CHAPITRE I. — OMBUES SUK LES FIGURES GE0METRALE8. J
II' ExERCiCK. — Ombres d'un iienon. \ Fi^. i85.)
524. On propose de déterminer les ombres d'un perron éclairé par des rayons parallèles à une droite donnée (S5, S'5').
Le plan et l'élévation n'indiquent pas complètement les dispositions du perron, et nous aurions ajouté une coupe transversale, si une perspective cavalière, dont nous nous occuperons plus loin [Jîg. 186), ne levait pas toute incertitude.
Les arêtes projetées horizontalement sur GB séparent les faces éclairées du rampant de celles qui sont obscures. Ces arêtes sont (B, B"B'), (BF, B'), (FH, B'G'j et (HG, G'). Le plan d'ombre de la première est vertical, et toutes les lignes d'ombre qu'il détermine se confondent, en projection horizontale, avec sa trace làp parallèle à S^. Il est facile de déterminer sur les plans horizontaux des différentes marches les traces du rayon qui passe par le point le plus élevé (B, B'; de l'arête. L'une d'elles p est sur le giron ( ' ) d'une marche : c'est le point où le rayon rencontre la surface de l'escalier, et l'extrémité de la ligne d'ombre Bmn.
Le même plan d'ombre coupe les plans verticaux des marches, suivant des verticales qui correspondent aux points m et n. Il est inutile de dire que l'ombre du point (B, B') aurait pu se trouver sur un de ces plans verticaux.
La seconde arête (BF, B') est perpendiculaire au plan vertical; son plan d'ombre coupe le plan horizontal delà troisième marche suivant la droite/?/?, parallèle à BF, et le plan vertical de la quatrième marche suivant la ligne />'B' parallèle à S'/. L'extrémité q' de la partie utile est la trace sur ce dernier plan du rayon [Yq, B'y'j.
L'extrémité inférieure F, B') de la troisième arête (FH, B'G') est dans le plan horizontal de la dernière marche; le rayon passant par l'extrémité supérieure (H, G'j perce ce plan au point h : la trace du plan d'ombre est donc Fuvh. Le rayon {Eh, G' A') rencontre le plan horizontal de la marche précédente au point h, , et par suite la droite h^ li parallèle à huY est la trace du même plan d'ombre sur le plan horizontal de l'avant-dernière marche. En relevant les points i, t, u, v en i' , t', u', ('', et déterminant la trace j' , sur le plan vertical XY, du rayon qui passe par le point (H, G'), on a les extrémités des lignes d'ombre q'i' , t'u' et v'j' : ces trois droites doivent être parallèles.
Le plan d'ombre de la quatrième arête (HG, G') est perpendiculaire au plan vertical, et par suite les lignes de l'ombre portée sont projetées sur sa trace G'y' parallèle a S'i'.
La détermination des ombres portées par les arêtes de la porte, et par celles qui se projettent horizontalement sur la droite AD, ne présente pas de difficultés.
(') Le giron d'une marche est la face sur laquelle on pose le pied.
/( MVnK V. — OMIIIIES I.liNKAlHliS.
Iir ExKlicici;. — Oiiibivi (i uni- iiiaiioii. \l'l. //' cl >■'.)
52o. On propose de déleiiTiiner les ombres d'une maison donnée par un plan el une élévation (//g. 188 et i8<)). Les rayons de lumière sont parallèles à la droite (Ss, S's').
Nous construisons d'abord une projection auxiliaire sur un [ilaii peipendieulaiie aux deux premiers (//g-. 190). l'our avoir la nouvelle projection S',i'du rayon, il sullit de prendre sur l'horizontale du point S' une longueur s"S\ égale à ss, (art. 34).
Chacun des plans qui reçoivent l'onihre est perpendiculaire à l'un des trois plans de projection, et par suite on détermine facilement le point où il est rencontré par un rayon de lumière.
52G. La construction de l'ombre sur le sol j)réseute peu de diilicullés. Nous avons représenté sur la fig. i()5, laite à une échelle triple, qucl([ucs détails qui présentent de l'intérêt.
Les droites y, y et /, i parallèles à Si sont les ombres des arêtes verticales J', J' el r, 1'. L'ombre de l'horizontale J', a' est la parallèle à cette droite menée par le pointy, , de sorte que le rayon de lumière qui arrive au point i-^ rencontre les arêtes I',!' et J',îi:' en des points I'.^ et V. Le segment VJ', porte ombre sur le sol, et le reste de l'arête a'J', sur le plan vertical l'I', [j\ qui forme le larmier; elle y dessine une horizontale qui a son origine au point 1,,.
Des dispositions analogues, et qui par conséquent n'ont pas besoin d'être analysées, se présentent pour les ombres des arêtes 1', [i\ cl L\/.
Si l'on veut avoir les ombres de la façade sans recourir à celles qui sont portées sur le sol, on tracera une droite «p'/o parallèle à Si-, et l'on étudiera la disposition des rayons de lumière dans le plan vertical dont cette ligne est la trace; on obtient sans ditlicullê les ombres fi' , 0' et (?', des |)i)inls («, oc';, {fi, /5', ) et (7, ■/'].
327. Le plan d'ombre de l'arête (//,, /') de la cheminée rectangulaire (^g. 188 el 189) a pour trace sur le plan vertical de projection qui lui est perpendiculaire h droite l'g'e'; il rencontre la droite (AB, A'B'), faite de la maison, au point {g, g'), et le plan voisin des toits des fenêtres le long de la droite (ee, , e'j. On opère d'une manière analogue pour les autres plans d'ombre de la cheminée.
Pour (lélerniiner l'ombre des fenêtres sur le toit, il faut recourir à h\/ïg. 190.
Cylindre, cvne et splièic.
V ExEnciCE. — Ombre d'une clieminée miule. [PI. /.)
328. Les lignes qui limitent l'ombre propre sur les cylindres et sur les cônes sont les génératrices de contact des plans tangents parallèles aux rayons de lumière (art. 132). En général, on détermine très-facilement ces droites.
CH.VPITIŒ I. — O.MI!H[:S SUR LES l'IGUllES GEOMETRALES. 5
La maison représentée sur la /'/. IV a une elieniinée cyrmLlr'Kiue dont les ombres ont été construites sur k's/ig. ujr, 192 et iç)3, qui sont à une échelle triple de celles de la Pi. IV.
La droite IIC, parallèle à S.ç et tangente à la base du cylindre de la cheminée, eslla trace de l'un de ses plans d'ombre. Les projections verticales c'C [fig. 192) et c"C" [fig. 193) du rayon extrême contenu dans ce plan passent par les points c' et c", qui correspondent à c; sa trace C" sur le pUin B"R" fait trouver le point (C, C) où se termine la ligne d'ombre (HC, H'C). La génératrice de contact H'H', prolongée jusqu'au rayon c'C est une ligne d'ombre propre de la cheminée. On détermine de la même manière la trace (LD, L'D'j de l'autre plan d'ombre sur le toit, et la ligne d'ombre propre ( L, L'L', ).
On obtient facilement l'ombre (fi, /5'j portée par un point [(/., c/.' ) du cercle inférieur du couronnement sur le cylindre de la cheminée; la courbe lieu des points [3' s'étend de L', à H',. Le rayon c'C la touche en H',, car il se trouve dans les plans tangents des deux cylindres dont cette courbe est l'intersection.
On détermine sans difficulté sur le cylindre du couronnement les génératrices v\v' et i/, m' qui forment lignes d'ombre.
L'arc [cv, c'<,\) projette une ombre (CV,, CV, , que l'on obtient par points, en considérant les rayons sur le plan vertical de la fig. \çf>. Ou détermine ensuite l'ombre V|V portée par la génératrice (c, v^v' j-, sur l'autre côté de la cheminée, on trouve l'arc DU, et la droite U,tl.
On obtient les ombres portées par l'arc {uev, u't\'') sur les plans PBQ elRBQ, en considérant pour chacun d'eux les rayons sur le plan vertical (jui lui est perpendiculaire.
Les courbes se rejoignent sur l'arête BQ en un point I dont il est utile d'avoir la position d'une manière exacte. Pour l'obtenir, nous considérerons les rayons (B6, B"i') et (Q7, Q"f/"j qui aboutissent à deux points (B, B") et (Q, Q") de cette arête, et nous déterminerons leurs traces & et ^ sur le plan supérieur F"t'" du couronnement de la cheminée. La droite bq de ce plan porterait ombre sur l'arête BQ, et le point i, où elle rencontre le cercle iw, a pour ombi'c le point cherché I. Il n'v a plus qu'à relever i en i' [fig. 192,, et à construire son ombre
On obtient facilement sur le même plan horizontal F'v" les droites bp el br qui porteraient ombre sur les arêtes BP et BR. Par suite d'une coïncidence fortuite, la seconde passe par le point t'; il résulte de là que l'extrémité V de l'ombre de la génératrice ^'\i>' [fig. 192; est précisément sur l'arête BR
ifs- 191)-
529. Lu fig. 194 représente une coupe de la cheminée par un plan diamétral vertical. La droite a"a' et la courbe a'B' sont les ombres de la génératrice (A, A"A') et de l'arc C\B, A'B';. La courbe o'B' appartient à l'intersection du
MVIŒ V. — OMUHKS LIMiAlliLS.
cylindre intérieur de la clieniinéc par le cvliiulre d'ombre du cercle snpérieur ( A1J(/, A'B D'). (les deux cylindres ayant pdur directrice un même cei'cle se coupent suivant une seconde conique qui est nécessairement une ellipse (art. 252, i";.
Il'' lixiaicici:. - Ombres d'un cylindre couché sur un plan lioriyinttd. Roroiis piirallclcs. (Fig. '9'i.)
550. On propose de déterminer les nnihres d'un cylindre de révolution couclié sur un plan horizontal. La génératrice de contact est (Aa, A'a';; les bases circulaires sont projetées verticalement suivant deux ellipses identiques, faciles à construire. Nous avons représenté le cercle s' 9' sur lequel se projette l'une d'elles [ef, e'f) lors(iu'on la rend parallèle au plan vertical par une rotation autour de la verticale du point a où elle touche le i)l:ni horizontal.
Pour avoir les lignes d'ombre, il l'aut mener au cylindre des plans tangents [)arall('les au rayon (SS,, S'S', ). Nous allons reproduire la construction donnée pour ce probli'ine II l'article 121), en ayant égard à la disposition spéciale des données.
D'un point S,, S',) du ravon, nous menons une droite (SjSo, S',S'o) parallèle aux génératrices du cylindre; le plan passant par cette ligne et par SS,, S'S',) coupe le plan vertical B.jS de la première base suivant la ligne (SS,, S'S'o). Les intersections du même plan B.,S avec les plans tangents cherchés ont pour projections verticales les droites B'B', et C'C, parallèlesà S'S'o et tangentes à la projection verticale de la première base. Les génératrices qui forment séparation d'ombre et de lumière sur le cylindre passent par les points de contact B' etC : ce sont les droites (Bb, Wb') et (Ce, Ce'). La seconde est cachée sur les deux projections.
On peut opérer sur le cercle î'-j', et cela est même un peu plus exact. 11 est facile de déterminer la position (S7, S'?'; que prend la droite (SSj, S'S',) quand on la fait tourner autour de la verticale du point S jusqu'à la rendre parallèle au plan vertical. Une tangente parallèle à S'a' fait connaître le point fi que l'on ramène en b'.
551. Ou reconnaît, d'après la direction de la projection SS, d'un rayon, que la seconde base est éclairée et que la première est dans l'ombre. La ligne qui sépare la partie éclairée de celle qui est obscure est formée des génératrices [Bb, B'b'), (Ce, Ce'), et des deux demi-circonférences b'e'c', B'^I'C. L'ombre portée par ce contour mixtiligne sur le plan horizontal se compose des droites B,i,, C,c, parallèles aux génératrices, et des demi-ellipses b,ac,, B,M,C,.
Un point M,, trace d'un rayon (.MM,, MM',), est déterminé par la rencontre de deux droites MM, et M'|M, qui se coupent sous un angle assez aigu. Pour donner plus d'exactitude à la construction, on peut mener pai' le point (.M, M') une
CllAPlTKE I. — OMliUES SUR LES FIGURES GKOMETRALES. 7
droite parallèle à (SS,, S'S',) et chercher sa trace M^ siu" BoS. En menant par M. une droite parallèle aux génératrices du cylindre, on a l'ombre de la génératrice qui passe parle point (M, M'j; l'intersection de cette droite avec la ligne MM, donne le point M,.
Les ombres portées peuvent être considérées comme des projections obliques, et par conséquent la tangente M,K, en un point M, de l'ellipse est l'ombre de la tangente fMK, M'K'y au point correspondant du cercle. Pour avoir la première, il suffit donc de chercher l'ombre K, d'unpoint (K, K'j de la seconde : nous l'obtenons parla méthode qui vient d'être expliquée.
La droite B,6, est tangente à l'ellipse en B,, car elle est l'ombre de toutes les lignes contenues dans le plan tangent au cylindre le long de la génératrice B7/, et notamment de la tangente du cercle au point B'.
Les diamètres du cercle projetés sur B'C etR'L'sont rectangulaires, et par suite leurs ombres B,C, ctR.L, sont des diamètres conjugués de l'ellipse (art. 131),
Ilf Exercice. — Ombre d'un cône percé d'un trou cylindrique. Rarnns parallèles. [PI. J'II.)
552. On propose de déterminer les ombres du cône qui a déjà été représenté sur \^fig. 124. On donne ses deux projections, et l'ombre 5 de son sommet sur le plan horizontal.
Les droites 5rt et 5f/, tangentes à la base du cône, sont les traces horizontales des plans tangents parallèles aux rayons de lumière et les limites de l'ombre portée sur le plan horizontal. Les génératrices de contact (Srt, S'a'), (SJ, S'é?') sont les limites de l'ombre propre. Ces droites se trouvent interrompues aux points (A, A'), 'X,, A', ), (D, D') (D,, D',) ; leurs ombres sont par conséquent limitées aux points correspondants «, «,, (? et 0,.
555. Il faut maintenant construire sur le plan horizontal les ombres des deux courbes de pénétration. On détermine la trace [x du rayon de lumière qui passe par un point M de l'une d'elles, sans recourir au plan vertical, en remarquani qu'elle doit être sur l'ombre sm de la génératrice SMwz. L'ombre de la courbe D.MR passe par les points 0 et 0,, est tangente en ces points à la droite sd limite de l'ombre sur le plan horizontal, et touche aussi la droite *r ombre de la génératrice S/' qui, dans l'espace, est tangente à la courbe de pénétration.
On construit de la même manière l'ombre Xs de la courbe ALT. La lumière arrive sur la partie du plan horizontal qui est comprise dans l'intérieur des deux lignes que nous venons de déterminer.
La direction des génératrices du cylindre creux est donnée, sur chaque plan de projection, par les tangentes communes aux deux courbes de pénétration. En menant du sommet (S, S') une droite (SK, S'K') paralllde à ces lignes, nous
8 LIVRE V. - o.\iniu:s linkaiiiks.
pourrons (lélcniiiiior la- (race SK (l'un plan parallèle aux rayons et aux génératrices (lu cylindre. Les courbes Ô7T et ayr doivent admettre des tangentes communes (f/X et /3e, parallèles à sK : ces droites sont les traces de plans qui sont tangents au cylindre, et paralli'Ies aux rayons de lumière.
351. La ligne d'ombrer sur le cylindre creux est l'intersection de cette surface et du cylindre d'ombre qui a pour directrice la courbe DHM et pour trace liori- /onlale oy-. On construit cette intersection parla mélbode ordinaire (art. *i*i."î, 254). Une droite ;j.y, parallèle iisK, peut être considérée comme la trace d'un plan parallèle aux génératrices rcctilignes des deux cylindres. Ce plan auxiliaire coupe le cylindre d'ombre suivant les droites aM et vN, et le cylindre creux suivant deux droites qui passent par les points M et N. Les points I et i où se rencontrent ces lignes appartiennent à la courbe d'ombre; le premier seul est utile fart. 97).
Quand les points y. et v se réunissent, les points ]\I et I se cou Tondent également. L'origne V de l'arc utile correspond donc au |)oint 9 de la trace du cylindre d'ombre où la tangente est parallèle à^K. L'extrémité G de l'arc utile est sur le rayon de lumière qui rencontre les deux courbes d'entrée et de sortie du cylindre, et qui par conséquent aboutit au point de croisement 7. La courbe d'ombre portée sur le cylindre creux a un autre arc utile 15T, (jue l'on obtient delà même manière.
On relève sans difliculté sur le plan vci lical les lignes d'onibi'e ainsi déterminées sur le plan borizontal.
353. La //g. 197 (Pi. 17) représente, dans la même position par rapport aux plans de projection, et éclairé par les mêmes rayons, le solide retiré du cône. Le périmètre de l'ombre portée sur le plan borizontal est formé des quatre droites au,, £/3, &,<}, <fX et des arcs des courbes déjà déterminées qui se raccordent avec elles. En ramenant les points 1, 9, fi, i en L, F, B, E, puis en L', F', B', E', nous obtenons les génératrices (LF, L'F'j et (BE, B'E') suivant lesquelles la surface cylindri(jue du solide est toucbée par des rayons de lumière : ce sont les limites de l'ombre propre. Ces lignes ne sont pas à considérer sur la^g. 198, parce que les rayons qui les rencontrent sont noyés, près le point de contact, dans la partie solide du cône, et n'ont, par conséquent, qu'une existence purement géométrique. Nous dirons que les droites (LF, L'F') et (BE, B'E';, lignes d'ombre réelles auv \Ajïg. 197, seraient t7>/f/e//c5 sur \vtfig. 198.
Une construction analogue fait trouver sur la partie conique du solide les lignes d'ombre (AA,, A'A',) et (DD,, D'D',).
IV' Exercice. — Onilms it'uiic niche .\/>/icrh/tir. — Rtuons /inrnllè/r.s. (Fig. ao6.)
536. On propose de déterminer les ombres d'une nicbe spliérique semblable à celles des /7i^-. 1G2 et iG3, mais représentée par une élévation sur le plan de
