CHAPITRE II. — SURFACES n'OMBRE ET DE PÉNOMBRE
557. Cas où les surfaces inscrites sont concentriques. Surfaces homofocales. Si une développable est déterminée par deux coniques concentriques A et A", nous prendrons pour axes coordonnés l'intersection de leurs plans, et les diamètres qui dans chacune d'elles sont conjugués avec cette droite; puis désis;nant par u, /5, y et a", P", y" les coordonnées de deux points de ces courbes situées sur une même génératrice, nous aurons
( j3' y . at."^ (5"'
La seconde directrice A' est à l'infini; la quatrième A" est concentrique avec les premières, et située dans le plan des axes des abscisses et des ordonnées z fart. 308).
Les tangentes des directrices, aux points considérés de ces courbes, situés sur une même génératrice, ont pour équations
étudié aux articles 49i et suivants. Nous indiquerons la marche qu'il a suivie et les résultats qu'il a obtenus.
La projection d'une génératrice de la développable sur le plan de A'" est donnée par l'équation
que l'on peut écrire
L'intersection d'un point de celle droite avec celle qui lui est infiniment voisine donne, pour l'ordonnée z„ d'un point de l'arête,
r/P fTP rf/
r/7 il-/' dy ^'^ ~ iâ dk (li ' d-j "*" d-i' d-j
En portant cette valeur de z„ dans les équations d'une génératrice, on détermine les coordonnées .r„ et j„ du point considéré de l'arête de rebroussement, en fonction de la variable indépendante 7. Calculant ensuite les équations des deux cônes qui onl pour directrice l'arête et pour sommets les centres A et 0 de A et de A", on trouve
) ayant la valeur indiquée à l'article .Ml.
,Oo LIVKF, V[. — SURFACES DÉVELOPPABLES.
comme d'ailleurs ces tangentes doivent se couper sur l'axe des ordonnées v, intersection des plans des directrices données, nous avons la relation
Pour qu'un plan
soit tangent h la développable, il faut qu'il contienne les tangentes dont les équations sont ci-dessus, et par conséquent que l'on ait
Considérons maintenant une surface du second degré, ayant son centre à l'origine, et trois diamètres conjugués dirigés suivant les axes. Son équation sera
La condition pour que le plan (3) touche cette surface est exprimée par l'équation (art. 52î>, note)
A-),= + |3=fx- + C-v= = 1.
En portant les valeurs trouvées pour A, B et C, on obtient
Enfin l'élimination des variables auxiliaires a" et 7 a l'aide des équations (i) et (2) donne
Pour que la surface (4) soit inscrite dans la développable, il faut que cette équation soit satisfaite, quel que soit (3 : de là l'ésultent deux équations de condition entre X-, ij^ et v-, et par suite on peut se donner arbitrairement l'un des diamètres conjugués de la surface inscrite.
On peut prendre pour équations de condition deux quelconques de.s liois cidessous; la première est obtenue directement, les deux autres résultent de la combinaison de celles que l'on trouve :
je- q-
