CHAPITRE I. — O.MBRIiS SLIl LES FIGUr.E.S GÉOMÉTRALES

léte et par une coupe horizontale que l'on peut supposer faite a la hauteur du plan de naissance A'B' de la voûte sphérique. La droite (R, R') donne la direction des rayons de lumière.

L'omhrc portée par l'arête (A, A', A') est l'horizontale (A«, A', a',], et la génératrice (a, «',«') du cylindre de la niche jusqu'au point où elle rencontre le rayon de lumière qui passe à l'extrémité A' de l'arête.

On ohtient facilement l'ombre [k, h') portée par un point (K, K'j de la courbe de tête, sur le même cylindre, en cherchant l'intersection de cette surface avec le rayon (KÂ-, K'^'j.

L'arc a'k' e' appartient à l'intersection du cylindre vertical de la niche avec le cylindre d'ombre qui a pour directrice le cercle A'E'B'. Les plans limites (art. 227) sont les plans (Aa, A'^A'j et (B6, B', B'), qui sont parallèles aux rayons de lumière, et dont les traces verticales louchent la directrice du cylindre d'ombre aux points A' et B'. 11 y a pénétration : l'une des courbes se projette horizontalement sur l'arc aB, l'autre ^ur l'arc \b. Nous avons négligé la dernière, mais la première a été représentée même dans ses parties non utiles. Nous verrons plus loin comment on détermine sur la droite A'B' la position précise de l'extrémité e de l'arc utile.

357. La tangente en un point A' est l'intersection des plans tangents aux deux cylindres. Les traces du plan tangent au cylindre de la niche sont la droite /(/sur le plan horizontal, et la verticale//' sur le plan K,/ parallèle au plan de tête. La trace du plan tangent au cylindre d'ombre, sur le même plan, est la droite K',/' parallèle à K'y. La tangente est donc t' k'.

Les droites kt et K, / se rencontrant très-obliquement, il est convenable de tracer d'abord la verticale //' dans une position arbitraire, et de mener ensuite, par son point de rencontre / avec la tangente ki, une droite /K, parallèle à BA.

On peut faire les constructions sur le plan horizontal : en le supposant à la hauteur du plan de naissance, il est rencontré par la tangente K'/' de la directrice A'K' B' au point/, et par le rayon de lumière {Kk, K'A-') au point a; la trace du plan tangent au cylindre d'ombre le long de la génératrice K'^-' est iloncfu; cette ligne coupe la trace du plan tangent au cylindre de la niche en un point i qui, relevé sur A'B', donne un point i' de la tangente t' k'.

Le plan d'ombre de l'arête A', A' est tangent au cylindre d'ombre de la courbe de léte le long de la génératrice X' a! , et par suite les lignes d'ombre sur le cylindre de la niche se raccordent au point a' .

358. L'arc e'G est l'intersection du cylindre d'ombre avec la sphère. On le détermine en coupant les surfaces par des plans pei'pendiculaircs au plan de tête et parallèles aux rayons. Pour que la construction soit facile, il faut prendre un plan de projection parallèle aux plans sécants, de manière que les cercles d'in-

lO LIVItE V. — OMnRKS LIMCAIllES.

tei'st'Ction sur la spliiTC se projcllcnt on viaio grandeur. La trace de ce plan avec le plan de têlc est une droite X" Y" parallèle à R'.

Le plan sécant qui passe par le centre (C, ('/) a pour trace verlicale la droite M'C parallèle à W : il coupe la sphère suivant un cercle dont nous traçons sans difficulté la projection WM'\ sur le nouveau plan, et le cylindre suivant le rayon de lumière (Me, M'C) dont on détermine la projection M"c', on remarquant que le point c", sur lequel se projette le point (c, C), doit être a une dislance de C" égale à Ce (art. li\)). Le rayon M"c" coupe le cercle M"3r, en un point [j." que nous ramenons en p..

Les sections de la sphère et du i ylindre d'onihre par le plan auxiliaire ((ui a pour trace verticale la droite ]\'«' parallèle à M'C sont, en projection, le cercle décrit du point C" comme centre avec K'C pour rayon, et la droite S" n" parallèle à M"|!Ji". Le point de rencontre n" est ramené en n'.

Les origines M" et N" des arcs concentriques M"/j." et N"/i" se trouvent sur un même rayon, et leurs cordes sont parallèles; ces arcs sont donc égaux en degrés, et par suite les points C, n" et p." sont en ligne droite. Il en résulte que la projection de la courhe d'omhre est une droite passant par le point C; la courhe elle-même est un grand cercle situé dans un plan perpendiculaire aux plans auxiliaires, et sa projection verticale, une ellipse dont le grand axe est égal au diamètre de la sphère. La construction montre que cet axe est le diamètre PG situé dans le plan de tète et perpendiculaire à R'; le petit axe est p.C/^.,.

Les deux surfaces sont du second degré, et se coupent suivant le cercle (AB, A'M'B'); on pouvait donc prévoir que leur intersection complète comprendrait une seconde courhe plane (art. 2a2, i°^.

En coupant la sphère et le cylindre d'omhre par des plans parallèles au plan de tête, on déterminerait la courbe e'G aussi facilement que par la construction que nous venons d'expliquer. Nous nous contentons d'indiquer cette méthode.

559. Le point e' du cercle de naissance, où se joignent les arcs utiles des deux courbes, est sur l'intersection (A'B', C'/x") du plan de naissance et du plan de la courbe d'ombre. Si nous considérons un point {r',r") de l'intersection de ces plans, nou.s déterminerons sa position sur le plan horizontal en prenant le segment Rr égal à R"/-", et nous pourrons tracer la droite d'intersection Cr; elle rencontre le cercle en un point e qui fait trouver e'.

Les deux courbes ont au point e' une tangente commune, parce que le cylindre de la niche est circonscrit à la sphère le long du cercle de naissance. On construit cette tangente en considérant le point e' comme appartenant, soit à la ligne d'ombre de la sphère, soit à celle du cylindre, soit à une ellipse dont on connaît les axes. Nous avons employé le premier procédé; les traces sur le plan de tête du plan tangent au cylindre d'ombre, et du plan de la courbe sont E'e et PG : leur point de rencontre e appartient à la tangente cherchée.

CHAPlïlïK I. — OMnRKS SUi'. LKS FIGURES GKOMÉTP.ALES. I I

540. Nous n'avons pas tracé la projection horizontale de la courbe d'ombre portée sur la sphère, parce qu'elle présente peu d'intérêt; mais il serait trèsfacile de déterminer cette ellipse : son centre est en C; la droite Ce est la moitié de son grand axe; en projetant le point G sur AB, on aurait un point de la courbe, et l'on construirait ensuite la longueur du petit axe (art. 299).

541. Si le demi-cylindre et le quart de sphère représentés sur la fig. 206 étaient en relief, il n'y aurait pas de lignes d'ombre portées sur les surfaces, mais seulement des lignes d'ombre propre qu'il serait très-facile de construire. Nous ne nous arrêterons pas à ce problème; nous voulons simplement faire remarquer que les lignes d'ombre à considérer sur une surface sont différentes, suivant que la partie solide se trouve d'un côté ou de l'autre.

Surfaces de révolution.

V Exercice. — R<iyi)iis (tirerge/i/s. — Points luinineiix dn/i.i une position qiir!(07iqiic.

[PL .\n.)

542. Lorsqu'une surface courbe est éclairée, le lieu des points de contact des rayons qui lui sont tangents forme la ligne qui sépare la partie éclairée de celle qui est dans l'ombre : nous l'appellerons quelquefois séparatrice. On peut la déterminer, soit en coupant la surface par des plans passant par le point lumineux et menant de ce point des tangentes à la section, soit en construisant des plans tangents contenant le point lumineux, et cherchant leur point de contact. Cette dernière méthode est la plus employée; nous allons l'appliquer à la recherche des ombres d'un corps engendré par la révolution, autour de l'axe O'O", de l'aire 0'A'e'A"0" composée d'un rectangle et d'un demi-cercle. Les rayons divergent du point (S, S').

545. Premier procédé : cônes circonscrits. — Proposons-nous de trouver les points de la courbe d'ombre situés sur un parallèle (R>IN, R'31'N') choisi arbitrairement : si la droite "t' g\, tangente de la méridienne en R', accompagne cette courbe dans son mouvement de rotation autour de l'axe, elle engendrera un cône qui sera circonscrit à la surface le long du cercle décrit par le point (R, R') ('); on voit, en effet, qu'en chacun de ses points les plans tangents des deux sur-

( ' ) Une surface est circonscrite à une autre ou lui est inscrite, quand elle a les mêmes plans tangents en tous les points d'une ligne commune. Ces expressions n'impliquent pas d'ailleurs une idée de grandeur relative nécessaire : ainsi la surface que l'on dit circonscrite, parce qu'elle contient l'autre surface dans la disposition spéciale du système géométrique considéré, peut très-bien, pour une autre disposition des données, être renfermée dans celle-ci.

12 LIVRE V. — OMBRKS LINKAIRES.

faces se cont'oiident, parce qu'ils conliennent deux mêmes droites, la tangente du méridien et celle du parallèle. Donc, si par le point lumineux (S, S') nous menons des plans tangents au cône, les points où les génératrices de contact rencontreront le parallèle considéré appartiendront à la courbe d'ombre de la surface de révolution.

Nous prenons pour plan horizontal d'o|)éralion le jilan j'y situé à la liauleur du point lumineux. Tous les tracés seront d'ailleurs projetés sur le pian horizontal qui correspond à la ligne de terre T'A'.

Le cône circonscrit a son sommet sur l'axe (0,0'0"); sa trace horizontale est le cercle Xp.v. Les traces des plans tangents à cette surface sont les tangentes Sp.et Sv; les génératrices de contact ont pour projections horizontales Op. et Ov; enfin les points M et N, où elles rencontrent la projection du parallèle, appartiennent à celle de la courbe : on les relève verticalement en M' et en N'.

Il est important de remarquer que si le parallèle considéré et la trace Xav du cône étaient sur des nappes différentes de cette surface, ce que l'on reconnaîtrait facilement sur le plan vertical, il faudrait prendre les intersections du parallèle avec les prolongements des droites analogues à p.O et vO au delà du point 0.

Pour éviter de tracer les tangentes S;x et Sv, et déterminer avec précision les points de contact /x et v, on décrit un cercle sur OS comme diamètre.

Le point (M, M') est vu sur les deux projections, parce qu'il est en avant du méridien principal, et sur la partie supérieure du corps, au-dessus du parallèle du plus grand rayon. Le point (X, N') est vu sur le |)lan horizontal et caché sur le plan vertical.

ôii. Nous avons trouvé deux points M et N sur le parallèle, parce que le point S est en dehors du cercle X^jiv; la courbe d'ombre n'aurait pas de point sur le parallèle considéré, si la trace du cône auxiliaire renfermait le point S; et enfin elle serait tangente au parallèle, si le cône avait pour trace, sur le plan horizontal xy, le cercle SS, décrit du point 0 comme centre avec OS pour rayon. D'après cela, pour déterminer les parallèles qui sont touchés par la courbe d'ombre, il sulfit de relever le point S, en S',, et de mener par S', des tangentes S', P' et S'j// à la méridienne : chacun des points de contact P' et p' appartient à un des parallèles cherchés. Il résulte d'ailleurs de la construction générale de l'article précédent que les points M et N, où la courbe d'ombre rencontre un parallèle, ont des positions symétriques par rapport au plan méridien SO, et par suite qu'ils ne peuvent se réunir que dans ce plan ; les points [\, V) et (i, i'), où les parallèles des points P' et p' percent le plan SO, sont donc ceux où ils sont touchés par la ligne d'ombre. L'un est le plus élevé de cette courbe, et l'autre celui qui l'est le moins.