CHAPITRE III

TRANSI'ORMATION HOMOLOGIQUE.

Notions sur les figures homologiqiies.

400. Nous allons généraliser les constructions que nous avons présentées aux articles 588-391, sur les ellipses produites parles ombres des cercles, et rechercher les relations qui existent entre les projections d'une figure plane et de son ombre sur un plan. Les résultats auxquels nous parviendrons sont utiles nonseulement pour le tracé des ombres, mais encore pour diverses autres constructions, notamment dans la perspective.

Si un plan XYZV ou P' {fig. 221) reçoit l'ombre M' d'une tigure plane M éclairée par un point lumineux S, les relations suivantes existeront évidemment entre les deux figures ÎM et M' :

i" Deux points homologues, c'est-à-dire un point quelconque A et son ombre A', seront sur un rayon de lumière SAA'.

2° Les points qui sont en ligne droite sur l'une des figures auront pour homologues des points de l'autre tigure également en ligne droite.

3° Les points de l'une des figures qui sont sur l'intersection XY des deux plans seront leurs homologues dans l'autre figure.

Si la figure M s'étendait sur le prolongement du plan P au delà de P', un point de cette figure situé au delà de XY ne pourrait pas porter ombre sur P', mais au contraire recevrait l'ombre d'un point de ce plan, qui serait son homologue. Pour que les considérations que nous allons présenter puissent être admises sans restriction, il faut considérer la figure M' comme la projection conique de la figure M, c'est-à-dire comme la section par le plan P' d'un cône qui aurait son sommet au point fixe S, et les différentes lignes de la figure ;M pour directrice ('). Toutefois nous continuerons à employer les mots d'ombre et de rayon de lumière, qui font image et qui montrent la connexion de celte ciuestion avec notre sujet.

401. Les relations que nous avons reconnues entre les figures M et M' existent entre leurs projections melm' sur un plan Q, et par suite :

1° Les figures m et m' se correspondent point à point, et de telle sorte que deux points homologues sont sur des droites qui divergent d'un point s.

{' ) Nous avons déjà eii l'occasion de parler de la projection conique dans une noie de l'article 183.

CHAPITRK III. — TIiA^SFORMATION liOMOLOGIQUE. 35

2" Les points qui sont en ligne droite sur l'une des figures ont pour homologues des points de l'autre figure également en ligne droite.

3" Les points de l'une des figures qui sont sur une certaine droite ccy sont leurs homologues dans l'autre figure.

M. Ponceleta appelé homo!ogiques\e& figures tracées sur un plan et qui ont entre elles les relations que nous venons d'exposer. La droite iiT et le point 5 sont l'oare et le centre d'homologie; les droites qui divergent du point s sont les rayons d'homologie; enfin l'une quelconque des figures est la transformée de l'autre par homologie (' ).

402. La transformée homologique m' d'une figure donnée m est déterminée quand on connaît le centre et l'axe d'homologie, et le points' homologue d'un point quelconque a de la figure m. On peut en efTet obtenir le point // homologue d'un point h choisi arbitrairement, parla rencontre du rayon d'homologie 56, et de la droite aV/ homologue de abd.

405. Quand les côtés de deux triangles ABC, A'B'C, situés dans des plans différents, se rencontrent deux à deux en des pointsD, E, F nécessairement enligne droite, ils déterminent trois plans qui se coupent deux à deux suivant les droites AA', BB' et CC; ces lignes convergent par conséquent vers un point S.

On peut étendre cette proposition à deux triangles abc, a'b'c' situés sur un plan : s'ils ont un axe d'homologie, c'est-à-dire si leurs côtés se rencontrent deux à deux sur une droite ay, ils ont un centre d'homologie vers lequel convergent les droites qui passent parles sommets homologues. Car si nous relevons les triangles sur deux plans P et F' dont l'intersection XY se projette sur a:/, d'après ce que nous venons de voir, les droites qui passeront par les sommets homologues se rencontreront en un point S ; les projections de ces lignes sur le plan des triangles abc et a'b' c' passent donc par la projection s de S.

Réciproquement, deux triangles qui ont un centre d'homologie ont aussi un axe d'homologie, car on voit facilement qu'ils peuvent être considérés comme les projections de deux triangles dont l'un serait l'ombre de l'autre (").

( ' ) Les figures homologiques sont trés-souvenl considérées en dehors des questions d'ombre au.xquelles nous les rattachons ici. M. Poncelet les a présentées comnne résultant de la projection conique (ou perspective) de deux figures homothétiques situées sur un même plan [Propriétés projeriwes, art. 297 et suivants).

(^) Nous donnerons ici l'énoncé d'un double théorème qui peut être utilisé en perspective : Quand deux figures A et A' sont liomutogiqucs d'une troisième B, elles sont homologiques entre elles, /Miircu toutefois que les deux premières homologics aient pour axe la même droite, ou pour centre le même point. Bans le premier cas, les centres d'homologie des figures prises deux h deux sont en ligne droite; dans le second, les trois axes d'homologie passent par un même point.

Pour la démonstration, il faut regarder les figures B, A et A', dans le premier cas, comme les projections d'une figure plane éclairée par deu\ points lumineux et de ses ombres sur un plan ; dans le second, comme les projections d'une figure plane éclairée par un point lumineux et de ses ombres sur deux plans.

3G LIVnE V. — OMBRIiS LINÉAIRES.

404. On peut justifier par ce tliéorème une construction que nous avons établie à l'article 22G par d'autres raisonnements. Il s'agit d'avoir la tangente de la courbe QQ, au point C [fig. 124), et pour cela de faire passer une droite par le point C et par le point éloigné où les deux droites cG et 7«Ese rencontrent. Nous coupons ces lignes par deux droites c/tzK et GFK; nous traçons ensuite 7?iC et cCS, puis par les points K et F deux lignes KS et FI parallèles à wC, enfin la droite GS. A'ous avons ainsi deux triangles wcC et FGI dont les côtés se rencontrent deux à deux au point K, au point S, et au point de KS situé h l'infini; cette droite est ainsi un axe d'bomologie, et les droites mY, cG et CI, rayons d'homologie, doivent se rencontrer en un même point.

40o. On voit que la construction donnée à l'article 68 peut être généralisée, et qu'il n'est pas nécessaire que les triangles ABC et abc [fig. 53) soient semblables, mais seulement que les points de concours de leurs côtés homologues soient en ligne droite. On peut ainsi simplifier quelquefois les tracés, en utilisant des lignes déjà établies.

406. Deux figures bomologiques m et m' [fig. 221 ) peuvent toujours être considérées comme les projections sur un plan Q de deux figures planes dont l'une serait l'ombre de l'autre.

Supposons en effet qu'on relève la figure m et l'axe ay sur un plan quelconque P, le centre s en un point S hors de ce plan et un point a' de m' en A' sur le rayon SA : si l'on fait passer un plan P' par la droite XY et par le point A', qu'on reçoive sur lui l'ombre M' de M et qu'on la projette sur le plan Q, on aura une figure homologique de m, dont le point S et la droite xy seront le centre et l'axe d'homologie, et dont le point homologue de «sera a'; elle se confondra nécessairement avec m' (art. 402).

Il résulte de là que dans les figures bomologiques la courbe homologue d'une section conique est une section conique, et que, quand deux courbes sont tangentes l'une à l'autre, leurs homologues sont également tangentes.

407. Un plan RII'K ou P', mené par le point S parallèlement à P' coupe le plan P suivant une droite II' dont tout point a pour homologue sur P' un point à l'infini. La projection ii' de cette ligne, qui est évidemment parallèle à xy, représente sur la figure 7/2 tous les points de la figure m' qui sont à l'infini : c'est la ligne défaite de la figure m relativement à la figure m'. Pour en déterminer graphiquement un point //, on mène par le centre s un rayon d'homologie parallèle à une droite quelconque ea de la figure m', jusqu'à la rencontre de son homologue ea.

Si la courbe m avait rencontré la droite ii' , son homologue m' aurait eu des branches infinies.

Il y a entre les deux figures un parallélisme complet de propriétés et de relations; par conséquent la figure m a relativement à la figure m une ligne de fuite

CIIAPITUIC i:i. — IT.ANSrOr.MATIOX HOMOLOGIQUE. 3t

jf paiallële à xy : on en détermine un points par une construction analogue h celle que nous avons expliquée, c'est-à-dire en menant par le centre s un ravon d'iiomologie parallèle à une droite ac de la figure r/i, jusqu'à la rencontre de son Iiomologue a' c'.

408. Des points situés sur le plan P' sont en ligne droite, (juand louis homologues du plan P se trouvent eux-mêmes sur une droite; or les homologues des points à l'infini du plan P' sont sur une ligne II', intersection de deux plans : donc tous les points d'un plan situés à l'infini doivent être considérés comme étant distribués sur une droite située elle-même à l'infini (';. En général la direction de cette ligne est indéterminée, mais dans une question spéciale on peut être conduit à lui attribuer une direction : ainsi les points à l'infini du plan Q, regardés comme appartenant à la figure «2', homologue de m, sont sur une droite parallèle kxy.

iOO. Quand les rayons de lumière sont parallèles, les rayons d'humologie le sont également. Le centre s et les lignes de fuite ii' eljf disparaissent à l'infini. Aucun point à distance finie sur l'une des figures ne peut correspondre à un point à l'infini sur l'autre : une ellipse a nécessairement pour homologue une ellipse.

Cette circonstance se présente sur les//^g-. 201 et 202. L'axe d'iiomologie est pour la première S'T, et pour la seconde IJ. Les rayons d'homologie sont parallèles à R; on peut aussi, sur hjig. 202, les prendre parallèles aux génératrices de l'intrados, car sous le rapport géométrique il n'y a aucune différence essentielle entre les cylindres qui se coupent suivant les deux courbes dont nous considérons les projections. Le point M a pour homologue dans le premier mode m et dans le second rn'.

Le demi-cercle de tête d'une niche sphérique, et son ombre sur la sphère, qui est une courbe plane, donnent lieu à des observations analogues {Jig. 2o3, 206 et 208).

Quand les plans Pet P' (Jig. 221) sont parallèles, l'axe .rv et les lignes de fuite s'éloignent à l'infini, et les courbes m et m , projections de deux sections parallèles d'un cône, sont homothétiques. La similitude est donc un cas particulier de riiomologie.

yipplicatloii des théories précédentes aux sections conicjues. Propriétés fondamentales des pôles et des polaires .

410. Considérons deux sections coni(|ues>fetM' tracées sur un plan 'fig. 220^, et le point de concours s de deux quelconques de leurs tangentes communes : nous pouvons regarder M comme la trace d'un cône dont le sommet S se projette

(') M. Ponciîlel [Pinpnc(os pmjrrlh'Cf!, art. 9(5).

38 LIVRE V. — O.MBRIiS LINÉAIRES.

en s, et 'SV comme la trace (Vun cylindre perpendiculaire au plan de la figure que nous supposons horizontal. Chacune de ces surfaces est tangente le long d'une droite aux plans verticaux dont les traces sontsE et sG; elles se touchent donc en deux points; et, comme elles sont du second ordre, leur intersection est composée de deux courbes planes(art. 252, 2°) que nous appellerons N et N' (').

La courbe M peut être considérée comme l'ombre de la conique N éclairée par un point lumineux placé en S. La ligne ]M', projection de N sur le plan de M, est donc homologique avec cette courbe par rapport au point s. On trouve une seconde homologie en regardant les coniques M et M' comme l'ombre et la projection de la ligne W pour des rayons divergents du point S. Les axes d'homologie sont les traces des plans des courbes N et N'.

Nous voyons donc que deux sections coniques tracées sur un plan sont /lorfiologiqucs de deux manières différentes, par rapport au point de concours de deux quelconques de leurs tangentes communes, considéré comme centre d'homologie.

Les points A et a situés sur une droite divergeant du point s sont respectivement homologues de A' et de a' dans un des modes, de a' et de A' dans l'autre. Les points de contact E et G sont toujours homologues de E' et de G'. D'après cela, et en opérant comme il a été dit plus haut, on trouve facilement les axes d'homologie XY, Xj Y, et les lignes de fuite qui leur correspondent (art. 407). L'une des deux lignes de fuite parallèles à X, Y, n'a pas pu être placée sur la figure.

411. Le point de contact de deux sections coniques tangentes peut être considéré comme le point de concours de deux tangentes communes qui se sont confondues en une seule : c'est donc un centre d'homologie des sections coniques.

On peutdémontrer directement cetteproposilion, en s'appuyantsurle quatrième théorème de l'article 252, et raisonnant d'ailleurs comme nous l'avons fait à l'article précédent.

412. Comme application de ces théories, nous allons nous proposer de déterminer le centre et les axes d'une section conique dont nous connaissons trois points N, M, Qijig- 222), elles tangentes NS et MS. Cette question s'est présentée à l'article 238 pour la projection verticale de l'intersection de deux ellipsoïdes de révolution dont les axes se rencontrent, mais nous ne pouvions pas alors développer la solution. Les données de la Jig. 222 sont relevées sur Vàfig, i3'j, de sorte que la première doit^être considérée comme un complément de celle-ci.

Tout cercle qui touche les deux tangentes MS et NS est homologique de la courbe, par rapport au point S, centre d'homologie. On prend les points de contact m ei n homologues de 31 et de N, à une même distance de S; on détermine ensuite le centre 0, et on trace la circonférence.

(') En se donnant la hauteur du sommet du cône au-dessus du plan de la courbe M, on peut se proposer, comme exercice graphique, de déterminer les vraies grandeurs des deux courbes X et N'.

CHAPlTRIi 111. — TlîAiNSFORMATlON liOMOLOGIQUi;. 3c)

On peut prendre à volonté pour point homologue de Q l'un ou l'autre des deux points où le rayon d'iiumologie QS coupe le cercle : nous avons choisi celui qui est indiqué par la lettre r/. Toutes les relations du système sont maintenant déterminées.

il5. Le point situé à riniini sur la sécante MQ a pour homologue le point /, intersection de mq et du rayon d'homologie Si, parallèle àMQ. On détermine de la même manière le point i', homologue du point situé h l'infini sur .MN, et on ti'ace la ligne de fuite ii'. Elle coupe le cercle en deux points /• et t auxquels correspondent sur la section conique deux points à l'infini. Cette courhe est donc une hyperhole, ainsi que nous l'avons dit dans la note de l'article 258.

Les asymptotes étant tangentes à la courbe aux points situés à l'iniini sont homologues des tangentes r/ et ti' du cercle; par conséquent, en reportant sur la droite MN par des rayons d'homologie les points d et e où la sécante mn rencontre les tangentes, on obtient des points D et E qui appartiennent aux asymptotes. Ces lignes sont d'ailleurs parallèles aux rayons d'homologie S/- et St qui passent par les points situés à l'infini; il est donc facile de les tracer et d'obtenir ensuite les axes qui sont leurs bissectrices.

414. On peut disposer la construction d'une autre manière en déterminant l'axe d'homologie.

Les couples de droites homologues déjà établies sur la figure ont leur point de concours hors du cadre, et par conséquent nous devons en tracer de nouvelles, convenablement choisies. Prenons sur la ligne ii' un point/?, et joignons-le à S et à ^ : le point homologue dcp est à l'infini sur Sp, et la ligne homologue de qp est la droite QjS, parallèle à Sp. Le point de rencontre /3 de deux droites homologues appartient à l'axe d'homologie que nous savons être parallèle à la ligne de fuite ii'.

Les tangentes /•'/•et t't rencontrent l'axe d'homologie en /•, et en /,; les asymptotes passent donc respectivement par ces points.

415. Si l'on veut avoir la position exacte du sommet A sur l'axe transverse BB', on déterminera la droite hu, homologue de cet axe, et l'on ramènera sur BB', par un rayon d'homologie, le point a où elle rencontre le cercle. La droite ha passe par le point a de l'axe d'homologie, et par le point h, homologue du point H où BB' coupe MiN. Nous n'avons pas laissé subsister le rayon d'homologie HA, pour ne pas augmenter le nombre des droites qui se croisent au point S.

41G. Nous avons résolu le problème pour le cas où la conique a des asymptotes; il nous reste à établir des relations générales qui permettent d'opérer lorsque la ligne de fuite ne rencontre pas le cercle auxiliaire.

Soit A ij/g-. 223 ou 224) une conique qui doit éprouver la transformation homologique, et ii' la droite dont les points s'éloigneront à l'infini. Deux tangentes Im et In issues d'un point /de celle ligne auront pour liomulogues deux droites parai-

4o LIVRE V. — O.MIîRES I.INÉ VirîliS.

lèles; la sécante mn deviendra donc un diamètre. Le point homologue du centre de la transformée est l'intersection de cette ligne, et d'une autre sécante m' n' déterminée de la même manière.

Une droite mn qui passe par les points de contact de deux tangentes issues d'un point / est dite hpolaire de ce point, et celui-ci est \epôle de la droite.

Nous voyons donc rpie les polaires des différents points de la ligne de fuite passent toutes par un même point qui est homologue du centre de la transformée.

D'après une propriété connue des courhes du second ordre, le point c est sur le diamètre conjugué de H', et sa distance au centre 0 est donnée par la relation

Ocx Ob = Oe!

Quelles que soient la nature de la conique considérée et la position de la ligne «'

dans son plan, la quantité Oe sera réelle, et l'équation fera connaître une grandeur également réelle pour le segment Oc.

Le point c est le pôle de la droite n'ifig. 223), car si l'on suppose que la sécantewn toui'ne autour du point c jusqu'à devenir tangente, les points m et n situés de part et d'autre de ii' se réuniront sur cette ligne, avec le point /, en k ou en k' . Sur h\Jig. 224 les tangentes issues du point csont imaginaires, mais ce point jouit, par rapport au système de la section conique A et de la droite ii', de toutes les propriétés dans lesquelles ces tangentes ne figurent pas : on dit encore que c'est le pôle de la ligne ii', et que cette droite est sa polaire. On peut donc énoncer la proposition que nous avons étahlie plus haut, en disant que, lorsqu'une section conique éprouve la transformation Iwmologique, le pâle de la ligne de fuite est homologue du centre de la transformée.

D'après cela, le point de concours des tangentes //' et //•', pôle de la ligne de fuite ii' [fig- 222), est homologue du centre C de l'hy perhole, et doit se trouver sur la droite (]S.

417. La droite cl et les tangentes tnl et ni [fig. 223 ou 224) deviennent parallèles dans la transformation; les lignes cl et mn sont donc homologues de deux diamètres conjugués. Par conséquent, si l'on a un cercle homologique d'une conique déterminée par certaines conditions, on pourra obtenir des diamètres conjugués de cette courbe, et les points où ils la rencontrent; ce qui permettra de déterminer les axes, dans le cas où elle serait une ellipse, qui est celui que nous avions encore à résoudre.

il8. Les propriétés des sections coniques permettent de ramener dans bien des cas la recherche du centre, des axes, des asymptotes,... d'une de ces courbes, au problème que nous nous sommes proposé à l'article 412 (' ). Nous rappellerons

C) On peut consulter M. Brianchon {Corraspnndnilce sur rÉcole PolyteclinUfie, Ut' vol., [i. 383)^ M. Poncek't [Proprk-tcs pmjariwcs, art. 33S et 339). *

CIIAI'ITIil': III. — TRANSl'OR.MATIO.N llOMOLOGlQUt: . /j I

d'ailleurs que, pour tracer un cercle liomologique d'une section conique, il suflit de connaître sa tangente en un point (art. 411).

419. Toute droite tracée sur le plan d'une conique pouvant être prise pour ligne de fuite dans une certaine transformation liomologique, les raisonnements que nous venons de faire établissent deux théorèmes fort importants :

1° Les polaires des différents points d'une droite passent par le pôle de cette droite;

2° Les pôles des diverses droites qui passent par un point sont sur la polaire de ce point.

Le pôle / d'une sécante mn (Jig. 223) étant le point de concours des tangentes aux points m et n, la même relation subsistera après la transformation liomologique. Ainsi quelque part que l'on place l'axe et le centre d'homologie, le point liomologue de /sera le pôle de la droite homologue de mn. Il en serait de même si la figure était transformée par une projection cylindrique, ou par une projection conique.

Si le point c était le centre de la courbe {//g. 22/1), les points /et /', et par suite la droite ii', s'éloigneraient à l'infini. La polaire du centre est donc la droite sur laquelle on peut concevoir tous les points du plan situés à l'infini (art. 408).

L'rtiplvi de la transformation honiologiqiic comme méthode de recherche.

420. La transformation liomologique est souvent employée comme méthode de recherche et de démonstration. Nous allons établir de cette manière un théorème qui est quelquefois utile dans les constructions.

5/ trois droites AD, BE, CF [fig- 226) divergeant d'un même point V sont coupées par deux sécantes DF et AC, les points de rencontre IM et N des diagonales des quadrilatères ABED et BCFE, et le point de concours Q des sécantes sont en ligne dioite.

Nous construisons une figure adfc liomologique de la proposée, et de manière que la droite homologue de PQ soit à l'infini : la position du centre d'homologie S, et la grandeur Sa du rayon d'homologie de l'un des points sont d'ailleurs choisies arbitrairement. Les droites qui convergent vers les points P et Q ont pour homologues des droites respectivement parallèles à SP et h SQ. Les quadrilatères sont ainsi changés en parallélogrammes, et les points m et n où se coupent les diagonales, se trouvant au milieu de ces lignes, sont sur une droite parallèle à ac et à df. La droite homologue i\L\ passe nécessairement par le point Q qui représente le point où se rejoignent à l'infini les droites de la figure transformée qui sont parallèles à SQ.

Les diagonales du quadrilatère DACF n'ont pas été tracées; elles se croisent évidemment sur la droite MNQ.

Nous avons construit la figure liomologique af. bien que cela ne fût pas néces- IL ' G