LIVRE I\. - SURFACES IIKLICOIDES

On aura, en général, les points limites d'une ligne d'ombre d'une manière plus rapide et suffisamment précise, en menant sur l'une des projections des tangentes du point lumineux à cette courbe (art. 892).

Pour résoudre entièrement la question des indicatrices, il faudrait déliMiiiincr les axes de ces courbes lorsqu'elles sont des ellipses; mais ce probli'me est plus compliqué et moins utile; en voici cependant la solution.

lOolo. Nous conservons les notations adoptées dans l'art. 1049a, et nous ajjpeloiis de plus X, |x les angles que les asymptotes de la projection de l'indicatrice font avec l'axe des abscisses, et /l'ordonnée du point où un des axes de celte courbe ronpe l'axe des ordonnées. On a

/=.rtang-— -^■

Eu égard aux valeurs de bi, les tangentes des angles X et \i. sont données par les érpiations

tangX :

tangii

•vV+fe;^

Ou déduil successivement de ces équations

lang ( À + ;x )

lang = !- ±1/ !- +1,

Quels que soient le signe et la grandeur de b\^, les valeurs de /sont réelles et d'une construction facile. Lorsqu'elles sont déterminées, on connaîl'la direction des axes.

En désignant ]iar /* el <] les moitiés des longueurs des axes de la projection de l'iMiliciiirice, on a

7 = /jtang— -^V- '■

Eu égard aux valeurs de tangX el de tanga, on obtient

Nous trouvons deux valeurs pour -, mais leur produit est égal à l'unité. L'ambiguïté

provient de ce que rien n'indique auxquels des axes appartiennent respectivement les longueurs p et 7. Nous prenons simplement le signe + et nous avons

ClIM'ITIiK V. — IIÉLICOIDES NON HÉGLÉS. I 89

Dans le cas qui nous occupe le Ijinùnie (/-+ ^V') ^^^ négatif, la formule donne |)our -

une longueur réelle, ce (jui tloil être, puisque l'indicatrice est une ellipse. Nous pouvons nous donner arbitrairement le demi-axe/^, le supposer égal à l'abscisse .r, par exemple, et nous obtiendrons le demi-axe </ par la construction à laquelle l'érpiation conduit, dette construction n'est pas très comi)liquée.

Il reste à distinguer les axes. Si nous supposons que la surface devienne de révolution, le paramètre /• sera nul comme le pas; remplaçant alors h'- par sa valeur (page iS5), on obtient

COS'^aSina.

On peut obtenir directement cette formule d'après les grandeurs des rayons tie coiu'bmc (art. 821). On trouve alors que l'axe 27 est celui qui se confond avec un segment de la trace du plan méridien. On verra facilement, dans chaque cas, quel est l'axe qui se rapproche de la trace du plan méridien quand le pas diminue.

10o2. Les relations graphiques que nous venons de faire connaître peuvent servir pour l'hélicoïde gauche général. Quand on opère sur cette surfoce, on ne connaît pas la méridienne, mais on a la génératrice rectilignc qui est une des deux asvmptotes de l'indicatrice. Lorsque l'on a déterminé la surface de vis à filets triangulaires do raccordement le long de l'hélice qui passe à un point donné (art. 1047), et le paramètre de cet hélicoïde, on obtient sans difficulté la seconde asymptote de l'indicatrice.

Représentation (Vun serpentin.

i0o3. On appelle serpentin l'enveloppe des positions d'une sphère dont le centre se meut sur une hélice, ou la surface décrite par un cercle dont le centre parcourt une hélice, et dont le plan est toujours normal à cette courbe.

Nous avons vu (art. 4-35) que le cylindre d'ombre d'une surface enveloppe est l'enveloppe des cylindres d'ombre de ses enveloppées. 11 résulte de là que le contour apparent du serpentin sur un plan quelconque est l'enveloppe des cercles qui forment les contours apparents des sphères.

Nous divisons en seize parties égales une spire [aeima, a'e'i'in'a") de l'Iiclice directrice [fig. 426), et nous traçons les contours apparents des sphères enveloppées qui ont leur centre aux points de division. L'enveloppe de ces cercles sur le plan horizontal se compose de deux cercles projections de deux hélices.

Sur le plan vertical, le contour apparent présente quatre robroussements, et par suite quatre points limites (art. 891). Nous avons craint qu'un grand nombre de cercles ne rendit la figure confuse, mais il faut les multiplier un peu si l'on

,Oo LIVRE l\. — SURFACES HELICOIDES.

veut étudier avec soin les singularités du contour apparent. On voit alors les rebroussements se produire d'une manière très nette : à chacun d'eux, un cercle rencontre les deux cercles voisins d'un même côté de son point de contact avec l'enveloppe dont la direction est déterminée par les tracés qui ont été précédemment faits. Lorsque, avant le rebroussement, la courbe était extérieure aux cercles, après lui, elle les touche intérieurement, et par conséquent elle est virtuelle si l'on considère la surface du serpentin comme recouvrant un corps opaque.

Les quatre cercles sur lesquels se trouvent les rebroussements sont voisins de ceux qui ont leurs centres aux points (r/, d'), {/,/'), (/, /') et (//, n').

Les projections horizontales des contours apparents des sphères par rapport an plan vertical sont des droites parallèles à la ligne de terre et passant par les différents centres. En ramenant sur ces lignes les points de contact avec les cercles du contour apparent sur le plan vertical, on a des points de la projection horizontale de cette courbe. Les positions des points de contact ne sont pas données avec précision, et par suite les projections CiiaC et DilaD ne sont pas tracées avec une grande exactitude. Toutefois cette méthode rapide devra être adoptée en général.

Si l'on voulait opérer avec précision, on considérerait la génératrice non méridienne N'fif'^r, on déterminerait pour différentes hélices des surfaces de vis à tilets triangulaires de raccordement (art. 1047), et enlin on chercherait pour chacune d'elles les points de la courbe situés sur l'hélice de contact (art. lOii). Ces tracés ne sont pas difficiles.

La surlace a trois formes différentes, suivant que le rayon de la sphère est inférieur, égal ou supérieur au rayon AaOA du cylindre sur lequel est tracée l'hélice directrice.