CHAPITRE II. — SUllFACES D OMBRE ET DE PÉNOMBRE

leurs (i i) (le a, //- et c'-,

(12) ' Vl — ^—^^ +^ ■ x^ -h 2nx '-p- -- n^ — o.

506. Ces équations permettent de reconnaître la nature des coniques A' et A"' dans les dilïérents cas qui peuvent se présenter. Nous n'examinerons que les principaux.

507. Quand la troisième directrice A" passe par les points 13 et B, ^fig. 261), la valeur de h'- est nulle, et la deuxième directrice se réduit à une droite; la surface est alors formée de deux cônes du second degré dont les sommets F' et F, ont pour coordonnées a, o et d. c' [fig. 263), les longueurs a et c' étant données par les équations (i i). Ces deux points F' et F'; sont les seuls de la deuxième directrice qui soient utiles.

En faisant h' nul dans l'équation (8j, on trouve que la quatrième directrice se réduit comme la seconde à la ligne des sommets.

508. Si la troisième directrice, restant invaiiable de forme, se transporte parallèlement h elle-même, de manière que son centre parcoure l'axe des abscisses, dans deux positions la surface présentera des particularités remarquables.

Quand A et A" sont concentriques, n est nul, et l'on voit par les équations (\ i) que a, h' et c' ont des valeurs infinies : la seconde directrice A' est donc transportée à l'infini. L'équation (12) de A'" devient alors

On voit que cette conique a le même centre que A et A", et que les traces des plans de deux directrices sur le pian de la troisième forment, pour celle-ci, un système de diamètres conjugués.

En faisant différentes hypothèses sur les signes des carrés h-, c" , p- et q'^, on reconnaît que les trois coniques concentriques sont nécessairement deux ellipses et une hyperbole ou trois hyperboles.

Quand les directrices données sont une ellipse et une hyperbole, la troisième conique peut être imaginaire, et alors, comme son plan est réel, la surface ellemême est imaginaire (art. 506).

509. Lorsque la troisième directrice A" touche le plan de la première, n- est égal à/?', et l'on reconnaît par les équations (11) que A' se confond avec A. La surface de la pénombre est alors aplatie, et forme deux fois le plan de la courbe A, qui n'est plus une ligne double de la développable proprement dite, mais une simple section plane n'ayant de remarquable que d'être du second degré. On voit d'ailleurs par l'équation (12) que la quatrième directrice se trouve, comme

n8 LIVRE VI. — SUliFACES DÉVELOPPABIJ S.

la seconde, langente au plan de la première. Ces résultats pouvaient être prévus d'après les considérations présentées à l'article 456.

510. Si l'on donne les troisième et quatrième directrices, c'est-a-dire deux courbes quelconciues du second degré, ayant leurs centres sur la droite d'intersection de lenrs plans, on trouvera deux autres directrices A et A', situées dans des plans parallèles aux diamètres des courbes données, conjuguées avec la droite des centres, et dont la position précise sera fixée par les relations de polarité que nous avons établies; ainsi les points A et 0 [fig. 241) seront les centres de A et de A', si la polaire de A par rapport à A" passe par 0, et si la polaire de 0 par rapport à A" passe par A. Alors on aura