le diamètre du cylindre sur lequel sont ces hélices est plus petit que le rayon 0« du noyau, et que par suite il n'existe pas de lignes d'ombre propre sur les faces hélicoïdes du filet. Le diamètre du cylindre des hélices d'ombre n'étant d'aucune utilité pour les opérations, nous ne l'avons pas

I Jf^ LIVRE I\. — SURFACES HELICOIDES.

indiqué, et nous n'avons pas conservé les constructions qui nous avaient servi à le déterminer.

Ombres propres et ombres portées sur les surfaces des cylindres. — En traçant un rayon On perpendiculaire à R, on obtient les points m, et/?, traces horizontales des génératrices qui forment les lignes d'ombre propre sur les deux cylindres du noyau et du filet.

Il est très facile d'avoir les ombres portées sur ces surfaces; ainsi, le rayon [pq,p' q'), qui part d'une hélice saillante, rencontre le cylindre ae en un point dont la projection horizontale q fait trouver la projection verticale q' . On détermine de la même manière la ligne t'a', ombre de (ST, S'T'), et les arcs c'y' et y', A',, ombres de la droite (TU, T'U').

Ombre portée sur la surface supérieure du fdet le plus élevé. — Pour avoir les ombres portées sur la surface c\d\g'.,h',, il faut construire des projections obliques, comme nous l'avons déjà fait pour la vis à filets triangulaires (art. 1019). Nous déterminons sur un plan horizontal arbitraire .r,j', les lignes p-a", T"U" et Vp", ombres des lignes m'^'f, , (TU, T'U') et c, |5'. L'intersection j3" fait connaître le point j'i' où l'ombre de l'arête de la tête de la vis arrive sur l'hélice.

Nous considérons ensuite sur l'hélicoïde différentes génératrices rectilignes comprises entre les points m!, et P', et nous construisons leurs projections obliques sur le plan a-, y,; les points où ces droites rencontrent la ligne brisée ij.a"/3" sont les projections obliijues des points des génératrices qui appartiennent à la ligne d'ombre portée m'.^Çi'.

Ombre portée sur la surface supérieure du second filet. — La surface c'd'g\h\ ne reçoit pas l'ombre de la tête de la vis. Pour déterminer la ligne /«',<>', nous avons fait une projection sur un second plan horizontal xy, situé au-dessous du premier à une distance égale au pas des hélices. Par suite de cette disposition, la courbe V'S" devient l'ombre de l'hélice c'iV. On construit la courbe -/"e", ombre de l'arc Z>',y.,, et, traçant comme précédemment les projections de quelques génératrices de l'hélicoïde, on prend et on relève leurs intersections avec la ligne brisée fj-fà".

1057. Ombres de r écran. — Sur l'écrou, les ombres propres des cylindres sont virtuelles; il n'y a donc à considérer que des ombres portées. Pour les cylindres, ces ombres sont obtenues sans difficultés, mais pour les hélicoides il faut faire des projections obliques.

Après avoir pris une ligne de terre xy, nous déterminons les projections m, Tîoj, coû et TTvj des lignes d\a'.^, a'.,V,, b'.,c'., et du petit arc «!,r/ de riiélice intérieure; ensuite, considérant sur la face supérieure du filet diverses génératrices passant entre les points u, et l',, on obtient les points où elles rencontrent la courbe d'ombre en relevant les intersections de leurs projections obliques avec

CHAPITI!!-: IV. - SUIîFACE DE LV VIS .\ FILETS CARRÉS. l'jB

la ligne brisée rnr,ù. Dans le cas actuel, la ligne u,f., se présente à peu près comme une droite.

L'angle saillant ij'' porte sur le cylindre de grand rayon une ombre /y", /<' facile à construire.

Il est nécessaire de représenter sur la projection horizontale l'ombre que la face supérieure du filet reçoit d'une partie de l'arc ¥/. Cette ligne étant horizontale, il convient de faire la projection oblique sur son plan X'Y'. Une génératrice l/^ a pour projection II ;(, ; son point de rencontre Ç, avec F/fait trouver le point 'Ç de la ligne d'ombre GL.

Rayons de courbure. Lignes asjinptotiques. Lignes de courbure.

1638. Les génératrices, étant perpendiculaires à l'axe, sont les normales principales des hélices (art. 955). Il résuite de là, d'après les théorèmes de l'article 95o : 1° que les hélices sont avec les génératrices les lignes asymptotiques de la surface; 2° que la surface du second ordre, osculatrice le long d'une génératrice, est un paraboloïde isoscèle; 3" que les rayons de courbure principaux ont, en un point quelconque, des longueurs absolues égales.

On peut déduire ces résultats de ceux que nous avons obtenus pour la surface de la vis à filets triangulaires, car la construction expliquée à l'article 1004, pour les asymptotes de l'indicatrice en un point de cette surface, montre ([ue, quand le paramètre rest infini, c'est-à-dire quand l'hélicoule a un plan directeur, les secondes asymptotes des indicatrices aux différents points d'une génératrice sont perpendiculaires à cette droite.

La formule de l'article 826 donne, pour chacun des rayons R, etRj, l'expression très simple

X est l'abscisse mesurée à partir du point central, et k le paramètre dont la valeur est égale en grandeur absolue au pas réduit h, conformément au résultat trouvé à l'article 988.

Si l'on appelle 9 l'angle que la normale au point dont l'abscisse est a? fait avec le plan horizontal, on aura, entre le rayon de courbure R, et sa projection horizontale y, la relation

j/ = R, cos9.

En introduisant la valeur que nous avons trouvée pour R,, et éliminant 0 par l'équation

l-iCy LIVIîE 1\. - SURFACES IlELICOIDES.

on ohlicnt

y' — .r- ^ Ir .

La projection sur un plan perpendiculaire à l'axe, du lieu des centres de courbure principaux d'une surface de l'isà filets carrés, aux différents points d^une génératrice, est une hyperbole équilatère dont l'axe transverse a une Ion gueur double du pas réduit de la surface (' ).

1059. On peut, pour une surface de vis à filets carrés, déterminer directement le paramètre des génératrices, l'indicatrice et les rayons de courbure par la méthode de l'article 790.

En prenant pour axe des x, des z- et des v. une générati'ice, l'axe de riiélicoule et une commune perpendiculaire, on trouve pour l'équation de cette surface

= Ji arc tans;

Nous transportons l'origine sur l'axe des abscisses à une distance a:,, et nous faisons tourner les axes des y et des z de manière qu'ils deviennent le premier tangent et le second normal à la surface. En appelant 0 l'angle que le plan tangent à l'hélicoide à la nouvelle origine fait avec le plan central de la génératrice, nous avons pour la transformation des coordonnées

Y = v' sin5 — :;' cos5,

z = r'cos5 -t- z' sin(5.

La substitution de ces valeurs donne

/ \ I r, I ■ r 1 i r'sine — 5' cosO (ij y cos5 + = sui5 = h arc tang -^-—,

On a en général

arc tanga = a — i«' + \ «" — ^a'

par conséquent, la différence entre un arc infiniment petit et sa tangente est seulement du troisième ordre.

Quand x' et y' sont infiniment petits du premier ordre, z est infiniment petit

( ') On trouve, par des calculs analogues à ccii\ des articles 837 et 839, que la prujcctiori du lieu des centres de CDurbnrc principaux d'un conoïdc général, aux dijférents points d'une géne'ratrice, sur un plan parallèle au plan directeur, est une Inperbolc.

CIIM'ITIÎK I\. - SI lUVCK IlK I. \ VIS \ FIl.KTS CARRKS. 177

(lii second; alors, d'après ce (|ue nous venons de voir, si l'on néglige les termes (In Iroisiènie ordre, ré(|nation se réduit à

V cosO + 3 sinO = /r ; ;

d'où l'on lire

.r,v' cos9 4- a-, G'sin5 + ,r' v'cos5 = /iv' s\nO — /;3'cos5.

Otte équation doit représenter Tindicalrice; les termes du premier ordre disparaissent donc, et l'on a

x,y cosO = hj' fi'inS, tang5 = ^•

Il résulte de là que le paramètre des génératrices est égal au pas réduit en grandeur absolue.

Les termes du premier ordre étant supprimés, on a pour l'équation de l'indicatrice

X, s' sin5 + a-'y' cos5 + /iz cos5 = o.

Kn introduisant la valeur que nous venons de trouver pour tang^, on a

Otte équation représente une hyperbole équilatère, et par suite les rayons de courbure principaux sont égaux et de signe contraire.

L'indicatrice, rapportée aux bissectrices des angles de ses asymptotes, a pour équation

Lnfln. en opérant comme nous l'avons fait pour le tore à l'article 87-i, on obtient la valeur déjà trouvée pour la grandeur commune des rayons de courbure ('). 10i(). i'roposons-nous de déterminer les caractères de la surface gauche gé-

I ' ) La surface de la vis à filots carrés csl le lieu des normales à une infinité de cylindres de révolulion. On pont par suite appliquer à cette surface, et de diverses manières, les lliéorènies établis aii\ articles 849-838. On trouve ainsi imniédialeinent, par la fornuile de l'arlicle S.";", que le paramètre des

génératrices est égal au ]ias réduit, en grandeur absolue, car la langenle de l'angle y est vp •

IH. — De 1.A GoiiiNiiiMc. ~ Desrriptiie. '■'■^

r^S l.l\RK 1\. — SURFACF.S MÉLICOIDES.

iiéiale dont les l'ayons de courbure ont en chaque point des grandeurs absolues égales.

Les indicatrices d'une telle surface sont des hyperboles équilatères, les lignes asymptotiques de la seconde série sont par suite les trajectoires orthogonales des génératrices, et la surface du second ordre osculatrice le long d'une génératrice quelconque G a la droite G pour ligne de striction. Cette surface est donc un paraboloide isoscèle (art. 645); sa seconde ligne de striction est une droite perpendiculaire à G et aux autres génératrices du même système.

Nous avons vu à l'article 6Î>6 que celle des génératrices d'uu même système d'un paraboloide qui passe au sommet a le jilus petit paramètre. Le paramètre de G ne diffère donc de celui de la génératrice qui lui est infiniment voisine, que d'une quantité infiniment petite du second ordre.

Ces observations moulrent comment sont disposées trois génératrices consécutives quelcoïKjues G, G', G" de la surface gauche :

Puisqu'elles appartiennent à un paraboloide, elles sont parallèles à un même plan, et la surface a un plan directeur;

Puisqu'elles ont une commune perpendiculaire, la surface est un conoïde droit;

Puisqu'elles déterminent deux paramètres consécutifs égaux, la hauteur de G' au-dessus de G et celle de G" au-dessus de G' sont proportionnelles aux angles de ces droites, et la surface est un hélicoïde.

La surface de la vis à filets carrés est donc la seule surface gauche dont les rayons principaux de courbure aient en unpoint quelconque des grandeurs absolues égales [').

Les lignes de courbure rencontrent toutes les génératrices sous un angle fie /i5°. On peut facilement construire leurs projections.

lOi-1. Nous allons maintenant recliereher les sections normales surosculées par des cercles. Pour cela, nous développerons l'équation (i) de l'article 1039, et nous la mettrons sous la forme de l'équation (i) de l'article 957, en négligeant les termes qui sont infiniment petits d'un ordre supérieur au troisième, (juand x' et y' le sont du premier.

Nous avons d'abord

- , ■ f, , v'siiiO — :;'cosO h ( r' siti9 — ;' cosO)'

y C0S5 -h 3 SinO = h , i- rr:; ,

( ' ) Meusnier a démonlré le premier que, dans la surface de la vis à filets carrés, les rayons de courbure sont en chaque point égaux et de signe contraire (.Mémoire cité à l'article 813); quant à la proposition réciproque de l'article lOiO, M. Calalau et plusieurs autres géomètres s'en sont occupés. On trouve dos détails historiques sur cette question dans les Dércloppemcnis de Génniélric descriptive de Tli. Olivier, p. j^o, et dans un .Mémoire de M. Ossian Bonnet, inséré au XXXII" cahier du Jnurnal de rEcole l'olylccliniiiuc, p. i34.

CHAPITrU-; \. - SURFACE DE L\ VIS \ MLETS CAIIRÉS. I ;()

i>ii I)if'ii

pour qiir l'axe des =' se confonde avec la normale, il l'aiit. eomme nous l'avons reconnu à l'article 1059, que l'on ait

tang5 = V' d'où sin-5 = -^; — î-tt,;

inliodnisant ces valeurs dans l'équation, développant, et sup|)rimant les termes iniinimenl petits d'un ordre supérieur au troisième, on obtient

.r\ + llr , . .,J-\ +/r- ,

3(^? ^/iT)r- + :^.r, V^- + a;,r V +^. —^^ .r . + .,; ^^- . = o.

Jùi comparant cette équation avec l'équation (i) de l'articleDÔT, on voit (|uedans le cas actuel les valeurs des coefficients de cette dernière sont

ô{j-- -+- II- )

' Il

Kii portant ces valeurs dans ré([uation (3) de l'article 957 on ohlii'nl. après (liiel(|nes réductions faciles,

Les racines de cette équation sont les tangentes trigonométriques des angles que les tangentes des projections des sections normales surosculées par des cercles font avec l'axe des abscisses, qui est la génératrice. On voit que ces angles sont o, 6o" et 120". Il résulte de là (jue, sur la surface du filet de la vis carrée, les courbes tangentes aux sections normales surosculées par des cercles rencontrent les génératrices rectilignes et se coupent elles-mêmes sous des angles de (jo" (').

( 1) Un peut déduire ce résultai de l'équation { 16) de la Note de l'arlicle 939.

l8n I.IVRK I\. - SURFACES IlELICOIDES.