Quand u est nul, on trouve

X" = O, IJ." -— />', V" = c".

88 I.lVnE VI. — SURFACES DÉVELOPPABLES.

La surface du second degré se réduit alors à la directrice A. La valeur a de m fait de même trouver la seconde directrice A'. Enfin, si l'on donne à u la valeur (lo) de l'abscisse n du centre de A" (art. 50o), on obtient pour ).- et u." les valeurs de p^ et de q-, et v- devient nul. Ainsi donc cbacune des coniques lignes doubles 4^ la développable représente une surface du second ordre inscrite, qui se distingue des autres en ce qu'un de ses trois diamètres conjugués est nul.

Si le centre de la surface inscrite parcourt l'axe des abscisses, à chacune de ses coïncidences avec le centre de l'une des lignes doubles, un des carrés À-, |u.et v° changera de signe, et la surface passera d'un genre à un autre. Quand le centre sera à l'infini, p.' et y^ changeront de signe simultanément.

Une directrice regardée comme une surface aplatie inscrite dans la développable est une aire plane limitée îi la courbe et située du côté de sa concavité, ou du côté de sa convexité, suivant qu'on la rattache à l'une ou à l'autre des deux séries dont elle forme la transition. Ainsi la directrice A est l'aire contenue dans le cercle, ou toute la sut face de son plan sauf le cercle, suivant (ju'on la considère comme le dernier des ellipsoïdes qui ont leur centre à gauche du point A, ou comme le premier des hyperboloïdes qui ont leur centre entre les points A etO(').

o27. Pour toute valeur de l'abscisse u, la surface du second degré inscrite dans la développable représentée sur les ^o-. 1261 et 262 est réelle. Nous allons rechercher si cela tient à une disposition spéciale des directrices A et A', ou s'il en est toujours ainsi. Les équations (5) permettent de résoudre facilement cette question.

Pour qu'une valeur de u détermine une surface inscrite réelle, il suffit que l'un des trois carrés }}, u?, v- soit positif. L'abscisse a de A' peut être regardée comme positive, et par suite X- sera positif lorsque u sera négatif, et lorsqu'il sera positif et plus grand que a. Ainsi donc tout point de l'axe des abscisses autre que ceux du segment AO [fig. 261) est le centre d'une surface réelle du second degré inscrite dans la développable, quelles que soient les coniques directrices A et A'.

Il nous reste à examiner ce qui arrive lorsque l'on suppose à l'abscisse u des valeurs comprises entre o et a.

Si A est une ellipse, le premier terme de chacune des valeurs de;j.- et de v- sera positif, et, comme è" et c'- ne peuvent être négatifs simultanément (car nous éloignons le cas où A' serait imaginaire), nous voyons que l'un au moins des carrés \3? etv- sera positif. On arriverait au même résultat, et par les mêmes raisonnements, si A' était une ellipse.

(') M. Dupin a le premier reconnu que les coniques qui forment les transitions des différents genres dans les séries de surfaces du second degré doivent être considérées comme des surfaces aplaties (Développements de Géométrie, p. 270).

ClIAPlTaE H. — SniiFACES u'OMBRE ET DE PÉNOMBRE. 89

Quand A et A' sont des hyperboles placées de numière que leurs diamètres transverses se correspondent {fig. aSa), deux carrés tels que h- et 6'^ouc- ctc'sont positifs, et la valeur correspondante pour p,^ ou v' est également positive.

Enfin si A et A' sont des hyperboles placées de manière que leurs diamètres transverses ne se correspondent pas, deux carrés tels que &'■' et c- seront négatifs ; après avoir mis leur signe en évidence, on trouve que les conditions pour que nr et v^ soient positifs sont

^ ah'^ ^ uc'

ou (art. 503)

Il < AK, i<> AL,

en désignant, comme sur lay?^. 2G1, par A, K et L les centres de A, de A'" et de A". Dans nos hypothèses, les points K et L sont sur le segment AO.

Si AK est plus petit que AL, aucun des points du segment KL ne sera le centre d'une surface réelle du second ordre inscrite dans la développable; mais si AK est plus grand que AL, un au moins des carrés ur et •/- sera positif, quel que soit u. On a dans ce cas

b'-f- b"' ^ c'-' + f'-' d'où

Cette inégalité signifie que les angles des asymptotes des deux directrices A et A' n'empiètent pas l'un sur l'autre [fig. 2GG). Nous avons vu que la développable est réelle quand cette condition est satisfaite, et imaginaire lorsqu'elle ne l'est pas (art. 521, 4°).

En résumé, quand deux coniques sont situées dans des plans parallèles, tout point de la droite qui passe par leurs centres est le centre d'une surface réelle du second degré inscrite dans la développable qui leur est circonscrite, lorsque cette développable est elle-même réelle ( ' ) .

Quand la développable circonscrite aux coniques A et A' est imaginaire, les équations (3) et (5) représentent encore une série de surfaces du second ordre; mais ces surfaces n'ont pas d'enveloppe (art. 434). La discussion précédente comprend implicitement, pour la position des centres des surfaces réelles, les résultais relatifs à ce cas.

(') Les génératrices de la développable circonscrite sont divisées homograpliiquement par les lignes de contact des surfaces du second ordre inscrites. Ce tliéorème, plus général que celui de l'article 513, peut lui-môme recevoir une extension importante.

Voir notre Ouvrage sur les Surfaces réglées léiraédrales symétritiiics, premier Jlémoire, art. 39, 70, etc.