CHAPITRE V. — SURFACES QUI n'oNT PAS DE PLAN DIRECTEUR

ment (art. 759) ( '). Le plan horizontal contenant l'axe (LO, 0'), qui est une directrice de l'iiyperholoïde, coupe cette surface suivant une autre droite que l'on obtient en joignant les traces a et b des deux tangentes UM' et UN'.

Une génératrice est parallèle à l'axe de la surface (art. G85) et, coninie elle, perpendiculaire au plan vertical. Les projections sur ce plan des génératrices du second système divergent de sa trace, et, comme nous connaissons deux d'entre elles, M'U, N'U, nous avons immédiatement le point de concours U et nous pouvons tracer la projection U/n' de la génératrice du second système qui passe au point considéré, puis obtenir sa trace horizontale q sur ab.

La trace du plan tangent est déterminée par les traces L et q des deux génératrices qui se croisent au point [m, m').

Le point de rencontre U est sur l'axe d'homologie 0 = . Les longueurs UM', UN' sont égales, car les cercles ont des positions symétriques par rapport à la droite O's, et par suite les deux tangentes menées du point U à l'un d'eux sont égales aux deux tangentes menées de ce point à l'autre.

733 a. Ou peut employer comme surface auxiliaire de raccordement le paraboloide qui a pour directrices les tangentes ^l'R' et N'K', et pour plan directeur le plan tangent au cône directeur le long de la génératrice fj.'0'v', puis opérer comme il est indiqué à l'article 746.

Les traces du plan directeur sur les plans verticaux X, Y, et XY sont les droites p.'D' et v'G', tangentes aux traces du cône. Les directrices M'R' et N'K' du paraboloide rencontrent respectivement ces lignes en R' et en K'; la droite (RK, R'K') est donc l'intersection du paraboloide par le plan directeur, c'est-à-dire une génératrice du même système que MN (la génératrice G' de \»Jig. 39.5).

Le deuxième plan directeur est parallèle aux plans verticaux de projection; la seconde génératrice qui passe par le point {m, m) a donc pour projection horizontale la droite mP, parallèle à XY : nous relevons en P' sur R'K' le point P, où elle rencontre la génératrice RK. Le plan tangent est déterminé par les deux génératrices (^IN, IM'N') et [Vp, P'/?'); ses traces verticales sont les droites ^V r et N'A', parallèles a Vp'; sa trace horizontale estpL^.

Les trois points (r, r"), (P,P') et [k,k') appartiennent au plan langent de la surface en {m, m') et au plan tangent du cône directeur le long de la génératrice p.'v'; ils doivent donc être sur une droite parallèle à (MN, M'N'). La trace horizontale (' de cette droite est l'intersection des traces jdLs et DOG des deux plans.

736. On détermine le point où un plan qui contient une génératrice touche la

(') Dans la première édition, nous avions seulnment indiqué cette solution. Nous la développons telle qu'elle a été exposée par M. Mannlieim dans son Cours à l'École Polytechnique. L'emploi d'un point de concours lui donne une grande analogie avec la construction de l'artic-le Cto.

212 LIVUE VII. — SUliFACfiS GAUCHES.

surface par les constructions de l'un des deux articles précédents faites en ordre inverse. En employant un paraboloïde, on peut résoudre le problème par des tracés faits seulement sur le plan vertical.

La génératrice M'N' et les traces M'r' et N's' du plan étant connues (Jig. Sig), nous déterminons les tangentes des traces du cône directeur aux points (x' et v', les tangentes des directrices circulaires aux points M' et N', et les projections R'K' et r' k' des intersections du paraboloïde et du plan donné avec le plan tangent au cône; nous menons ensuite parle point de rencontre P' de ces droites une parallèle aux traces iMV et Ws' du plan : cette ligne passe par le point cherché m'.

757. Le second plan directeur du paraboloïde est vertical, et par suite les projections horizontales de toutes les génératrices du premier système passent par un même point. Comme d'ailleurs nous savons que les lignes MN et RK sont deux de ces droites, nous connaissons le point de concours H. Une génératrice du paraboloïde de raccordement se projette en H; le plan tangent au point (H, H') est par conséquent vertical, et ce point appartient au contour apparent de la surface par rapport au plan horizontal. Nous pourrions ainsi déterminer cette courbe par points, mais nous allons construire sa projection horizontale plus facilement, en la considérant comme enveloppe des projections des génératrices.

758. Contour apparent de la surface sur le plan horizontal. Nous plaçons l'origine au centre 0 de la surface [jig. 32o)-, nous prenons pour axes la directrice rectiligne Oy et sa perpendiculaire Ox.

Nous appelons

7- le rayon des directrices circulaires (AB, A'B') et (CD, CD'); a et è l'abscisse O2F et l'ordonnée OOo du centre (F, F') de l'une d'elles; w l'angle M' OF' compris entre la projection verticale d'une génératrice (NM, N'M') et la ligne de terre E' F'.

Nous représentons de plus par 1 la longueur du segment M';:x de la droite N'M' compris entre les cercles CD' et O'F' :

(i) ). = \>- — a-sin* w.

L'équation de la droite MN, projection horizontale de la génératrice considérée, est

^ = nô:^i(--o^^ï)-

Mais nous avons

N'O' = O'v + vN' = a costo -^ X, O'M' = O'p. — u.M' ~ acosw — >., NO, = a cos- u -1- X cos 00, OoM = a cos" w — Xcos w.