CHAPITRE PREMIER

THÉORIE GÉNÉRALE

Représentation (Vune surface par des courbes horizontales. Problèmes élémentaires.

lOoi'. Dans la Topographie, on représente généralement la surface du terrain par (les lignes de niveau : ce sont les lignes d'intersection de la surface avec des plans horizontaux. Chacune de ces courbes est déterminée par sa projection horizontale et par une cote qui indique la hauteur à laquelle elle se trouve. On suppose ordinairement les plans des sections équidistants, et on prend, pour la «lifférence de hauteur de deux plans consécutifs, ou éqaidisiance , un multiple de l'unité de longueur, de manière que les cotes des courbes soient des nombres entiers.

En général, et sauf de rares exceptions, une verticale ne rencontre la surface du terrain qu'en un point; il en résulte que les projections des lignes de niveau se développent sans se couper et que leur ensemble ne présente aucune confusion.

La surface du terrain n'est ainsi définie que d'une manière approximative, mais l'on peut multiplier les sections, eu égard îi sa forme et à la nature du problème, de manière h obtenir le degré d'exactitude jugé nécessaire. La détermination des courbes sur le terrain est une question de nivellement ; nous ne nous en occuperons pas.

Les lignes horizontales peuvent être employées pour la définition de toutes les surfaces; elles conviennent surtout pour celles dont la loi de génération n'est pas connue et qu'une verticale ne rencontre qu'en un point. Ces surfaces se nomment surfaces topo graphiques.

Le mode de représentation que nous venons d'indiquer appartient à la méthode des projections cotées, et par suite les constructions exposées dans le

lq2 LIVRE \. - SURFACES TOPOGRAPHIQUES.

Livre III vont être d'un usage continuel. Toute figure doit être accompagnée d'une échelle.

Nous supposerons que le plan horizontal de comparaison est inférieur, et par suite que les ordonnées positives sont mesurées de bas en haut.

lO.'io. Courbes intercalaires . — On ii\)\sc\\ç courbes intercalaires des sections horizontales déterminées graphiquement d'après celles qui on! été relevées sur le terrain.

Nous allons nous proposer de tracer sur \iifig- 427 la courbe de niveau qui correspond à la cote 17, [\o, et pour cela de déterminer les projections de quel- (|ues points situés sur cette ligne.

Nous traçons une droite ms à peu près normale aux courbes cotées 17 et 18, puis nous rabattons, sur le plan horizontal qui est à la cote i5, le plan vertical dont DIS est la trace, et nous construisons la section rabattue du terrain : cette opération est analogue à celle qui a été expliquée à l'article 2(>4. Nous traçons ensuite une droite parallèle à mn et à la distance (i7'",4o — 1 o"") ou a^./jo, et nous projetons en a le point A où elle coupe la ligne M* : le point a appartient à

a rourl)e cherchée

Le plus souvent on néglige la courbure de la section verticale entre les points P et Q, et l'on se borne à partager le segment/jy en deux parties qui soient dans le rapport des différences de niveau (17'", 4o — 17"") et (18'"— r7'",4o). La courbe intercalaire qui est à la cote 19,25 a été construite par cette méthode.

Quand il n'est pas possible de tracer une droite à peu près normale aux deux lignes de niveau entre lesquelles on veut intercaler une courbe, on établit, le plus souvent à vue d'œil, une droite r^- qui satisfasse à peu près à cette condition, et on la divise en deux arcs e/et/^qui soient dans le rapport donné.

On voit qu'il v a diverses manières d'opérer selon le degré d'exactitude qu'exigent les problèmes.

lOoG. Pour déterminer la cote d'un point A situe sur une sur/are et donné par su projection a {fig. 427), on construira la section M* et l'on ajoutera la longueur de l'ordonnée «A à la cote i5; ou bien, si l'on veut opérer rapidement, on tracera la droite/>«<7 sensiblement normale aux deux courbes voisines, et on ajoutera à la cote 17 le rapport de qa à (jp multiplié par l'équidistance qui est ici l'unité. Quelquefois on fait cette opération sans tracer aucune ligne, et en appréciant à vue le rapport de (ja à qp : c'est ce que l'on appelle faire une interpolation à vue.

1057. Sens des courbures d'un terrain. — Sur la //g. 427. le point M situé à la

( ' ) Les problèmes que nous présentons sont envisagés sous le point de vue général des constructions géométriques. Nous avons choisi, pour les 6gurcs. les dispositions qui jiermcttent de développer les traces avec clarté, et de faire bien comprendre la méthode, sans nous préoccuper des règles admises dans les services publics sur l'équidistance et l'échelle du dessin. L'exposition et la discussion de ces règles appartiennent à la Toiiographie et non à la Géométrie descriptive.

• iivriiiiK I. ~ TiiKORiE (;km;r\lf. ifjj

cote 20 csl plus élovô (juc l;i droite ms qui est à la cote 1 "), et par suite le terrain se trouve tlu côté de la courbe y\ s où nous avons mis des hachures; il est par conséquent convexe dans le sens vertical.

Ku général, un terrain est convexe dans le sens vertical quand les intervalles sr, rq, qp, .. ., mesurés sur une droite à peu près normale aux courbes horizontales, augmentent de longueur du coté où les courbes vont en s'élevant.

Un terrain est concave dans le sens horizontal (juand une courbe de niveau a sa convexité tournée du coté de la projection de la courbe voisine qui est plus élevée qu'elle.

Une surface peut être à courbures opposées en un point, bien qu'elle soit convexe dans le sens vertical et dans le sens horizontal, ou concave dans les deux sens. Gela arrive quand la tangente à la ligne de niveau et sa perpendiculaire sont dans le même angle des asymptotes de l'indicatrice. La considération du plan tangent fait seule reconnaître le sens des courbures d'une manière certaine.

10'j8. Section plane d'une surface topogmpltiqu". — Nous avons vu, à l'article précédent, comment on détermine la section d'une surface par un plan vertical; lorsque le plan sécant P est incliné ijîg. 4-9). on trace celles de ses horizontales (}ui ont les mêmes cotes que les courbes données; ces droites sont respectivement dans les plans horizontaux des courbes, et leurs rencontres appartiennent il la ligne d'intersection.

Quand une courbe perce le plan en deux points m et // et que celle qui la suit ne le coupe pas, l'intersection a une tangente horizontale. La construction qui présente le plus d'exactitude pour déterminer un point de la courbe entre m et n consiste à couper le plan et la surlace par un plan vertical auxiliaire GQ.

On reconnaît facilement (lequel coté de la ligne kmnC est le terrain coupé.

1039. Intersection de deux surfaces topo graphiques. — On obtient l'intersection de deux surfaces topographi([ucs en faisant passer une ligne par les points de rencontre des courbes horizontales qui ont les mêmes cotes [fig. 428). Dans les parties où le tracé laisse quelque incertitude, on intercale des lignes de niveau, ou bien on fait des sections par un plan vertical auxiliaire.

Si l'on veut di'esser, suivant la surface A, un terrain (jui aurait la surface B, il faudra enlever des terres du côté de la ligne d'intersection où sont les petites hachures.

lOGO. Intersection d'une droite et d' une surface topo graphique. — On fait passer par la droite AB un plan quelcon([ue et l'on détermine son intersection CD avec la surface [jig. 43o). Le point cherché 31 est celui où la ligne GD coupe la droite AB.

Intersection d' une courbe et d'une surface topo graphique. — Ou trace des droites parallèles, dans une direction quelconque, par les points de la courbe AB qui

\\\. — De la GorRNERiE. — Dcscri/'/ifc. '2j

If)J MVHE \. - SLRRVCES TOPOGR VPIIIOUIÎS.

ont les nièines cotes que les courbes de niveau de la surface [Jig. 4^i)- On prend les rencontres respectives de ces lignes; leur lieu CD est l'intersection de la surface et d'un cylindre qui contient la courbe donnée ABet auquel appartiennent, comme génératrices, les droites que nous venons de tracer. Les points cbercliés sont ceux où les lignes AB et CD se coupent.

Lorsque les points de division de la courbe qui ont les mêmes cotes que les lignes de niveau de la surface ne sont pas immédiatement donnés, on les détermine en rectifiant la projection borizontale de cbaque division et en opérant ensuite comme il est expliqué à l'article 26."».

Lignes d' égale pente.

10()l. La pente d'une ligne en un point est la pente de sa tangente en ce point, ou la tangente trigonométrique de l'angle que cette droite fait avec le plan horizontal (art. 266).

Une ligue est dite A'égale pente quand toutes ses tangentes sont également inclinées sur l'horizon. Une ligne d'égale pente devient droite quand on rectifie son cylindre projetant, et par suite ceux des points d'aune telle courbe dont les cotes sont entières partagent sa projection en arcs dont les longueurs sont égales. Nous appellerons intervalle la longueur horizontale curviligne qui sépare deux points dont les hauteurs diffèrent de i™. La pente et l'intervalle sont réciproques (art. 266).

Tracer sur une surface topographique , à partir tVun point déterminé A [Jig- 4^>'5^ une courbe dont la tangente fasse un angle constant et donné avec le plan horizontal.

Si la courbe doit être inclinée à o"',22 de hauteur pour i™ de base, sa pente

sera -""' et l'intervalle constant aura une longueur de ou 4™. 54. Du point A

lOO ^ 2 2' ^ 1

comme centre, avec un rayon égal à 4". 54, on trace un arc de cercle qui coupe la courbe voisine au point B; puis, transportant le centre en ce point, on décrit un autre arc qui coupe la courbe suivante en D, et, continuant ainsi, on obtient la ligne AE qui satisfait aux conditions du problème. Les arcs AB, BC, CD, etc., sont un peu plus grands que leurs cordes, et par suite les intervalles sont tous plus grands que 4™. 54; ils ne sont pas d'ailleurs parfaitement égaux. On peut, pour avoir égard à celte circonstance, diminuer un peu les rayons, surtout dans les parties où la projection de la ligne présente une courbure assez grande.

Le problème que nous venons de résoudre est utile pour tracer sur un terrain escarpé un sentier d'une pente déterminée.

Si le cercle décrit de l'un des centres ne rencontrait pas la courbe suivante, la

CIlM'ITIiK 1. - TllKdlîIE GKNKIiVLK. iqj

zone comprise entre les deux lignes horizontales serait trop inclinée pour qu'on pût y tracer une ligne ayant la pente donnée.

En général, un cercle, tel t|ue celui qui a son centre en C, coupe la courbe voisine en deux points F et 1); il passe donc, par un point, deux courbes ayant la pente donnée. Si, dans le tracé d'un sentier, on se trouve conduit à s'éloigner du point auquel on désire arriver, on peut, à un point C, abandonner la ligne suivie pour prendre l'autre ligne ayant la même pente. On dit qu'un sentier a des/ace/j- <juand il est ainsi établi suivant une ligne brisée.

10G2. Tracer sur une surface topograpliique une ligne d'égale pente entre deux points donnés X et B{/ig. 434). — Ce problème ne peut être résolu que par tâtonnement.

La distance verticale des points A et B est 5""; on trouve que leur distance

horizontale est ii peu près 19™; la pente doit donc être peu éloignée de ^et l'intervalle de -^ • Nous essavons d'abord une lontiueur de 4™» et nous ob-

ten"ons la courbe AD, puis, prenant des intervalles égaux à 4'". 5, à 3™, 5, à 3™, nous traçons les courbes AG, AE et AF. Nous portons ensuite sur un axe ox des longueurs of, oe, od et og égales à 3™, à 3"", 5, à 4"" et à 4™, 5, et nous élevons des ordonnées^', ee', (/f/' et ^o-' égales aux longueurs + BF, -t-BE, — BD et — BG. La courbe qui passe par les points/', e\ d' et g' coupe l'axe en un point b dont l'abscisse est l'intervalle de la ligne d'égale pente cherchée. Si le tracé de la courbe qui a cet intervalle ne conduit pas exactement au point B, on déplacera un peu les points obtenus sur les dernières lignes de niveau, de manière à satisfViire à cette condition.

On pourrait disposer la courbe d'erreur de manière qu'elle se trouvât sur la ligure même, mais cela n'aurait aucun avantage.

Plans ta/igcnts.

1 063 . Construire un plan tangent à une surface topo graphique en un point donné.

Quand le point donné a est sur une courbe de niveau [Jig. 432), on obtient immédiatement une horizontale du plan, en traçant la tangente «T à cette ligne. Pour trouver une autre droite qui soit contenue dans le plan, nous construisons le rabattement b XG de la section faite dans la surface par le plan vertical Lag perpendiculaire à la droite aT. La tangente AL à cette courbe est, dans l'espace, une ligne de plus grande pente du plan tangent. On détermine sans difficulté l'échelle de pente de ce plan.

Si les segments «/"et ae étaient égaux, leur longueur commune serait l'intervalle de l'échelle P.

iqG LIVnE \. - SI RFACES TOPOGR M'IlIOl ES.

lOGi. Pour ofeadre la construction an cas où le |)oint donne a n'est pas sur une ligne de niveau, il suffit de construire la courbe intercalaire passant par ce point [fig. /jSq).

Quand on peut tracer par le point a une droite mn sensiblement normale aux courbes /?;/> et ne, la tangente à la courbe intercalaire est perpendiculaire à mn; on l'obtient donc sans avoir besoin de déterminer cette ligne.

On se dispense généralement de construire la section par un |dan vertical; on considère la ligne mn de la surface comme droite : le plan tangent contient alors les droites qui passent par les points m et n et qui sont parallèles à la tangente de la courbe intercalaire. Ces lignes ml et nt sont tangentes aux courbes nih et ne dans le cas où la droite mn les rencontre normalement.

10(jo. Lorsque l'on a déterminé l'intersection d'une surface par son plan tangent en un point, on peut construire les asymptotes de l'indicatrice de ce point comme tangentes à la courbe au point double.

Sur \'Ajig. 432, la section verticale iG tourne sa concavité vers le sol, la tangente AL est extérieure, et les parties du terrain qui sont coupées par le plan tangent sont indiquées par de petites hachures.

Si la surface était convexe, les horizontales du plan ne rencontreraient pas les courbes de niveau qui ont respectivement les mêmes cotes.

D'après les suppositions qui ont été faites à l'article précédent pour la détermination du plan P [fig. 439), ce plan est tangent tout le long de la ligne mn, et par suite il n'y a pas de raison pour que le point double de l'intersection soit en a plutôt qu'en un autre point de mn. Pour se conformer aux hypothèses, il faudrait réunir les branches de rinlerseclion en m et les séparer en n.

10G6. Mener un plan tangent à une surface par une droite donnée D

ijg.hy.).

Des points de division de la droite nous menons des tangentes aux courbes de niveau qui ont les mêmes cotes. Ces lignes sont des génératrices d'un conoide oblique qui a pour plan directeur le plan horizontal, dont la droite D est la directrice rectiligne, et qui est circonscrit à la surface. Si la tangente FN à la courbe de contact AK, en un point F, rencontre la directrice D, le plan tangent au point F contiendra cette droite et sera le plan cherché. Au contraire, lorsque la tangente à la courbe AK, en un point J, ne rencontre pas la droite D, cette ligne ne peut avoir, dans le plan tangent au point considéré J, que le pointy' où elle coupe la génératrice Jy.

Quand la directrice D et une tangente à la courbe AK sont dans un même plan, deux génératrices consécutives du conoide sont parallèles; or, il est facile de voir quelle est à peu près la position de ces lignes : les génératrices qui passent par les points A et B se rencontrent en projection vers la gauche, celles qui passent par les points K et J convergent vers la droite; il y a donc entre ces deux

r.ini'ITlUC I. - THÉORIE GÉm';UALE. If)-

couples luio droite FF, (jui rencontre de cotés différents celle qui la précède CC, et celle qui la suit KE,; cette droite est voisine des deux génératrices consécutives parallèles du conoide, et par suite le point F est approximativement celui où le plan cherciié touciie la surface. La droite FF, est une ligne de niveau de ce plan dont l'échelle de peule est P.

Si l'on veut déterminer la position du point de contact avec plus d'exactitude, on pourra intercaler des courbes de niveau, ou mieux tracer la tangente F.\ ii la courbe de contact au point F, construire la section du terrain par le plan vertical FN et lui mener une tangente du point N de la droite D. Nous n'avons pas fait cette construction, (|ui, en général, n'est pas nécessaire, eu égard à la nature des problèmes que l'on a à résoudre sur les surfaces topograpliicjues.

La génératrice FF,, parallèle à la génératrice infiniment voisine, est une arête du conoide (art. 638). Elle fait un angle maximum ou minimum avec la projection de la droite D (et avec toute autre droite du plan). On peut la déterminer en faisant glisser une équerre et comparant les positions des dillérentes génératrices réunies en couples consécutifs; on peut aussi tracer une parallèle LT à D. et chercher le point de division F, qui sépare deux segments E,F, et FG,, l'un plus grand, l'autre plus petit, que les intervalles de la droite D (').

On examinera la position du plan tangent par rapport à la surface, comme il a été dit plus haut fart. lOGii) : nous ne reviendrons pas sur cette question.

10(>7. Quand la droite D est peu inclinée, les points où elle rencontre les plans des différentes courbes horizontales sont presque tous hors de la feuille de dessin. Il serait d'ailleurs difficile de faire une réduction d'échelle, vu le grand nombre des courbes. Dans ce cas, on préfère prendre pour plan directeur du conoide un plan oblique à l'horizon : on fait dans la surface une série de sections par des plans parallèles à celui qui a été pris pour plan directeur, et l'on mène à chacune d'elles une tangente du point où son plan est percé par la directrice rectiligne. Nous allons donner un exemple de cette construction.

On trace une série de droites AB, CE, Fil, ... {fig. 43G) parallèles et é(]uidistantes, et on les considère comme les projections des horizontales d'un plan. Pour plus de commodité, on fait passer l'une d'elles par un point A de la droite donnée D, ayant pour cote un nombre entier iG; les autres sont cotées, à partir de celle-là, comme les courbes horizontales. On construit l'intersection mn de ce plan et de la surface, et on lui mi'ne du point A une tangente Aa qui est une génératrice du conoide. On transporte ensuite le plan sécant parallèlement à lui-même; pour cela, on augmente les cotes de toutes les horizontales AB, CE, —

{•) D'après des traililious conservées dans le corps du Génie mililaire. la conslrucliou cpic nous venons d'exposer esl due à Meusnicr. Ce géonièlrc, dont nous avons déjà parlé plusieurs l'ois, éuiit "énéral du Génie.

inS LIVRE X. — SLRr,\Ci:S TOPOGRM'IllQLES.

d'une quantité égale à réquidistance des plans des courbes horizontales, c'està-dire à l'unité, et on cherclie le point de rencontre a du nouveau plan avec la droite D (art. 27o); on détermine ensuite la section kl de la surface et on lui mène une tangente a[-j du point a.

En portant sur D des longueurs aa^, a^a,, . . . égales à Art, on a les points où la droite D de l'espace coupe le plan sécant lorsque l'on augmente successivement les cotes de ses horizontales d'une unité. Quand on a obtenu les génératrices du conoïde qui correspondent aux dillereiitos sections, on cherche celle de ces droites ([ui rencontre de côtés différents les deux entre lesquelles elle est comprise : son point de contact ,3 est celui oîi le plan cherché touche la surface. On détermine la cote du point p (art. lOoB), et l'on fait passer un plan par ce point et par la droite D. Pour cette dernière opération, on calcule les cotes des points a et /3, on cherche sur la droite a[-j la position du point | dont la cote est 17, et, le joignant au point I, qui a la même cote sur la droite D, on a une horizontale du plan.

Il est bon de tracer les droites AB, CE,FH, . . . perpendiculaires i) D ( ou à peu près}; alors, pour une inclinaison donnée des plans sécants, leur 'angle avec la droite D a sa valeur maxinuim, l'intervalle rtrt, est minimum, et on a de nombreux points de division dans le cadre du dessin.

Î0(>8. La construction expliquée dans l'article précédent est applicable lorsque la droite donnée D est horizontale, mais on peut alors opérer d'une ma nière plus simple fy?^. 4^7)-

Nous menons aux différentes courbes de niveau des tangentes parallèles à la droite D ; ces lignes appartiennent à un cylindre circonscrit à la surface, et on aura résolu le problème si l'on mène à ce cylindre un plan tangent par la droite D, parallèle aux génératrices. Nous prenons un plan vertical auxiliaire EY: la tangente menée du point E de la droite G à la trace du cylindre sur ce plan est dans le plan cherché. On aurait donc facilement le résultat en construisant la section du cylindre par le plan EY; mais une construction, qui appartient comme la précédente à la méthode de Meusnier, va nous permettre de déterminer sans cela une position approchée de la génératrice de contact.

Nous graduons la partie EX de la projection D, de manière qu'elle représente une ligne inclinée (luelconque passant par le point E de la droite donnée D dont nous connaissons la cote 58"', 5o; puis nous joignons par des droites les points où les tangentes rencontrent EY, avec ceux qui ont les mêmes cotes sur EX. Si AB est une arête du conoïde oblique formé dans l'espace par ces droites, la tangente à la directrice curviligne en B rencontrera la directrice rectiligne EX au point E delà droite D. Les considérations indiquées à l'article 1066 font voir que la droite AB, qui rencontre de côtés différents les génératrices voisines FG et HJ, estpeu éloignée de l'arête. La tangente BC est la génératrice de contact sur

CUM'lTIiK I. — THÉORIE GÉMinALK. ] r,C)

le cylindre : le pian cherclié contient cette horizontale et sa parallèle D; il est par conséquent facile de tracer et de graduer son échelle de pente P.

Pour déterminer la droite AB, on peut tracer une parallèle E.X, à EX, et chercher le point de division A, qui sépare deux segiiicuts A, F, et A, H,, l'un plus grand et l'autre plus petit que les intervalles de la droite EX.

{'o/ics et cAlindrcv circonscrits.

Î()G9. Déterniinerla courbe de contact et la trace hodzontale (V un cùne circonscrit à une surface donnée, connaissant le sommet S de ce cône {Jig'- 438).

Nous traçons par le point S une droite SD, et nous la considérons comme la projection d'une génératrice. Pour avoir le point où cette génératrice touche la surface, nous menons dans une direction arbitraire une seconde droite SB, nous la graduons de manière qu'elle représente une droite passant par le point S de l'espace; nous joignons par des droites respectivement ses points de division à ceux où la droite SD rencontre les horizontales ayant les mêmes cotes, et nous cherchons parmi ces lignes la droite MC qui fait un angle maximum ou minimum avec SD : la droite MC est une arête du conoïde horizontal dont les directrices sont la droite SB et la section de la surface par le plan vertical SD. Le plan tangent à cette surface gauche le long de l'aréte MC contrent les droites MC et BS. La droite qui passe par les points S et M s'y trouve tout entière; elle touche donc la surface au point M, et par suite ce point appartient à la courbe de contact cherchée.

Pour avoir la trace du cône sur un plan horizontal déterminé, celui (|ui est à la cote 3o, il suffit de mener par le point A, qui a cette cote sur la droite SB, une droite AN parallidc à CM : cette droite est l'horizontale passant par A du plan tangent en M; elle fait trouver le point cherché N.

La droite auxiliaire SB étant tracée et graduée, on déterminera ainsi le point de contact et la trace horizontale de chaque génératrice dont on se donnera la projection. On pourra obtenir ces points en faisant glisser l'équerre et sans tracer aucune ligne.

La trace du cône a des branches infinies lorsque la courbe de contact a des points à la, même hauteur que le sommet S. On détermine facilement ces points. A chacun d'eux le plan tangent à la surface topograpbiciue touche k\cône le long d'une génératrice horizontale, et son intersection avec le plan de la trace est l'asymptote d'une branche infinie de cette courbe.

Cylindre circonscrit. — La construction que nous venons d'expliquer est applicable an cas du cylindre circonscrit. La droite de parallélisme remplace la

200 LIVRE \. — Sir.l VCICS TOPOl U! VPIIKU KS.

(Iroile S15: on trace diverses droites parallèles à sa projeetion et l'on opère sur cliacune d'elles comme nous l'avons fait sur la droite SD.

1070. Quelquefois on n'a pas besoin de connaître la totalité de la ligne de contact du cime circonscrit, mais seulement l'endroit où elle coupe une zone donnée, par exemple celle qui est comprise entre les courbes horizontales dont les cotes sont 3i et 32 [fig. 438). Dans ce cas, après avoir établi comme précédemment les droites SB et SD, on tracera les génératrices du conoide situées dans les plans qui limitent la zone, c'est-à-dire les droites GE et HF. On donnera ensuite diverses positions à la projection liorizonlale SD, en la faisant tourner autour du point S, et l'on opérera delà même manière sur chacune d'elles. Si le sens de la convergence des. génératrices qui passent aux points G et H vient à changer, on sera assuré qu'elles sont parallèles [)Our une position intermédiaire de la ligne SD, et alors la droite EF, sensiblement tangente à la zone, passera par le point S de l'espace et sera une génératrice du cône circonscrit.

En général la méthode de Meusnier ne peut être avantageusement employée que quand les formes des courbes horizontales ne se modilient pas d'une manière brusque. Dans le cas contraire, pour déterminer les génératrices d'un cône circonscrit, il faut faire des sections par des plans verticaux contenant le sommet donné, et leur mener des tangentes de ce point.

Î07 3 . Exercice pour la délcrrninatioii (F un cône circonscrit. — Nous présentons sur la /'/. XL/ la courbe de contact et la courbe de section d'un cône circonscrit à une surface topographique. Le sommet S est à la cote i33"',Jo à i"',5o audessus du point culminant du sol.

En général, les courbes horizontales se succèdent avec une grande concoi'dance de formes, et par suite on peut employer la méthode de l'article 1009, (jui est très expéditive. Dans la partie voisine du point G,,, les formes des courbes sont assez dilférentes; il faut alors recourir à la mélbode des sections par des plans verticaux : les résultats qu'elle donne n'ont pas d'ailleurs une grande précision, en cet endroit, car les formes du terrain sont peu accusées.

Les considérations que nous avons présentées dans le IIl" Chapitre du Livre YIII, pour les arcs réels et les arcs virtuels des courbes de contact et de section, font comprendre comment les diverses parties de ces lignes se rencontrent et se succèdent.

La ligne Az/G/^w, G, /;, H est une courbe de contact: en lui menant des tangentes du point S, on détermine les points limites G et G, (art. 892) : l'arc G7?im,G, est seul utile. La courbe de section (jpp,q,^ passe aux points limites; elle y touche la courbe de contact et elle y est divisée comme celle-ci en arcs réels et en arcs virtuels. Nous retrouvons la même disposition aux points Go, G3 et Gi situés sur d'autres branches de la courbe de contact.

La ligne G;,C est un arc réel de la courbe d'intersection de la surface par le

• ciiAPiTiiE I. - TiŒORir-: gi;m:i!AI.i;. 201

cône circonscrit. Uiir partie réelle ed de la coiirlie de contact rencontre cet arc en C, et devient utile à ce point ([ui est analoiiue au point C de \ii/ig- 358. Ainsi, la tangente /«/est la projection d'une généi'atriee double du cône. Les mêmes circonstances se présentent au point C,.

Un spectateur placé au point S ne verrait pas les parties de terrain situées au delà des lignes qGG, R et (/,GSj,CdG,.

Lignes fie plus i^vandv pente.

1072. De toutes les courbes tracées sur une suri'ace et (jui se croisent à un point, la moins inclinée en ce point est celle dont la tangente est la ligne déplus grande pente du plan tangent, et qui par suite rencontre à angle droit la courbe de niveau. On a donc une ligne de plus grande pente d'une surface, en traçant une

ourbe qui, en cliaque point, rencontre normalement la ligne de niveau, c'està-dire une trajectoire orthogonale des courbes Jionzontales.

Il ne passe par uti point déterminé d'une surface qu'une seule ligne de plus grande pente, car on ne peut mener en un point qu'une normale à une courbe. Cette règle comporte plusieurs exceptions, comme nous allons le voir.

1073. Surfaces de révolution.— Quand la surface considérée est de révolution autour d'un axe vertical, les méridiens sont les lignes de plus grande pente. Ces courbes se coupent, en général, sur l'axe. Un point de renconiic doit être regardé comme un cercle borizontal évanouissant, et par suite tout plan contenant l'axe est normal à la ligne de niveau que représente ce point.

Suivant que l'axe coupe la méridienne normalement ou obliquement, la surface a un plan tangent uni([ue, ou en possède une infinité; mais la disposition des lignes de plus grande pente est toujours la même.

1074. Surfaces dont les courbes horizontales sont des ellipses honiothéliques avant leurs centres sur une même verticale. — Supposons que l'ellipse AD [fig. 4^7) soit la projection de la courbe de niveau sur laquelle se trouve le point de départ M; sur le plan borizontal la normale MT est tangente à la ligne de plus grande pente, et le point M, où elle coupe l'ellipse voisine A,D, appartient à cette ligne. Le point par lequel on peut considérer que la projection de la ligne de plus grande pente est décrite rencontre ainsi successivement toutes les ellipses de la série; il arrive donc à leur centre commun (). (iiic l'ou doit legarder comme étant leur limite.

La droite 31T rencontre le grand axe en un point T de l'abscisse OP; U' point M, est donc à une moindre distance du grand axe AD que le point N homologue de M. Nous voyons ainsi que le rayon vecteur CM Aiit des angles de plus en plus petits avec la droite CD lorsque le point mobile se rapproche du centre 0.