IO LIVRE VII. — SURFACES GAUCHES

On trouve que le second cercle CD' est la projection d'une section faite par un plan C"D" contenant la droite (PP,, 0"), ce qui, d'après les définitions que nous avons données (art. 401 ), suffit pour établir les relations d'homologie.

11 résulte de là que les tangentes des directrices circulaires h deux points homologues 31' et N' [fîg. 319) se rencontrent en un point U de la droite O's.

754. Cùne directeur. Nous menons par le point {0,0') {Jig. 3i8) une droite {0[j., 0'[j.') parallèle aux génératrices {Mm, M' m') et (N«,N'rt'): la trace p.' de cette droite sur le plan vertical CD se trouve à égales distances des points m' etn' (art. 750), et par suite au pied de la perpendiculaire qui serait abaissée du centre F du cercle CD'. Le lieu des points p.', trace du cône directeur placé de manière à avoir son sommet au centre (0, 0'), est doncle cercle décrit sur O'F comme diamètre. Sa trace sur le plan XY de la première directrice {/ig. 3 19) est le cercle EO'C).

La surface n'a pas de génératrices parallèles aux génératrices du cône directeur qui ont leur trace sur l'arc q'O'q', {fig. 3i8). Le cône a donc une partie parasite quand les projections verticales des directrices circtflaires ne se coupent pas. Les génératrices (0^, 0'/) et {Oq, 0'q\), qui limitent la partie utile, sont parallèles aux arêtes de la surface (-).

755. Nous nous proposons de construire le plan tangent de la surface en un point {m, m') situé sur une génératrice (MLN, M'O'N') [fig. 319).

Nous remplaçons les deux cercles par leurs tangentes (X, Y,, UM'), (XY, UN'), et, conservant la directrice rectiligne, nous avons un hyperboloide de raccorde-

(') Quand une surface gauche est algébrique et de degré n, son cône directeur est également algébrique et d'un degré qui s'élève au plus à //, car on peut le considérer comme ayant pour directrice la section de la surface par un plan situé à l'infini, et cette courbe ne peut pas être d'un degré supérieur à n.

Si les génératrices de la surface sont parallèles deux à deux, trois à trois..., son cône directeur

sera double, triple. . . , et d'un degré égal, au plus, à - «, -«,.... On peut quelquefois, par des considérations de cette nature, reconnaître qu'une surface d'un ordre élevé a un cône directeur du second degré, ce qui est d'un grand intérêt pour les constructions.

On est encore assuré qu'une surface gauche a un cône directeur du second degré quand elle est coupée suivant des coniques par une série de plans parallèles, ou plus généralement par une série de plans disposés do telle manière que l'un d'eux soit à l'infini. Dans ce cas, le cône directeur est simple.

Le cône directeur de la surface du biais passé est double et du second ordre; il en résulte que la surface est du quatrième ordre. Cette proposition sera démontrée directement à l'article 770.

(^) Si l'on transporte parallèlement à elles-mêmes toutes les génératrices du conoïde représenté sur la Jlg. 29g, de manière à les faire passer par un même point, le lieu de ces droites sera une surface plane limitée aux parallèles des arêtes. On doit donc regarder le cône directeur de cette surface comme ayant des parties parasites, ainsi que celui du biais passé. Cette circonstance se présente toutes les fois que le cône est double; lorsqu'il est simple, il a des rebroussements le long des génératrices parallèles aux arêtes. Nous supposons que les directrices de la surface gauche n'ont ni inflexions ni rebroussements.