CHAPITRE I. — TdEOIUE GÉNÉRAI

surface dè^eloppable csl touchce par toutes les génératrices qui sont dans son plan .

458. Les droites qui touclieiit la directrice B en des points 7i et N, situés de part et d'autre de I et à de petites distances [Jig. 244), rencontrent la droite XY en deux points t et T, placés l'un dans la concavité de A, l'autre du coté de sa convexité. On ne peut mener du premier aucune tangente à A; du second on en mène deux TM et TM, ('); il passe, par conséquent, deux génératrices de la développable par le point N, et il n'en passe pas par le point n. La directrice B forme donc une ligne double d'un côté de I, tandis (ju'elle est parasite de l'autre

Sur \àfig. il\[.\, la courbe A rencontre la droite XY eu deux points E et F, à chacun desquels correspondent deux points limites. La dii'ectrice B est ainsi divisée en quatre arcs IJ,, J,J, JI, et I, I : le premier et le troisième sont parasites, les autres utiles et doubles.

Dans le cas de Va fig. 243, les tangentes menées du point M, à la directrice B sont des génératrices, mais cette courbe n'a sur la développable ni arc double, ni arc parasite.

io9. La réciproque de la proposition que nous avons établie à l'article précédent est vraie; ainsi, si le point I est l'extrémité d'un arc utile 1,1 d'une directrice B, les tangentes aux points voisins n et N auront leurs traces t et T placées de telle manière que de l'une on ne pourra pas mener des tangentes à A, et que de l'autre on en mènera deux : ce qui exige que la tangente de la directrice B en I ait sa trace sur la courbe A.

4G0. Si les courbes A et B sont gauches, les mêmes dispositions se reproduiront dans les mêmes circonstances, c'est-à-dire chaque fois qu'une génératrice El sera tangente à une directrice B. Pour le prouver, on substituera à A sa projection sur son plan osculateur enE, et l'on supposera les points N et n infiniment rapprochés deL

461. En résumé, quand une surface dé^>eloppable est donnée par deux directrices, chacune de ces lignes est en général divisée en parties parasites et en parties utiles et doubles. Il suit de là qu'on ne peut pas prendre inditïéremment pour directrices d'une surface développable deux courbes quelconques tracées sur elle. Ainsi deux cercles situés dans des plans parallèles étant pris pour direc-

(') La directrice A peut avoir une l'orme telle, qu'il soit possible de lui mener des tangentes du point t, mais on en trouverait deux de plus du point T. Le point I serait alors à la limite d'un arc quadruple, par exemple, et d'un arc double. Pour éviter une complication tout h fait inutile dans les problèmes que nous avons à examiner, nous négligerons le cas où la diiectrice a un degré élevé de multiplicité. Ce degré est d'ailleurs le môme sur toute la longueur de la courbe, si l'on a égard aux nappes imagin;iires.

Cette restriction conduit à ne considérer, pour directrices, que des coniques, courbes qui n'uni ni rebi oussements ni inflexions.

Il, 8

58 I.IVl'.i; VI. — SURFACES DEVELOPPAIîLES.

trices, la développahle complète est composée de deux cônes, et ces cercles sont les seules directrices qui déterminent exclusivement le système de ces cônes.

462. Nous allons maintenant démontrer que l'aréle de rebroussement passe à tout point limite d'un arc utile, et qu'elle y a un rebroussement.

Considérons d'abord deux courbes A et B [fig. 2/|o) situées dans un même plan, et supposons qu'elles soient parcourues par deux points M et N mobiles suivant des lois quelconques, mais telles que la vitesse de M soit toujours de même sens, et que celle de N devienne nulle en un point I et cbange ensuite de signe; concevons enfin qu'on joigne par des droites les positions des deux |)oints aux mêmes instants : l'enveloppe de ces lignes passera par le point I, car la droite correspondante lE rencontre de part et d'autre de I la droite qui la précède et celle qui la suit. Si, de plus, la droite lE est la tangente de B au point limite I [fig. 239), elle rencontrera près de ce point, mais d'un même côté, les deux droites entre lesquelles elle se trouve comprise; l'enveloppe aura donc un rebroussement en I.

465. Revenons maintenant a \-a fig. 2]^ : la tangente de la directrice B au point I rencontre la directrice A, et nous avons vu qu'il résulte de là que le point I est l'extrémité d'un arc utile et double de la couibe B. Par conséquent, si nous projetons sur un plan les deux directrices et les génératrices, nous aurons un système géométrique analogue à celui de la^?^. 239. La projection de l'arête de rebroussement enveloppe des génératrices a donc un l'cbroussement, et, comme le plan de projection n'a pas une position déterminée par rapport a cette courbe, elle doit avoir elle-même un rebroussement.

. La droite El, étant une génératrice de la surface, se trouve tangente à l'arête de rebroussement; quand elle est normale à la directrice A, le segment compris entre le point E et l'arête est un maximum ou un minimum.

Nous appellerons sommets d'une développable les points qui sont les extrémités des arcs utiles d'une directrice.

mi. Un plan assujetti à touclier une droite ne peut prendre qu'un mouvement de rotation autour de cette ligne; elle est le lieu de ses intersections successives, et il n'a d'autre enveloppe qu'elle. Il résulte de là que les seules développables dont les génératrices puissent rencontrer une même droite sont des cônes ayant leur sommet sur cette ligne.

465. Une seule directrice suffit pour déterminer une développable, quand on exige que la génératrice la rencontre deux fbis. La surface est alors l'enveloppe d'un plan qui roule sur la courbe en la louchant en deux points. Elle se compose, en général, de plusieurs parties distinctes; ainsi l'intersection de deux cônes du second ordre est rencontrée deux fois par les génératrices de chacune de ces surfaces, et, suivant la position initiale du plan bilangent mobile, son enveloppe sera

GflAPlTIUC I. — THÉORIE GKNIÏRAF.r:. Sq

l'un OU l'autre tie cos cônes. On pourrait même, par celte génération, obtenir deux autres cônes (').

466. Si l'on conçoit que les génératrices d'une surface réglée soient transportées parallèlement à elles-mêmes, de manière à passer toutes par un même point choisi arbitrairement, on aura \e cône directeur de la surface. On peut de même pour un polyèdre développable former wna pyramide directrice, et alors le parallélisme des arêtes entraîne évidemment celui des faces. Nous concluons de là, en passant à la limite, que les plans tangents d'une surface développable sont respectivement parallèles à ceux de son cône directeur. Si on place le sommet en un point de la surface, le cône la touchera le long de la génératrice qui y passe.

Le cône directeur d'une surface réglée peut être considéré comme ayant pour directrice la section de la surface par un plan situé à l'infini.

Nous dirons que le cône directeur est simple, double, triple, .... suivant que chacune de ses génératrices sera parallèle à une, deux, trois, ... génératrices de la surface.

467. Une surface réglée est déterminée, quand la génératrice est assujettie à rencontrer deux directrices A et B, et à être toujours parallèle à l'une des génératrices d'un cône directeur (L [fig. 25o), car la droite de la surface qui passe par le point m d'une directrice A est l'intersection du cône qui a son sommet au point m et B pour directrice, et du cône directeur transporté parallèlement à lui-même de manière que son sommet soit en m.

Si l'on exige que la surface soit développable, une seule directrice A et le cône directeur C [fig. 248) suffisent pour la déterminer, car, d'après ce que nous avons vu à l'article précédent, elle doit être tangente le long d'une génératrice au cône C transporté parallèlement à lui-même, de manière que son sommet se trouve en un point quelconque de A; elle est donc l'enveloppe d'un cône C identique à C, toujours semblablement placé, et dont le sommet parcourt la directrice A.

468. Pour avoir les génératrices G' et G', qui passent par un point donné m de cette courbe, on mène au cône C des plans tangents parallèles à la tangente de la directrice en m; les génératrices de contact G et G, sont parallèles aux droites cherchées. On trouve deux droites quand la tangente ml est du côté de la convexité du cône G'; il n'y en a pas ([uand la tangente est dans la concavité, et alors le point m est sur un arc parasite. Si le point m était l'extrémité d'un arc utile, la tangente mT serait une génératrice du cône et de la développable, ce que nous avons déjà reconnu par d'autres raisonnements (art. 4o8).

Dans le cas où le cône a des inflexions, il pourrait arriver que par une tan-

(') Poncelet a démontré que la développable qui a pour directrice double l'intersection de deux surfaces du second ordre se compose de quatre cônes de cet ordre iPropr. projcct., ait. 611-616).

6o I.IVnE YI. — SURFACES DÉVEf.OPPABLES.

gente MT on put lui mener plus de deux plans tangenis : le poinl m appartiendrait alors à un arc multiple de la directrice.

469. On peut considérer le cône directeur d'une surface développable comme l'enveloppe des positions d'un plan assujetti à passer par un point fixe et à être successivement parallèle aux divers plans tangents de la surface.

En général, les plans tangents d'une surface transportés tous parallèlement à eux-mêmes, jusqu'à passer par un point fixe, ne sont pas tangents h un même cône; ils n'ont pas d'enveloppe, à moins qu'on ne considère comme telle le poinl qui leur appartient à tous. Lorsque ces plans sont tangents à un cône, la surface primitive est développable, car un plan qui roulerait sur elle ne pourrait après chaque position en occuper indifféremment plusieurs autres; obligé de rester parallèle au plan qui dans son mouvement loucberait toujours le cône, les positions qu'il doit successivement occuper sont déterminées, et la surface est leur enveloppe.

470. Le cône directeur sert à résoudre, pour les développables, plusieurs problèmes que nous examinerons rapidement.

1° Plan tangent par un point extérieur. Si l'on prend le point donné pour sommet du cône, le |ilan cliercbé lui sera tangent comme à la développable; sa trace sur un plan quelconque sera donc tangente aux traces des deux surfaces, ce qui permettra de la déterminer. Les tangentes de ces traces en deux points homologues sont parallèles et, en général, elles se confondent pour un certain nombre de couples de points. Une tangente commune dont les points de contact ne seraient pas les traces de génératrices parallèles ne correspondrait pas a un plan satisfaisant aux conditions. On arrive facilement à comprendre les ditTérentes dispositions, en considérant un cône de révolution. Le cône directeur sera identique à celte développable, el l'on devra conduire des tangentes communes à deux cercles : on obtiendra en général quatre droites, dont deux ne seront pas les traces de plans tangents communs.

2° Plan tangent parallèle à une droite. On mène au cône directeur des plans tangents parallèles à la droite, et l'on chercbe les génératrices de la développable qui sont parallèles aux génératrices de contact. Les plans cberchés passent par ces droites et sont respectivement parallèles aux plans tangents du cône.

3" Branches infinies des sections planes. On détermine les génératrices du cône directeur parallèles au plan sécant, et ensuite leurs homologues sur la développable. Les asymptotes sont les intersections des plans tangents le long de ces droites avec le plan sécant.

Ces diverses constructions sont simples quand la détermination du cône directeur ne présente pas de difficulté. Nous aurons l'occasion d'en présenter des applications dans la troisième Partie (art. 970 et suiv.).

471. Nous avons examiné les principales manières de déterminer les surfaces