CHAPITRE II. — THÉORIE GÉNÉRALE

Réciproquement, toute .surface réglée qui jouit de cette propriété est l'enveloppe d'un plan mobile, et peut être développée.

4i6. Chaque face B d'un polyèdre développable contient deux arêtes N et 0 [fig. 234); toutes ces droites se coupent donc deux à deux, et dans le cas général leurs intersections successives forment les sommets d'un polygone abcd..., qui, à la limite, devient une courbe enveloppe des génératrices. Nous voyons donc que les surfaces développables sont précisément celles dont nous nous sommes occupés aux articles 441, 442 et 445, et qui sont engendrées par une droite toujours tangente à une courbe gauche. 11 faut y joindre le cône et le cylindre qui, comme nous l'avons reconnu, sont les limites des polyèdres développables, dont les arêtes sont convergentes vers un même point ou parallèles : ces surfaces n'ont pas d'arête de rebroussement, et l'enveloppe des génératrices se réduit à un point situé à une distance finie ou à l'infini.

447. Une face B du polyèdre développable que nous considérons contient trois sommets a, b el c du polygone formé par les arêtes. On voit, en passant à la limite, que /es plans tangents d'une développable sont oscillateurs de son arête.

Le contour apparent d'une surface développable est formé par les génératrices le long desquelles le plan tangent est perpendiculaire au plan de projection. L'arête de rebroussement étant osculatrice de tous les plans tangents, sa projection a une inflexion au point où elle rencontre la projection de chacune des génératrices du contour apparent (art. 217) (' ).

448. La propriété que les plans tangents aux surfaces développables ont d'être osculateurs de l'arête de rebroussement donne un moyen de construire le plan osculateur d'une courbe (w, m'), en un point donné (M, 51') {/ig. 235).

Nous cherchons les traces horizontales d'un certain nombre de tangentes de la courbe, et nous déterminons ainsi la trace yB de la développable dont cette ligne serait l'arête de rebroussement. Le plan osculateur en (M, M') est tangent à la surface tout le long de la génératrice (Mp., M' p.'); sa trace est donc la droite P tangente en f;. à la courbe yfî.

Si l'on a des moyens géométriques d'obtenir les tangentes des courbes oj et w', la seule incertitude du tracé consistera dans la construction de la tangente P. On pourra employer une courbe d'erreur (art. 100), en ayant soin, au préalable, de déterminer quelques points de la trace '/<? suffisamment éloignés de p., et ensuite de vérifier le tracé par la construction directe de la trace verticale P'.

Pour faire commodément les opérations, il faut que la partie considérée -/c? de la trace n'ait pas de rebroussement, et par conséquent que la ligne de terre ne rencontre pas la courbe w' entre les points extrêmes C et D'. On la déplacerait (art. 49) s'il eu était autrement.

(') Ainsi la droiley'/, a un conlacl du sccomi ordrr avec la courbe À' .\\ (S' Partie, art. 948, //^.SgS).

Nous verrons dans la troisième Partie que l'on peut quelquefois déterminer d'une manière plus précise la position du plan osculateur d'une courbe donnée par ses projections (art. 839-862).

449. Si l'on coupe un polyèdre développable par un plan contenant une arête 0 [fig. 234), l'intersection se composera de cette droite indéfinie, et d'un polygone dont les sommets seront les traces sur le plan sécant des différentes arêtes M, N,

P, Q Les points & et c où les droites N et P rencontrent l'arête 0 seront deux

de ces sommets. De la, et en passant à la limite, on voit que l'intersection d'une développable, avec un plan qui contient une génératrice rectiligne, se compose de cette droite, et d'une courbe qui lui est tangente, au point où elle touclie l'arête de rebroussement.

Une courbe peut donc passer sans rebroussement d'une nappe à l'autre entouchant l'arête (' ). Nous serions parvenu à la même conséquence, en étudiant le cbemin décrit par un point qui se meut sur la génératrice rectiligne, pendant que celle-ci roule sur son enveloppe.

4o0. Si la développable est algébrique et de l'ordre n, un plan contenant une génératrice la coupera, en général, suivant une courbe de l'ordre n — i, qui descendra h l'ordre n — a quand le plan sera tangent, car alors il contiendra deux fois la génératrice de contact. Il suit de là qu'une développable algébrique à arête de rebroussement est au moins du quatrième ordre, car si une telle surface pouvait n'être que du troisième ordre, sa section par un plan tangent serait une droite tangente à la génératrice de contact, c'est-à-dire cette génératrice elle-même. Cbaque génératrice rencontrerait donc toutes les autres, et, comme un même plan est tangent tout le long d'une quelconque de ces lignes, la surface serait un plan.

La développable du quatrième ordre est coupée par un plan tangent quelconque suivant une conique (-).

451. Supposons que l'on coupe une développable par deux plans parallèles P et Q {fig- 2 1 4), et soient A et B les courbes de section. Le cône qui a pour directrices les cercles osculateurs de ces lignes en deux points m et n appartenant à une génératrice G traverse tangentiellement la surface le long de celte droite ('). Toute section faite par un plan dans le cône et la surface développable donnera donc deux courbes osculatrices au point où la génératrice G sera coupée.

Plus le plan sécant que nous pouvons supposer parallèle à P et à Q sera rap-

(') Cette proposition, presque évidente, s'étend à toutes les surfaces qui ont une arête de rebroussement. Nous en avons vu un exemple à l'article 217.

(') Pour élablir l'existence de la développable du quatrième ordre, il suffit d'en donner un exemple. On trouve par un calcul facile que la surface lieu des tangentes à la courbe gauche représentée par les équations :' -t- a j- = o, zj + i- = o, a une équation du quatrième degré.

(') Il est facile de démontrer que deux cercles situés dans des plans parallèles déterminent un cône dont le sommet est sur la liqne des centres.

CIIAPITIU': 1. — TlIliOlUli GÉMiUALli. 55

proche du sommet du cùiie, plus le rayon de courljure de la section faite dans la surface sera petit; il sera nul quand le plan passera par le sommet, et par suite ce point est sur l'arête de rebroussement. Comme d'ailleurs la direction des plans P et Q est tout à fait arbitraire, nous pouvons conclure qu'w«eiW7/ace dcçeloppahle est osculalrice, le long de chacune de ses génératrices, d'une infinité de canes du second ordfe qui ont tous leur sommet au point où cette droite touche V arête de rebroussement, et que les sections faites dans une surface développable par des plans parallèles ont, aux points situés sur une même génératrice, des rayons de courbure proportionnels aux longueurs de cette droite mesurées à partir de l'arête de rebroussement. Si deux sections rencontraient la génératrice considérée de cotés différents du point où efle touche l'arête, la concavité des courbes serait tournée en sens contraire.

Principales tnaiiièrcs de détermitier les dévcloppables et les surfaces réglées en général. Cuiie directeur.

452. Trois directrices A, B et C déterminent une surface réglée, car on obtient sans incertitude les génératrices qui passent par un point m d'une directrice A [fig. 236), en prenant l'intersection des deux cônes qui ont leur sommet en ce point et respectivement pour directrices les courbes B et C. On dit que la surface est circonscrite aux lignes A, B et C.

Les directrices n'ayant entre elles aucune relation nécessaire, il arrivera, en général, que leurs tangentes aux points m, n el p ne seront pas dans un même plan, et par suite que la surface ne sera pas développable (art. 445). Les surfaces développables forment donc une classe spéciale de surfaces réglées.

Les surfaces réglées qui ne peuvent pas être développées sur un plan sont dites gauches. Nous les étudierons plus loin.

453. Une surface est déterminée quand elle doit être de\-eloppable, et que la génératrice rectiligne est assujettie à rencontrer deux directrices données A et B, car le plan mobile dont la surface est l'enveloppe touche toujours les deux courbes; il roule donc sur elles, et cette condition suffit pour fixer ses positions successives.

Si un plan passant par une tangente mT de la directrice A (fig. 25'j) tourne autour de cette droite, il arrivera, en général, que dans un certain nombre de ses positions il touchera la directrice B. Les droites qui vont du point m à chacun des points de contact n et n, sont des génératrices de la développable circonscrite aux deux courbes.

454. Le cône qui aurait son sommet en w et la ligne B pour directrice serait tangent à la développable le long des génératrices G et G, . Cette surface est donc l'enveloppe d'un cône qui a l'une des courbes données pour directrice, et dont le sommet parcourt l'autre courbe.

56 LlVIili VI. — SURFACES DKVKLOPPAIiLliS.

Chacun de ces cônes est une développable dont toutes les génératrices rencontrent les deux lignes A et B, et si nos raisonnements ne nous ont fait trouver que leur enveloppe, c'est que nous avons supposé que le plan tangent de la surface le long d'une génératrice contenait les tangentes des deux directrices aux points où elle les rencontre, ce qui n'a pas lieu dans le cas d'un cône.

C'est en faisant abstraction des cônes que nous avons dit qu'une développable était déterminée par deux direcirices.

Dans les opérations graphiques, on obtient les génératrices G elG,, en menant par la droite ml des plans tangents au cône qui a son sommet en m et B pour directrice.

4oo. Si les directrices A et B sont planes {fig. 242), on leur mènera des tangentes d'un point T pris arbitrairement sur l'intersection XY de leurs plans, puis, joignant les points de contact deux à deux, on obtiendra des génératrices de la surface circonscrite, car deux tangentes TM et TiN peuvent être considérées comme les traces d'un plan tangent à A et à B.

Quand les directrices sont des coniques, à chaque point T correspondent deux tangentes de chaque courbe etcjuatre génératrices de la surface. Les poinIsM, M,, N etN, sont des points doubles (art. 89), et les courbes k et B des lignes doubles de la développable. Si de chaque point de XY on pouvait mener à l'une des directrices trois, quatre, ... tangentes, l'autre directrice serait sur la développable une ligne triple, ([uadruple, . . ., intersection de trois, quatre,... parties de cette surface.

io(î. Quand la directrice A est tangente à l'intersection XY {Jig. 243 j, le point de contact M varie seul avec la position deT, l'autre point M, est fixe, et les génératrices qui en divergent sont toutes dans le plan Q de la directrice B. Par conséquent, si l'on suppose que la directrice A {fig. 242) se meuve dans son plan, au moment où elle sera tangente à XY, la développable circonscrite se décomposera en une autre développable, et un plan, celui de la courbe B, qui pourra d'ailleurs avoir des parties parasites, c'est-à-dire n'être pas entièrement couvert par les droites allant du point M, aux ditférents points de B.

Si la directrice B est du second ordre, lorsque le point T parcourra la droite XY [fig. 243), chacun des layons vecteurs M,N, et M,N décrira le plan Q, et la développable complète contiendra deux fois ce plan.

La forme de la directrice A est sans inlluence sur ces résultais; elle peut être plane ou gauche; il suffit qu'elle soit tangente au plan Q.

457. Supposons maintenant que la directrice A coupe l'intersection XY en un point E {fig. 244) : lorsque le point T mobile sur XY sera en E, la tangente TN et la génératrice !MN seront confondues sur une droite El. Béciproquement, la génératrice MN no peut se placer dans le plan Q que si le point M est en E, et alors elle se confond avec la tangente TN : par conséquent, la directrice plane d'une