CHAPITRE II. - SURFACES D OMBRE ET DE PENOMBRE

et, remplaçant A, B et C par leurs valeurs (2), 1^'+ il' + (''■" - "•' }^T, kr, — 2--^(X- — if- -T-au) £ -1 —

I fA 9 \ I n^ h* r^' ^ n^ h^ ^ ' ■'.' rt*

^1- -r-^.,/ ' V" - la^b'p" 'a^b'

Cette équation exprime que la surface (3) est tangente en un point au plan qui louche la développable le long de la génératrice considérée. Une seule des variables auxiliaires, par exemple fj, suffit pour déterminer cette droite; les valeurs correspondantes de 7 et de fi' sont données par les équations (i) et (9) des articles 49i et 498.

Éliminant 7 et le carré de /5', nous trouvons

en posant

Élevons l'équation (4) au carré, portons-y la valeur de fi'- prise à l'article 498, et ordonnons,

Wfi^ - [.MP - ^?^^ {c"-b'"- - i=c-)] fi"- + [P= - N= |;$] = o.

Pour que la surface du second degré soit touchée par tous les plans tangents de la développable. il faut que cette équation soit satisfaite quel que soit fi, et par suite que les coefficients des trois termes soient nuls, ce qui exige que M, N et P soient égaux à zéro. Nous avons ainsi trois équations; en les résolvant par rapport à >.-, /x^ et v^, on trouve

(5) k- = 11' — ait. P.- = o- -f -0-, V- = c- -{ — c.

A toute grandeur de u correspondent des valeurs pour ).-, p.- et v', et par conséquent tout point de l'axe des abscisses est le centre d'une surface du second degré inscrite dans la développable, et ayant d'ailleurs des diamètres conjugués parallèles à nos axes coordonnés.