CHAPITRE IV. — HYrERBOLOIUE

Eiilin, considérant la projection Gp de la génératrice et ayant égard aux proportionnalités qui existent sur le plan HGI, on obtient

p" />' Ci fji\ H^', J p'

p" p Gp Mn Jn'

Les deux constantes K et K' sont donc égales.

Quand leur valeur est l'unité, toutes les génératrices d'un même système divisent les côtés opposés du quadrilatère en parties proportionnelles, et la surface est un paraboloïde (art. 610).

702. Dans la division homographique, on prend quelquefois, pour origines des segments, des points 6 et c {Jîg. 3o4) autres que ceux qui correspondent respectivement aux points situés à l'infini. Alors l'équation que nous avons trouvée à l'article GDo devient

(i) {ba — bl)(ca' — ci) = C

ou

ba.ca' — ci .ba — bl.ca' -h b] .ci — C =^ o,

que l'on peut écrire

( 2 ) ba.ca' -h l.ba + iJ..ca' -\- V =^ o, en posant

(3) >. =^cJ, u. = -61, v = èI.cJ-C;

les quantités )., /x et v sont indépendantes de la position des points considérés a et a'.

Il résulte de l'équation (2) que, quand deux droites sont divisées homographiquement, il existe entre les segments compris entre deux points homologues quelconques et deux points fixes pris arbitrairement sur ces droites une relation dans laquelle chacun des segments n'entre qu'au premier degré'.

705. Réciproquement, deux droites sont divisées homo graphiquement quand il existe entre les segments compris entre deux points homologues quelconques et deux points fixes pris arbitrairement sur ces droites une relation dans laquelle chacun de ces segments n'entre qu'au premier degré, car cette équation est nécessairement de la forme (2), et, en transportant les origines aux points I et J déterminés par les deux premières équations (3), on trouve l'équation (i), qui exprime la propriété par laquelle nous avons défini la division homographique.

Il résulte de ce qui précède que, toutes les fois qu'en traitant une question régie par de simples équations algébriques on sera conduit à considérer deux séries de points en ligne droite qui se correspondent réciproquement un à un, on sera assuré II. 24

l86 LIVRE VII. — SURFACES GAUCHES.

qu'elles sont homo graphiques, car l'équation qui les exprime devra être de la forme (2).

704. Nous avons vu (art. 69i) que chacun des points I et J des droites A et A' est homologue du point situé à l'infini sur l'autre droite. Si les points de ces deux lignes situés à l'infini sont homologues, c'est-à-dire si les origines I et J sont à l'infini, le point de concours Q sera également à l'infini, les droites passant par les points homologues seront parallèles et la division sera proportionnelle. La division proportionnelle est donc un cas particulier de la division homo graphique.

Il est facile de voir que l'équation aux segments se présente alors sous la forme