CHAPITRE II. — OMBRES SUR LES FIGURES AXONOMÉTRIQUES ET CAVALIÈRES

logues N et n auront la même abscisse CO, et des onlonnéesON et on qui seront dans un rapport constant; les équations auront donc la même forme, ce qui prouve la proposition énoncée. Par la construction, les diamètres IJ et ^IM' sont conjugués dans la première ellipse : les diamètres IJ et mm' seront donc conjugués dans la deuxième.

Les tangentes aux points lioinologues N et n rencontrent l'axe IJ en un même point t.

589. Le quatrième sommet n' du parallélogramme NnN'«' appartient à la courbe mn.

Si l'on mène à l'ellipse ]\1NB une tangente YV parallèle à N'«, cette droite sera le contour apparent du cylindre d'intrados; la seconde ellipse devra donc lui être tangente. On voit ainsi que le parallélogramme formé par les tangentes communes aux deux ellipses a ses côtés parallèles à ceux du parallélogramme NnWn'.

590. Les relations qui existent entre les ellipses résultent uniquement de ce qu'elles ont un diamètre commun IJ; elles se coupent d'ailleurs en deux points autres que I et J, et le diamètre sur lequel ils se trouvent jouit, dans le système des courbes, des mêmes propriétés que IJ. Les deux ellipses sont donc reliées par une seconde suite de parallélogrammes ayant également leurs côtés parallèles aux tangentes communes, et dont les diagonales sont les cordes conjuguées au nouveau diamètre.

591. Occupons-nous maintenant de la courbe d'ombre sur le parement du pieddroit. La courbe de tête étant ANB (Jig-. 201), nous traçons dans une direction donnée une sécante PG qui coupe la tangente verticale BT au point P', et l'ellipse d'abord au point P, puis en un autre point très-voisin de P'. Par les points Pet P' nous menons des droites respectivement parallèles 'a des lignes données : leur point d'intersection /5 a|)partient à la courbe. Les milieux G et g des cordes correspondantes des deux ellipses sont sur une droite parallèle à Pp.

Le mode de transformation est facile à saisir, et l'on voit que la nouvelle courbe st une ellipse comme la courbe donnée. Le diamètre SH conjugué aux cordes parallèles à PP' a pour homologue le diamètre sh conjugué à la direction /jP'. Les ellipses ont deux tangentes communes parallèles à P/j.

Dans la transformation, les points de l'ellipse SH sont tous rapprochés de la tangente S'H', et par suite des deux côtés du point de contact B, la courbe sh se trouve entre la tangente et la courbe SH. Si les données étaient telles ([u'un point P s'éloignât de la tangente en passant à sa nouvelle position, tous les points de la courbe primitive s'éloigneraient également de S'H', et près du point B, la transformée seraitdans la concavité de la courbe SH. Enfin si ladroiteP/? était parallèle à S'H', tous les points de la courbe primitive seraient transportés parallèlement à cette ligne, et la transformée traverserait tangeniiellement la courbe SH au point B; elle aurait, par conséquent, un contact du second ordre avec elle.

3o LIVRE V. — OMBRES LINEAIRES.

Ces résultats dépendent évidemment du mode de transformation, et nullement de la nature de la courbe.

If Exercice. — Ombre d'une niche représentée par une pcrspertWc axonométrique . — Rayons parallèles . (Fig. 20S.)

592. Nous nous proposons de déterminer les ombres de la nicbe représentée sur la figure axonométrique 208 reproduite de la PL XLIX de la première Partie de ce Traité. Cette nicbe est la même que celle dont nous avons construit les ombres sur un plan et une élévation (art. 556-341); nous la supposons éclairée par les mêmes rayons.

La /ig. 209 donne les projections des axes, et leurs inclinaisons (art. 82 et 298). Les trois directions principales sont une borizontale du plan de tête, une verticale et une perpendiculaire à ces deux lignes. Nous appelons />/a« de front tout plan parallèle au plan de projection.

Les longueurs des projections du rayon de lumière (Me, M'C) (fig. 206) sur les directions principales sont MC, Ce et M'd. Nous portons ces segments sur A', S', B', S' et C'S' (^g. 209), et les projetant sur XY, nous obtenons les grandeurs en perspective des trois projections d'un rayon. Si maintenant nous prenons sur l'axe Sa:, et sur des parallèles aux deux autres axes des segments Sa, aë et jSfî respectivement égaux aux longueurs A', a,,B'(/3, et C'y, que nous venons de trouver, nous pourrons tracer les droites S(î et S|3 perspectives d'un rayon de lumière, et de sa projection borizontale. Les flècbes R et R, sont tracées parallèlement à ces lignes.

Nous déterminerons la projection S7 du rayon de lumière sur le plan zSx, par une construction analogue à celle qui nous a fait trouver la projection S/3.

595. Les constructions à faire sur la perspective axonométrique sont analogues à celles que nous avons expliquées aux articles 55G et suivants.

Nous traçons la droite A,fl, parallèle h R,, nous élevons la verticale n,a, et nous la terminons au point a sur le rayon issu du point A.

La courbe «A-e est l'intersection du cylindre d'ombre qui a pour directrice la courbe de tête AKB, avec le cylindre de la nicbe.

Le plan vertical qui contient le rayon K^ coupe le plan de naissance et le cylindre de la nicbe suivant les droites K,k, et k,k; l'ombre du point K est donc en k. La tangente de la courbe d'ombre en ce point est l'intersection des plans tangents aux deux cylindres. Le plan tangent au cylindre d'ombre contient In tangente K/h la courbe de tête, et le rayon Kk; sa trace sur le plan de naissance est la droite /mi qui passe par les traces/ et u de ces deux droites. La trace du plan tangent au cylindre de la niche est la droite A-, i en k, à l'ellipse A',eB. Le point de rencontre i appartient à la tangente cherchée.

594. Il faut maintenant déterminer l'intersection de la sphère par le cylindre

CHAPITKEII. — OMBKES SUR LES FlGLilES AXOKOMÉTIUQUES ET CAVAl.lÈltES. 3x

d'ombre. Nous traçons tout d'abord le cercle qui serait le contour apparent de la spbère si elle était en relief : son rayon est égal au demi grand axe de l'ellipse AB. On l'obtient en traçant la droite Ci' (Jig- 208) parallèle à CA (Jïg. 209) (art. 299).

Nous coupons les deux surfaces par des plans auxiliaires parallèles aux rayons de lumière et perpendiculaires aux plans de tête (art. 558).

La projection Sy du rayon de lumière perce le plan de la ligure au point E où il coupe la droite CA trace du plan œSz {/ig. 209) : le point B est la trace de l'axe Sj' perpendiculaire à ce plan; la droite BE est donc la trace du |dan qui projette le rayon So* sur le plan œSz.

Nous menons par le point C {Jig. 208) deux droites CM et CL, respectivement parallèles à ES et EB [Jig. 209) : ce sont les traces du plan auxiliaire passant par le point C, sur le plan de tête, et sur le plan de front qui contient le centre de la sphère. Si nous faisons tourner ce plan auxiliaire autour de CL pour le rabattre sur le plan de front, le cercle suivant lequel il coupe la spbère se placera sur le cercle dont le rayon est Ce. Dans ce mouvement, le point M se transportera en M, sur une perpendiculaire MM, à CL.

Le rayon de lumière qui passe par le point M coupe en un point / l'axe du mouvement. Il devient donc après le rabattement M,l, et il rencontre la sphère au point M' du cercle vL. Lorsque le plan auxiliaire est remis dans sa position, le point M' se projette en p. à l'intersection du rayon M/ avec la perpendiculaire abaissée du point M' sur CL.

Si nous traçons Ca, le triangle CM/:ji. sera la perspective du triangle C".M"p." de \àjig. 206.

L'intersection du plan de la courbe d'ombre et du plan de tête est perpendiculaire au plan auxiliaire; sa projection est donc b droite CG, perpendiculaire à la trace CL de ce plan.

593. Sur hjig. 206, un point n' de la courbe d'ombre e'G est donné par un triangle C"N"n" homothétique à c"M" [j."; le point N" est sur ta courbe A'E'B', et le point C" sur le diamètre PG. D'après cela, si nous traçons une droite NN' parallèle à MC (Jig. 208), puis les lignes N/t et N'/i respectivement parallèles à M/x et à C/J-, le point n appartiendra a la ligne d'ombre Ge, qui est évidemment une ellipse. Cette courbe prolongée passerait par le point p..

La tangente nv est l'intersection du plan de la courbe avec le plan tangent au cylindre d'ombre.

Les rayons CM' et CG (Jig. 206) sont rectangulaires; leurs projections CM et CG ijig- 208) sont donc des demi-diamètres conjugués de l'ellipse AMB. La construction qui fait trouver l'ellipse peG est identique avec la transformation que nous avons exposée aux articles 154 et 514. On voit d'après cela queCG et Cp. sont des diamètres conjugués de cette conique; on peut donc obtenir ses axes

52 LIVRE V. — OMBRES LINEAIRES.

par la constniclion expliquée à l'aiticle 155, mais il est plus simple de remarquer que le grand axe est sur la droite d'inlersection du plan de la courbe d'ombre avec le plan de front du centre de la spbère. Les droites SX et Sp (/Ig. 209), respectivement parallèles à CG et à Cp-, sont les traces d'un plan mené par le point S parallèlement au plan d'ombre, sur les plans xSz et BSE, parallèles l'un au plan de tète, et l'autre aux plans auxiliaires. Ces lignes percentle plan de la figure aux points 1 et p : \c grand axe de l'ellipse p.eG est donc parallèle à la droite lo ; sa longueur est d'ailleurs égale au diamètre de la sphère.

La droite Ce est dans le plan de naissance et dans celui de la courbe. Les traces des plans menés par le point S parallèlement à ceux-là sont AB et Ip [fig. 209). La ligne Ce est donc parallèle à la droite qui irait du point S à celui où les traces AB et \p se rencontrent. Nous n'avons pas tracé cette droite par crainte de confusion.

596. Nous croyons que cet exercice suffira pour montrer comment on doit disposer, sur une perspective axonométrique, les constructions qui correspondent aux divers tracés des figures géométrales. Il n'est pas toujours nécessaire d'établir une tigure auxiliaire représentant les projections de l'angle trièdre des axes, et d'y déterminer les directions des principales lignes, mais cette méthode introduit beaucoup de clarté dans l'épure, et il est bon de l'adopter comme règle générale.

III'" Exercice. — Ombres cVunc niche représentée par une perspective cavalière. — Rayons parallèles. [Fig.no'i.)

597. La niche représentée sur la figure cavalière 2o3 est la même que celle qui vient de nous occuper, mais la direction (R, R,) des rayons est différente. Les lignes perpendiculaires aux plans de front sont réduites à la moitié de leur grandeur; la droite F fait connaître leur direction.

Les droites A, a, et Aa, respectivement parallèles à R, et à R, font trouver l'ombre A^a^a de l'arête A, A sur le plan horizontal A|B,, et sur le cylindre de la niche.

Une génératrice (KA, K,A, ) du cylindre d'ombre perce le cylindre de la niche en un point k que nous déterminons d'après sa projection A,. Les plans tangents aux deux cylindres en k ont pour traces sur le plan de tête KT et T,! : la droite TA est donc la tangente de la courbe en A.

598. Pour construire l'intersection de la sphère par le cylindre d'ombre, nous emploierons, comme précédemment, des plans auxiliaires parallèles aux rayons de lumière et perpendiculaires aux plans de tète. Si du point a^ nous menons les droites a. A' et a^ a' respectivement parallèles à R et à F, nous pourrons tracer la droite A' a' qui sera parallèle aux intersections des plans auxiliaires avec le plan de tète.

ClIAI'lTRIi II. — OMIilU'S SUR I.I'S FIGURtS AXONOMtTlilQUFS ET CAVAI.IKI'.ES. 33

Considérons maintenant le plan auxiliaire passant par le centre fie la sphère : ses intersections avec le plan de tète, le cylindre d'ombre et le plan de naissance sont les droites CM, MD et CD respectivement parallèles aux trois côtés du triangle a' A'a,. Si nous rabattons ce plan sur le plan de tête par une rotation autour de CM, la ligne fuyante CD se placera sur la droite Ce? d'une longueur double, et perpendiculaire à CM; le rayon de lumière MD deviendra Ud, et le cercle de section avec la splière se confondra avec BMAm'. L'ombre de M se trouvera donc au point m'; on la ramènera en m sur ÎMD, en traçant les droites m'W et M'm respectivement parallèles à c?C et à CD. On pourrait, sans déterminer le point M', tracer une droite m' m parallèle à celle qui irait du point rfau point D. L'intersection du plan d'ombre avec le plan auxiliaire est Cm.

Le plan de la courbe d'ombre et le plan de tête sont perpendiculaires aux plans auxiliaires, et notamment à celui qui contient le centre de la sphère; leur intersection est donc la droite CG perpendiculaire a la trace MC de ce plan et passant d'ailleurs par le centre C.

Maintenant, pour avoir un point n de l'ellipse d'ombre, il suffit de tracer les droites N'N, N/i et N'/i respectivement parallèles a CM, Mm elCm. La génération de cette courbe et la construction de ses tangentes donnent lieu aux mêmes observations que dans l'exercice précédent : ainsi Cm et CG sont deux demi-diamèlrcs conjugués de l'ellipse emnG.

On j)ourrait construire cette courbe en coupant la sphèreet le cylindre par des plans de front.

599. Pour avoir le point e où se joignent les deux ellipses, nous remarquons que le plan auxiliaire qui passe par le centre, le plan de naissance et le plan de la courbe d'ombre sur la sphère, se coupent suivant les droites Cm, CD et Ce, dont la troisième seule est inconnue. Les traces de ces trois plans sur le plan de tête sont CM, AB et CG. Donc, si nous les coupons par un plan de front passant par un point quelconque « de Cm, les intersections seront afi parallèle h CM, et des droites passant l'une par |3, l'autre par a, et respectivement parallèles à AB et à CG : leur intersection donnera un point y de la droite Ce.