X . 6a + p. . ca' + V = o

Plans principaux. Axes.

705. Actuellement nous allons étudier des surfaces qui ont une génération différente de celle par laquelle nous avons défini l'hyperboloide (art. 681), mais qui cependant, comme nous le reconnaîtrons, sont identiques soit avec une variété de cette surface, soit avec l'hyperboloide général lui-même.

Considérons d'abord la surface gauche qui a pour directrices les trois cercles (AB, A'B'), (CD, CD'), (EF, E'F') [fig. 3o6), situés dans des plans parallèles, et dont les centres sont sur une droite perpendiculaire à ces plans, que nous supposons horizontaux.

Les génératrices qui passent par le point (B, B') sont sur deux cônes dont ce point est le sommet, et qui ont respectivement pour directrices les cercles (CD, CD') et (EF, E'F'). La trace du premier cône sur le plan horizontal E'F' est un cercle dont il est facile de déterminer le centre (w, w') et le rayon w'c?'; ses intersections M et M, avec le cercle EF déterminent les génératrices (BNM, B'N'M'), (BN,M,, B'N'M'). Si ces droites tournent autour de l'axe, elles s'appuieront toujours sur les directrices, et l'on voit par la symétrie de la figure qu'elles décriront un même hyperboloide de révolution (art. 198). Le cercle de gorge sera décrit par les points (J, J') et (J,, J'), qui sont les plus rapprochés de l'axe.

Nous avons tracé en trait plein le cercle de gorge et l'hyperbole méridienne qui forment respectivement le contour apparent de la surface sur les deux plans de projection.

Une tangente quelconque P,P à la projection du cercle de gorge correspond à deux génératrices qui sont représentées sur le plan vertical par des droites P'Q'R' etP'.Q'.R',.

70(j. Si la projection verticale du second cercle avait été telle que C'aD'^, entièrement en dehors du contour apparent du cône qui a pour directrice le troisième