CHAPITRE IV. — IIYPEliDOLOIDi:. I QD

En déterniinant les points analogues à {e,e') sur un grand nombre de génératrices, on pourrait tracer la courbe lieu des points auxquels le plan tangent a une obliquité de 45°.

L'hyperboloidc n'ayant ni sommets ni arêtes, les génératrices d'un même système ont nécessairement des paramètres de même signe. 11 est d'ailleurs évident, à la seule inspection d'un dessin de la surface, que les signes sont différents dans les deux systèmes. Cette remarque s'étend naturellement au paraboloide. La génératrice (PQ, P'Q') appartient au système négatif.

722. Les constructions de l'article 719 peuvent être faites dès que l'on connaît les projections de trois génératrices A, A', A" d'un même système sur deux plans coordonnés quelconcjues. On commence par déterminer un parallélépipède circonscrit à l'hyperboloide et dont les droites A, A', A" sont trois arêtes (art. 682); on construit ensuite deux génératrices parallèles A'" et B", le plan qui les contient et le plan central de A'" qui est perpendiculaire à celui-là; on clierche les points de rencontre du plan central de A" avec deux des génératrices A, A' et A" : la droite passant par ces points est une génératrice du système B et coupe A'" à son point central. On peut donc déterminer les projections de la ligne de striction, et ensuite par ses points doubles obtenir la position des axes. M. Chasles a indiqué cette méthode pour construire les axes d'un hyperboloule dont on connaît trois génératrices; elle conduirait à des tracés longs et peu exacts dans la pratique T).

Représentation d'an hyperboloïde rapporté à ses plans vrincioaux {fîg- 3io).

725. On donne les trois axes d'un hyperboloïde; celui qui n est pas transverse est perpendiculaire auplan horizontal, et l'un des deux autres est parallèle au plan vertical : on demande de représenter par ses contours apparents et par un certain nombre de génératrices d'un même système la partie de la surface comprise entre deux plans parallèles à celui de l'ellipse de gorge et également éloignés de ce plan.

Les axes sont [ab, a'b'), [cd, 0')et(0, ef). L'hyperboloide est limité aux plans horizontaux A'B' et A"B".

Les contours apparents sur les deux plans de projection sont l'ellipse de gorge et l'hyperbole principale qui a pour axes a'b' et ef. Nous pourrions tracer immé-

{') Ce problème, admettant trois solutions, exige l'emploi d'une ou de plusieurs courbes. On peut le ramener au problème analogue pour le cône, car les axes de l'iiyperboloïde et ceux de son cône directeur sont parallèles. On aiipliquerait d'ailleurs au ccne l'une des constructions que M. Chasles a indiquées à la page 82 de ['^l'penii liutorique.

xq(3 LIVRE VII. — SUHFACES GAUCHES.

(liatcment ces courbes; mais il est préférable de les déterminer comme enveloppes des projections des génératrices.

Les asymptotes O'p' et O'r, de l'hyperbole sont des génératrices du cône asymptote (art. 713); leurs traces n et p appartiennent à la trace de ce cône et suffisent à la déterminer, car elle est homotliétique et concentrique avec la projection de l'ellipse de gorge.

Le plan [np', p'O'), tangent au cône asymptote le long de la génératrice (Ot:, O'p'), contient les génératrices de l'hyperboloïde parallèles à cette droite; leurs projections horizontales dp et cp, sont d'ailleurs faciles à tracer, car elles passent par les points d etc; nous pouvons donc déterminer les points/? etp, où elles percent le plan horizontal. Nous obtenons de la même manière les traces r et r, des génératrices parallèles à l'asymptote {Op, O'r',). La trace de la surface est une ellipse passant par ces quatre points, homothétique et concentrique à la projection de l'ellipse de gorge; sa trace sur le plan horizontal supérieur est une ellipse identique à la précédente et qui se superpose à cette courbe en projection horizontale.

Pour mettre de la symétrie dans la position des génératrices représentées, nous allons d'abord les considérer sur un hyperboloïde de révolution résultant d'une déformation homologique de notre hyperboloïde scalène (art. 707, 708).

Nous traçons un cercle sur le grand axe AB comme diamètre, et nous y rapportons en P et en R les points/) etr. traces sur les plans horizontaux A'B' et A"B" d'une génératrice parallèle au plan vertical. Nous faisons sur ce cercle deux divisions en trente-deux parties, prenant successivement pour origine les points P et R; nous ramenons les points de division sur l'ellipse, nous relevons les uns sur A'B' et les autres sur A"B"; enfin nous joignons deux à deux ceux qui sont désignés par la même cote {*).

724. Le plan projetant d'une génératrice est tangent au point où cette droite rencontre le contour apparent et contient la génératrice de l'autre système qui passe par ce point. Il suit de là que toute droite projection d'une génératrice est nécessairement la projection d'une autre génératrice. Ainsi la droite mn correspond en réalité à deux projections verticales m'n' et m\n\; mais la génératrice {mn, rf^^n'^) appartient au système que nous n'avons pas représenté, et les droites mn et m^ n\ , considérées comme ses projections, devraient avoir des ponctuations inverses de celles que nous leur avons données, c'est-à-dire que les traits pleins devraient être remplacés par des lignes en points ronds, et réciproquement.

) Les cotes de la division dont l'origine est au point p se rapportent à la trace de la surface sur le plan A'B'; elles sont dans l'intérieur de l'ellipse AB. Celles de l'autre division sont en dehors de cette courbe. Nous avons négligé les cotes dans quelques endroits où leur inscription eût pu rendre la figure confuse.

ClIAPlTRi; IV. — HYPEI'.BOLOIDE. I97

On voit d'après cela que les droites que nous avons construites sur la figure comme projections de génératrices d'un système représenteront des génératrices de l'autre système si on leur suppose une ponctuation inverse, et qu'on peut ainsi considérer l'un quelconque des deux systèmes séparément ou tous les deux ensemble.

D'après nos conventions (art. G23), le paramètre k est négatif pour les génératrices du système représenté et positif pour les génératrices du système qui correspond à une ponctuation inverse.

72a. Sur le plan horizontal, un point de croisement tel que a est la projection d'un point réel de rencontre dont la projection verticale est à un autre point de croisement a'. Tous les sommets des quadrilatères des réseaux des deux projections se correspondent ainsi sur des perpendiculaires à la ligne de terre. Si nous considérons les points a, /3, 7, ..., nous remarquerons que les génératrices qui s'y coupent interceptent sur l'ellipse AB des ares qui, ramenés sur le cercle, ont des amplitudes égales. Il suit de là que les points qui, sur l'hyperljoloïde de révolution, correspondent à («, a'), (jS, [;'), ... sont les diverses positions du point de rencontre de deux génératrices de systèmes différents qui se meuvent d'un même mouvement, et par conséquent appartiennent à un parallèle. Donc ces points eux-mêmes sont sur une section de l'hyperboloïde scalène avec un plan horizontal.

On trouve par des raisonnements analogues que les points X, a, v, ... sont en ligne droite, et par suite que les points X', [j!, v', ... qui leur correspondent appartiennent à une hyperbole projection verticale de la section de la surface par un plan contenant l'axe non transverse. Les génératrices du cône asymptote contenues dans ce plau sont les asymptotes de l'hyperbole (art. 713).

Nous avons tracé sur le plan vertical la ligne de striction du système re|)résenté; elle est trop rapprochée de l'ellipse de gorge pour qu'il soit possible de l'indiquer d'une manière distincte sur le plan horizontal. En snpposant à sa projection verticale une ponctuation inverse, on obtient la ligne de striction du système positif.

726. Les constructions seraient un peu simplifiées s'il y avait coïncidence entre les points des deux divisions du cercle auxiliaire; par conséquent, si dans un exercice graphique on se propose, non de représenter un hyperboloïde déterminé, limité à deux plans donnés, mais de faire des tracés d'où résulte une représentation bien symétrique d'un hyperboloïde quelconque, on pourra prendre l'ellipse trace horizontale pour une de celles sur lesquelles doivent se placer des

points de croisement tels que a, j3, 7 On établira à l'aide du demi-cercle AB

une division symétrique par rapport aux axes; on tracera la projection horizontale d'une première génératrice en joignant deux des points arbitrairement choisis; la position des autres droite^ se trouvera déterminée, et leur enveloppe