BC — 9*.!) " " 6AC- 2B

Portant enfin cette valeur de w dans l'équation f<}},on trouve pour représenter la développable l'équation du buitième degré

(m) 2-j\.-Y)' - 18ABCD - B=C^ - 4B'D ^ .'iC\V = o.

Un raisonnement très-simple pouvait faire prévoir que la surface est du buitième ordre : si on la coupe par un plan contenant une génératrice, la section sera composée' de cette droite et d'une courbe qui la rencontrera aux quatre points (réels ou imaginaires) où elle coupe les lignes doubles, et au point où elle toucbe l'arête. Ce dernier doit compter pour trois, parce que la courbe y a un rebroussement et que la génératrice est la tangente du rebroussement. La section est donc formée d'une droite et d'une courbe qui a sept points f réels ou imaginaires) communs avec elle, et qui, par conséquent, est du septième degré. En général, une développable algébrique de l'ordre « a sur cbacune de ses génératrices (n — 4) points doubles ou plutôt des points multiples représentant [n — l\) points doubles.

Les deux équations (8) et (9) ([ui l'cprésenlenl une caractéristique sont du second degré en x, y et z, et ne contiennent ces deux dernières coordonnées qu'à la seconde puissance. Les projections des caractéristiques sur les plans coordonnés qui se coupent suivant l'axe des abscisses sont donc des courbes du secon d ordre (' ).

551. Nous avons vu que cbaque point de la développable appartient à trois enveloppées dont deux sont réunies en une seule; la troisième est l'byperboloide

(' ) Voir le Méninirc déjà cilé sur la throric des polaires réàpruqit

94 LIVRE VI. — SURFACES DÉVELOPPxiBLES.

(lu groupe dont dépend la génératrice qui passe au point considéré. Les liyperboloides des groupes sont donc les seules enveloppées qui ti'aversent la développable : les autres n'ont en commun avec elle que leur caractéristique. Ces liypcrboloides sont aussi les seules enveloppées qui touchent la développable dans la partie voisine de l'arête de rebroussenient, car les huit points de rencontre des génératrices de deux groupes consécutifs sont sur l'intersection des hyperboloïdes de ces groupes : en d'autres termes, les huit points où les génératrices d'un groupe rencontrent l'arête de rebroussenient appartiennent à la caractéristique de riiyperboloide de ce groupe. Les trois enveloppées qui passent par un de ces points sont confondues en une seule, et par suite leurs coordonnées satisfont à l'équation (8), à sa première dérivée (g) et à sa seconde dérivée

lorsque l'on donne à mine certaine valeur; et si l'on élimine entre elles trois le paramètre variable u, on aura les équations de l'arête qui est l'enveloppe des caractéristiques, comme elle est l'enveloppe des génératrices rectilignes, ainsi que nous le savons déjà.

Le système des équations (9) et (10) équivaut à celui des équations (8) et {9); il sulfit donc d'éliminer u entre (9), (10) et (12). On trouve pour représenter l'arête de rebroussement les deux équations du quatrième degré

(i3) B=-3AC^o, C-~-3BD = o.

Les hyperboloïdes des groupes ont pour limites les directrices qui portent les sommets ('). Les caractéristiques des autres surfaces du second ordre inscrites dans la développable se succèdent sans se rencontrer.

Sur la y?»'. 261, l'ellipse, trace horizontale de l'hyperboloïde d'un groupe, serait tangente aux projections des génératrices de ce groupe, et aussi aux génératrices de la développable situées dans le plan horizontal, car elles touchent, comme les autres, toutes les surfaces inscrites.

S52. L'é(|uation (i i) représente, outre la surface, les parties parasites des directrices, car, sous le rapport analytique, elles sont inséparables des parties utiles. C'est ainsi qu'à l'article 494 nous avons trouvé pour trace horizontale de

(') Puisqu'il ne passe par un point de l'espace que trois enveloppées, les sommets ne peuvent appartenir à quatre de ces surfaces réunies en une seule, et par suite une troisième différenliation ne les ferait pas conr.aitre. Quand on indique ce procédé pour déterminer les points de rebroussement de l'ai été d'une enveloppe, on suppose que chaque caractéristique ne louche cette arête qu'en un point, tandis que sur la surface que nous examinons chaque caractéristique est tangente à l'arête en huit points qui donnent naissance aux sommets en se réunissant deux à deux sur des directrices que l'on doit considérer comme les caractéristiques d'hyperboloïdes aplatis.