LA AK

OU bien

en posant

LP = p, KG=^^//, LK = /i|, LA = rt.

Résolvant l'équation par rapport à l'abscisse inconnue n ('), on trouve,

an,

Les deux valeurs de n sont les abscisses des points A et 0 ; la position des plans de A et A' est donc déterminée.

Le seul cas auquel nous nous arrêterons est celui où les valeurs de n sont imaginaires, parce que nous avons examiné dans la discussion précédente la disposition de la surface, quand les plans des directrices A et A' sont réels.

La quantité soumise au radical est essentiellement positive quand p- est négatif, et aussi quand p- est négatif, car on reconnaît facilement que l'on peut y faire permuter p- avec p'-. Les plans des deux premières directrices A et A' ne peuvent donc devenir imaginaires que quand les deux dernières A" et A'" rencontrent le diamètre suivant lequel se coupent leurs plans.

En mettant l'éiiuation précédente sous la forme

n.\±4\n\—\p' ^ pY\n\ -^jp — p']

on reconnaît que les valeurs de n sont imaginaires lorsque l'on a

(>) n représente la même longueur que dans les articles précédents, mais avec un signe contraire, parce que l'origine des abscisses a été transportée du point A, qui est inconnu, au centre L de A".

CllAriTHK II. — SURFACES D OMBRE ET DE PliNOMI'.RE. 79

ce qui exige que les points de rencontre P et Q, H et G soient alternes. Dans ce cas, la (léveloppable n'a pas d'aulre ligne double que les directrices A et A" (' J.

oll. Relations entre les segments interceptés sur les génératrices. Nous allons maintenant étudier les relations qui existent entre les longueurs des segments interceptés sur une génératrice par les quatre directrices.

La génératrice qui passe par le point (M, M') [fig. 2G1 et 2G2), dont les coordonnées sont /5 et 7, rencontre la troisième directrice en un point u dont l'abscisse kt est la valeur de x (b)nnée par la première des deux équations (6) (art. 494). Par conséquent, si nous posons

nous aurons

Xg est l'abscisse du point où la même génératrice rencontre la directrice A" ; nous aurons donc, par de simples permutations de lettres.

— - rtR'

Portant dans cette dernière équation la valeur de /3- prise dans l'équation (i), et posant

(') Si l'on a deux coniques A et A' [fig. 264), situées dans deux plans P et Q qui se coupent suivant une droite XY, on peut concevoir que l'on fasse une déformation homologique ou perspective relief, dans laquelle cette ligne s'éloigne à l'inBni. Les plans Pi et Qi, homologvies de P et de Q, seront parallèles, et la développable circonscrite aux courbes Ai et \\ transformées de A et de A', aura, outre Ai et A',, deux lignes doubles planes et du second degré qui pourront être imaginaires. La développable circonscrite à A et A' jouit donc de la même propriété.

Les pôles A et 0 de XY sont homologues des centres de Ai et A', ; les diamètres conjugués parallèles de ces dernières coniques ont pour homologues sur P et Q les droites qui passent par les points A et O, et qui se rencontrent en des points ^ et li de XY, tels que l'un quelconque soit le pôle des droites qui vont des points A et 0 à l'autre.

Les points g et h sont réciproques dans le système des deux coniques A et A'. Les droites A.^ et 0^ d'une part, AA et 0/^ de l'autre, déterminent les plans des directrices A" et A"'.

Le tétraèdre formé par les plans des quatre lignes doubles a ses sommets aux points g, h, A et 0 ; deux quelconques d'entre eux sont réciproques pour les coniques dont les plans se coupent suivant la droite sur laquelle ils se trouvent.

8o LIVRE VI. — SURFACES DÉVELOPPABLES.

on trouve

Les expressions RelR' sont affectées des deux signes; dans la disposition adoptée sur nos figures, elles sont positives pour les génératrices qui appartiennent à la surface de l'ombre et négatives pour celles de la surface de la pénombre, car les abscisses Al et A^des traces de l'une des premières droites sont plus grandes que a, et pour une des dernières ces mêmes longueurs sont plus petites que a. La formule (i3) fait connaître leur rapport ). sans ambiguïté de signe.

Portant la valeur de R' dans l'expression de \g, on obtient

-7— nlK

As: —

On trouve ensuite

On déduit enfin de ces expressions, et de celle ([tii a été obtenue précédemment pour A t,

512. Lorsque l'on établit des relations entre des segments faits sur une même droite, pour que les formules conviennent a la figure, quelle que soit la disposition relative de ses parties, il est nécessaire de regarder un segment comme cbangeant de signe chaque fois que l'ordre dans lequel ses extrémités se présentent est interverti. Afin d'appliquer facilement cette règle, on prend pour origine d'un segment le point représenté par la première des deux lettres qui servent à le désigner, et on le regarde comme étant positif ou négatif suivant qu'à partir de son origine il est dirigé dans un même sens convenu ou en sens contraire. Sur notre tigure celte direction sera celle (jue nous avons adoptée pour les abscisses positives. Dans la formule qui précède, les segments ont leur origine au point A ou au point 0 : ils sont tous positifs.

D'après ce que nous venons de dire, Ag est égal à — ^A; nous aurons donc, en (;hana;eant les signes des serments,

o^U' to

Ici les segments sont négatifs; mais, quand il n'entre dans une formule que des rapports de segments ayant une même origine, on peut ne pas s'inquiéter du signe de chacun d'eux et considérer un rapport comme positif ou négatif, sui-