LIVRE \. - SURFACES TOPOGRAPHIQUES
A ce point la trajectoire est normale à l'ellipse infiniment petite, et par suite tangente à l'un de ses axes. Il résulte de là qu'une ligne de plus grande pente, de quelque point qu'elle parte, passe au centre commun des ellipses, tangentiellement à la droite des grands axes. Il faut excepter le cas où le point donné appartient à la droite des petits axes, car cette ligne est évidemment une trajectoire orthogonale des ellipses.
lO/ifl. Une ellipse quelconque de la série peut être représentée par l'équation
a-- ytr 0-
flans laquelle a et b sont des longueurs déterminées, et n un coefficient arbitraire. Ou obtient, en difîérentiaut,
il y b-j:
dx a^ y
L'équation di(îérentielle de la trajectoire orlliogonalc est donc
dy g- y
dx b''-x
Intégrant, et appelant ,ri et >•, les coordonnées du point de départ, on a
a"- loa- ^ b- los -^ ^ G.
Telle est réqualion de la projection de la ligne de plus grande pente; x et j- doivent toujours avoir respectivement les mêmes signes que x^ etj',; chaque ligne s'arrête d'une part au point 0, de l'autre à l'infini. Les courbes qui traduisent en Géométrie les fonctions logarithmiques présentent, en général, des singularités de ce genre. Nous avons déjà signalé cette circonstance dans une Note de l'article 83.
1074^. hsijig. 44 1 représente les projections de plusieurs lignes de pi us grande pente. Nous les avons obtenues en traçant un assez grand nombre des ellipses de la série, et construisant la normale ;i chacune d'elles au point où elle est rencontrée par la normale précédente. Nous avons d'ailleurs numériquement vérifié les coordonnées de quelques points ii l'aide de la formule donnée à l'article 1074r/.
1075. Si dans l'espace la directrice des ellipses est l'ellipse A, O'B', 0", dont un des axes est sur la verticale du point 0(y?^. 442), la surface est un ellipsoïde scalène, et les trajectoires sont parasites dans les parties situées au delà de l'ellipse A, B, qui forme le contour apparent [fig. 440" Qn^md la directrice est une hyperbole A'A"B'B"(y?^. 44^). avant pour axe non transverse la verticale du point 0, la surface est un hyperboloïde gauche et les trajectoires sont parasites dans les partîtes situées à l'intérieur de l'ellipse de gorge A^Bo [fig- 44 0'
CIIAPITHE I. - TIIIiORIE GÉNÉRALE. 2o3
On détermine Aicilement les projections verticales des lignes de plus lirande pente, en relevant de la projection horizontale les points où ces courbes rencontrent quelques ellipses.
1076. Surfaces dont les courbes horizontales sont des hyperboles homolhètiqaes ayant leurs centres sur une verticale. — Sur le plan horizontal , les droites OL et OP, asymptotes communes des hyperboles (//^g-. 444) forment un système géométrique qui appartient à la série de ces courbes. Si nous prenons sur l'asvmptote OL le point de départM, l'élément de la trajectoire sera dirigé sur la perpendiculaire GF, et l'on voit, d'après le sens de la courbure des hyperboles, que, d'un coté comme de l'autre, la trajectoire s'éloignera du point 0. Les axes sont les seules projections des lignes de plus grande pente qui passent à ce point.
A partir du point 31 situé sur l'asymptote OL, la trajectoire se rapproche constamment d'un côté de l'axe AB, de l'autre de l'axe OY; on reconnaît facilement, à l'aide de son équation, qu'elle a ces droites pour asymptotes.
t07(j«. Dans le cas qui nous occupe, «- est négatif. Si nous mettons son signe on évidence, l'équation que nous avons trouvée à l'article 1074rt deviendra
OC y^
a- loff i- b- los -=— =r o.
.1- et )' sont de mêmes signes que a; el r, : nous pouvons les supposer positifs.
Quand x est supérieur à jt,, j est inférieur à r,, et réciproquement. Si l'une des coordonnées croît indéfiniment, l'autre décroît indéfiniment : les deux axes sont donc asymptotes de la courhe. Chaque trajectoire se termine à l'iiifiiii sur chaque axe.
i077. Nous avons représenté sur les^^. 44^ et44*3 les projections verticales d'un hyperboloïde et d'un cône dont les sections horizontales sont les hyperboles dessinées sur lâjig. 444- " est facile de construire les projections verticales des lignes de plus grande pente d'après leurs projections horizontales. Ces courbes dans l'espace sont asymptotes de l'hyperbole principale A'B'A"B" pour l'hyperboloïde, et des génératrices A"B', B"A' pour le cône.
A chacun des sommets 0' et 0" de l'hyperboloide il passe deux lignes de plus grande pente, qui sont l'hyperbole principale A'B'A"B"et l'ellipse de gorge. Ces deux courbes divisent les autres lignes de plus grande pente en quatre groupes. Les lignes d'un même groupe sont asymptotes les unes des autres des deux côtés, et de celles d'un groupe voisin d'un côté seulement. La hauteur du sommet 0' est un maximum pour l'ellipse de gorge, et un minimum pour l'hyperbole A'B'.
Sur le cône les ligues de plus grande pente forment égaleujent quatre groupes qui sont séparés par les deux génératrices A'B' et B'A'.
S078. Indication des diverses dispositions que peuvent présenterles lignes de plus grande pente (lu. i- points où le plan tangent est horizontal.— Vn remplaçant la sur-'
2o4 LIVRE X. — SURFACES TOPOGRAPHIQUES.
face considérée par une surface du second ordre osculatrice en un de ses sommets, on reconnaît, pour chaque forme de l'indicatrice, comment les lignes de plus grande pente sont disposées aux points où le plan tangent est horizontal.
Si l'indicatrice est un cercle, la surface osculatrice est un ellipsoïde de révolution, et dans chaque azimut une ligne de pins grande pente arrive au point (art. 5075).
Si l'indicatrice est une ellipse, la surface osculatrice est un ellipsoïde scalène, et une infinité de lignes de plus grande pente arrivent au point; une d'elles est tangente à la section principale qui a le plus petit rayon de conrhure, et toutes les autres à celle qui a le plus grand rayon (art. 1075).
Si l'indicatrice est une hyperhole, deux lignes de plus grande pente se croisent an point; elles sont respectivement tangentes aux sections pi'incipales. La hauteur du point est un maximum sur l'une d'elles et un minimum sur l'autre (B077). On app(dle rois les points où le plan tangent est horizontal, et pour lesquels l'indicatrice est une hyperhole.
Quand l'iiulicatrice est composée de deux droites, la surface osculatrice est un cylindre, et l'on reconnaît facilement qu'une seule ligne de plus grande pente passe au point.
1079. Surfaces dont les courbes horizontales sont des ellipses identiques coupées suiiant an de leurs axes par un plan i-ertical.
Les projections horizontales des lignes de plus grande pente sont les trajectoires orthogonales d'une série d'ellipses identiques qui ont un de leurs axes sur une même droite VX {/iii'- 4'i9)- Si l'on prend pour point de départ un point 31 de l'une des ellipses I)D,, la tangente à la trajectoire sera dirigée sur la normale MT; en appidant 7 l'angle PTM qu'elle fait avec l'axe VX, a et b les longueurs des demi-axes des ellipses, et v l'ordonnée ^IP, on a
tangy
Il est facile de voir que le point mohile par lequel on peut supposer la trajectoire décrite se rapproche constamment de l'axe loi'sque, quittant sa position initiale, il s'avance vers la gauche; son ordonnée diminue donc indéliniment, et, en vertu de la formule que nous venons d'écrire, l'angle 7 diminue aussi, y et 7 sont nuls en même temps; mais alors le point mobile a une abscisse infinie, car la seule trajectoire qui passe par un point de l'axe à distance finie est l'axe luimême; la droite VX est donc asymptote de la courbe.
Si maintenant nous supposons que le point M se meuve vers la droite, son ordonnée y augmentera progressivement, et l'on voit par la formule que, quand il sera en un point 0 de la droite LO d(»nt l'ordonnée est b, 7 aura atteint la
IIIM'ITIIF, I. - TIIKOIUE GENERVT.F.. «iO^
valeur 90"; le centre de IN'Ilipso se trouvera alors en A. An delii du point O la trajectoire a un rebrousseinent ; car, en considérant relli|ise quand son centre occupe sur l'axe les deux positions voisines de A, en deçà et au delà de ce point, on reconnaît que les deux éléments qui aboutissent au point 0 ont des positions symétriques par rapport à la normale OA de l'ellipse. Kntin la courhea une seconde branche OS asymptote de VX, comme la première.
En prenant successivement pour points de départ les diirérents points de la droite OL, on obtient les diverses trajectoires (|ui sont évidemment identiques. De l'autre côté de l'axe on trouve de nouvelles trajectoires sn|)erposal)les ;iiix premières et placées symétriquement à elles.
I079rt. Ou [lout ropréscrilci' l'une i|MelcOHque des ellipses |):ir l'iMiiiMlidii
ç étant un coefficient aihitraire.
Ou obtient, par la (liiïérenlialion,
d.i- ' et, eu éliminant c,
dx a Y
L'ér|natiou (lilTérenlielle de la Irajectoire ortiiogonale est par conséquent
dy a Y
d-x ~ b\Jb--y'- ()n trouve, eu inlégranl,
jX^\Jb'-— y- -+- b\o
Nous n'ajoutons pas de constante, parce que, toutes les trajectoires étant identiques, ou peut considérer uniquement celle qui a son point de rebroussement sur l'axe des ordonnées, et pour laquelle par suite la valeur o de x correspond à la valeur // de y. Pour avoir la coin-be dans toute son étendue, il faut donner le donhie sifine au radical; mais l'on voit facilement quesonsigne détermine celui du second nieuibre de réqinUiou. sans avoir aucune inQuence sur sa grandeur absolue. On peut donc |ucndre le radical positivement, cl attribuer le double signe au premier membre (' 1.
1080. Quand le lieu des centres des ellipses dans l'espace esl une droite A' A', [fig. 448), la surface est un cylindre, et l'on oittient la lii^iie de plus i^^rande pente en prenant son intersection avec le cylindre vertical PMOXQ. La construc-
(1) M. Lofort, ingénieur des Ponts et Chaussées, a étudié une runrlic analogue à celle qui vient d nous occuper, dans un Mémoire sur les arches biaises (.-///««/<■>■ drt Pouls et Cliniissccs; i^Cig).
206 LIVRE X. — SURFACES TOPOGRAPHIQLES.
liim donne les deux courbes P'O'Q' et U'GO'ES'; mais il ne peut passer (lu'iiiieligne de plus grande pente par le point (0,0'). La forme delà courbe U'O'S' montre qu'elle n'est pas la projection d'une ligne de plus grande pente du cylindie, car sa tangente est paralUde à la ligne de terre en deux points E et G, el aucun des plans tangents à la surface n'est horizontal.
Pour ne laisser subsister aucun doute sur cette question, nous avons fait le développement du cylindre; la courbe P"0"Q", transformée de la ligne POQ, P'O'Q'), coupe à angle droit les sinusoïdes dans lesquelles se changent les sections horizontales; mais la courbe U"0"S", transformée de l'autre partie de l'intersection, rencontre les sinusoïdes sous toutes les inclinaisons. Les deux courbes se rejoignent d'ailleurs à l'infini avec les mêmes asymptotes.
Eu égard au sens de l'inclinaison de la tangente commune TR, la droite 00" ne coupe la ligne P"Q" qu'au point 0", tandis qu'elle rencontre la ligne U"S" en deux autres points. Ces courbes ont donc des formes essentiellement différentes, elpar suite la seconde ne peut pas être une trajectoire orthogonale d'une certaine série de sections parallèles du cylindre.
1080«. Nous conservons les notalioiis atloplécs à rarticle I0~9a, et nous appelons a l'angle C, O'A'j que les génératrices du cylindre font avec le plan liorizonlal. L'équation de cette surface est alors
(.-xtanga)^^j^^, ^ ' a^ tang-5t 0-
Nous avons trouvé que l'équation de la trajectoire POQ est
(2) ityx = v/6-— r--t- tlog- f
En éliminant r, on ohlient l'équation suivante de la projection verticale de l'inteisection des deux cvlindres :
a- . .^ . , ^ /(2SUla — (^COSa — J"Sina)
cosa — .r sina)
a- . ... /as\n% — (-
± vi; J" Sma =r ; COSot — Jc Sma -H CT smx lOi; 1 / -. j—
