LIVRE VII. — SURFACES GAUCHES

donnera l'ellipse de gorge. On placera ensuite sans difficulté les projections verticales des génératrices.

T/iéorèmcs et exercices sur l' hyper buluide de révolutiun.

727. Le cercle de gorge d'un hyperboloïde de révolution est la ligne de striction dans les deux systèmes, car le plan qui touche la surface au point (e, e'), où une génératrice {ae,a'e"j rencontre ce cercle [Jig- Sia), est perpendiculaire au rayon (Oe, e'), et par conséquent au plan mené par le centre et la génératrice, qui est tangent à l'infini.

Si nous déterminons l'obliquité du plan tangent en un point situé sur une génératrice à une distance connue du point central, nous en déduirons facilement le paramètre k qui convient à cette droite et à toutes les autres génératrices, car elles sont évidemment dans des positions relatives identiques.

Considérons la génératrice [ae, a'e') parallèle au plan vertical {fig. 3i2) : la trace horizontale du plan tangent au point (a, a') est la droite aG, tangente au cercle qui forme la trace de la surface; le plan central de la génératrice est vertical. Si nous coupons ces deux plans par un troisième (GO', O'V) perpendiculaire à la génératrice, les intersections comprendront un angle égal à celui des

plans ; sa tangente trigonométriquc sera d'ailleurs égale à ttt^- Nous aurons donc

n e eG

Mais, en appelant r le rayon du cercle de gorge et a l'angle e'a'O', nous avons

, , ae ^ ae ^ , .

a e — , eu = — ? o y = aesina.

cosa /•

L'équation ci-dessus donne, lorsqu'on y porte ces valeurs,

k = rtanga.

Le produit rtanga est égal à l'ordonnée F'j ou au demi-axe e'I; nous voyons donc que dans un hjperboloïde de révolution le paramètre de distribution des plans tangents de toutes les génératrices est égal à la moitié de la longueur réelle de l'axe de révolution, considéré comme axe non transverse de la surface.

On arrive facilement au même résultat en faisant passer par la génératrice considérée un plan incliné à 4>'>" sur le plan central et déterminant la distance de son point de contact au point central.