CHAPITRE V. — SUnFACt'S QUI n'ont pas de plan DlIiECTEUP.. aOQ

peuvent être considérées comme formnnt un groupe caractérisé par la grandeur absolue de l'angle «'O'D'.

7ol. Sommets. Le plan horizontal contient les deux génératrices (AC, A'C), (BD,B'D')(^«'. 317), qui forment un groupe simple. Lorsque la première passe à la position voisine, elle décrit un élément plan, en glissant sur les tangentes verticales des directrices circulaires aux points (A, A') et (C,C'), et en tournant autour du point (I, 0') de la directrice droite. Ce point est donc un sommet; il en est de même du point (J, 0'), situé sur la génératrice (BD, B'D').

A chaque sommet, le plan de rcbroussement est déterminé par la génératrice et la directrice (IJ,0') (art. 739) : c'est le plan horizontal de projection. Aux autres points des génératrices horizontales AC et BD, le plan tangent est vertical.

Le segment lOJ de la directrice rectiligne est parasite {fig. 317); mais on reconnaît facilement que, lorsque les projections verticales des directrices circulaires ne se rencontrent pas (Jïg. 3i8), le segment parasite de la directrice rectiligne est celui qui s'étend du point I au point J en passant par l'infini, tandis que le segment lOJ est double sur la surface.

752. Arêtes. Lorsque la trace verticale du plan auxiliaire est tangente aux projections des directrices circulaires, les deux génératrices parallèles (Mm, M'm') et (Nn, N'n') (Jig. 3i8) se confondent en une seule {pq,p'q'), qui est par conséquent une arête; la génératrice symétrique [pq,p\q\) est également une arête. On voit, en effet, que ces deux droites forment le contour apparent de la surface sur le plan vertical, et par conséquent qu'un même plan perpendiculaire au plan vertical est tangent à la surface tout le long de chacune d'elles.

Les points /> et q sont à égales distances des points 0, et 0.; il en résulte que la projection horizontale /;<7 passe par le centre 0 de la surface et que les arêtes se croisent en ce point.

Les arêtes forment un groupe simple qui correspond à la valeur maximum de l'angle //O'D'.

Dans la disposition adoptée sur la /^. 317, aucune génératrice ne passe par le centre, etla surface n'a pas d'arêtes. Le plan vertical (0,0o,P, P) contient deux génératrices qui forment un groupe simple.

Si les projections verticales des directrices circulaires étaient tangentes l'une à l'autre, la surface se décomposerait en deux cônes; elle se réduirait à un cylindre si ces projections se confondaient.

735. Relations clhomologie. Les directrices circulaires sont, sur la projection verticale, deux figures homologiques dans lesquelles les points 31' et m' situés sur une même génératrice se correspondent [fig. 317 ou 3i8). Le point 0' est le centre, etla droite O's Taxe d'iiomologie.

Pour démontrer cette proposition, on peut considérer un cône dont le sommet S se projetterait en O'f/^. 320a) et qui aurait pour directrice lecerde (A'B', A"B"). II. 27