CHAPITRE II. — SURFACES D OMBRE ET DE PÉNOMBRE. lOI

Nous avons vu, à l'arlicle o08, que les carrés des demi-diamètres conjugués de la conique A sont

il résulte donc des équations (5) que les demi-diamètres conjugués des surfaces inscrites sont les coordonnées de coniques qui seraient décrites sur les diamètres conjugués des directrices dirigés suivant les intersections de leurs plans.

Si l'on suppose nul l'un des demi-diamètres )., p. ou v, on trouve que les deux autres sont égaux à ceux de la conique dont le plan est conjugué avec la direction du premier; les trois directrices doivent donc être considérées comme des surfaces inscrites aplaties, ainsi que nous l'avons déjà remarqué dans le cas où deux de ces courbes sont dans les plans parallèles (art. 526).

o58. Si nous portons dans l'équation (4) les valeurs de u.- et de >■ données par les relations (5) en fonction de /*, nous aurons l'équation générale des surfaces du second degré, inscrites dans la développable,

Si maintenant on ordonne l'équation (6) par rapport à /.-, on trouve

en posant

Chaque valeur de X- détermine une surface du second ordre inscrite; il passe donc par un point de l'espace une ou trois surfaces inscrites. Tous les raisonnements de l'article o50 sont par conséquent applicables à la développable que nous étudions, et l'équation (ii) de cet article la représentera, si l'on y regarde les lettres A, B, C et D comme remplaçant les expressions (8).

Quand les deux directrices données se rencontrent, b" est égal à q-, A est nul, et l'équation (i i) réduite à deux termes se divise dans les deux suivantes :

B^ = o, C--4BD = o.

La première donne deux fois les plans tangents communs, et la seconde les

deux cylindres circonscrits aux coniques. Les équations (5) montrent que dans ce cas p.^ est toujours égal à la valeur commune de Ir et de q-, et par suite que toutes les surfaces du second degré inscrites sont Intangentes. Ces résultats étaient faciles a prévoir.

559. Les équations de la caractéristique d'une surface inscrite en fonction de ses demi-axes sont très-simples. On les obtient facilement en considérant cette courbe comme le lieu des points de contact des plans tangents à la développable, avec une surface du second ordre inscrite.

Les coordonnées du point de contact du plan (3) avec la surface (4) sont

portant pour A, B et C les valeurs trouvées à l'article 537, et éliminant a " et y à l'aide des relations (i) et (2), on obtient

Entin l'élimination de jî^ entre ces équations prises deux à deux donne

La construction des projections des caractéristiques peut faire le sujet d'un exercice graphique intéressant.

L'élimination de X, /u. et v entre deux des trois équations que nous venons de trouver, et deux des équations de condition (5), donnerait l'équation de la développable que nous avons obtenue d'une autre manière.

540. Si une développable doit être circonscrite à deux surfaces concentriques du second degré, on prendra pour axes coordonnés les diamètres conjugués communs en direction ( '), etl'on aura deux systèmes de valeurs de X-, p.- et v- qui satisferont aux équations (5); on obtiendra ainsi quatre équations distinctes, à l'aide desquelles on pourra déterminer les quantités b-,c-,p- et q- . Les coniques directrices seront alors connues.

541. A l'article 508, nous avons obtenu la développable circonscrite à deux coniques concentriques, en considérant la surface déterminée par les courbes

(') On démontre par des raisonnements analogues à ceux de l'article S02 que deux surfaces concentriques du second degré ont un système de diamètres conjugués communs en direction. Ces lignes, que Monge a appelées droites diamétrales conjuguées communes, sont toujours réelles. On peut consulter sur cette question un Mémoire de M. Chasles ( Correspondance sur l'Ecole Polytechnique, tome II, page 319).

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(BB,, E'E'i) et PIQ [fig. afJi et 262), et transportant la seconde parallèlement a elle-même, jus(iu'à ce que son centre L, glissant sur la droite A a;, coïncidât avec le centre A de la première. Tant que ces deux points sont distincts, le plan de la conique fCC|, FF',) ou A' est parallèle à celui de (BB,, E'E',); mais, lorsque le point L est confondu avec A, aucune différence essentielle n'existe dans la position des deux directrices A et A", et il n'y a pas de raison pour que le plan de A' (|ui est à l'infini soit considéré comme parallèle au plan de l'une plutôt qu'à celui de l'autre, ou même aa plan de la troisième conique A'" devenue concentrique avec les deux premières.

542. Lorsque la trace d'une surface réglée sur un plan situé à l'infini est une conique double, le cône directeur ayant cette ligne pour directrice (art. 4(}6) est double et du second ordre.

Quand nous disons que la développable circonscrite à deux coniques concentriques possède une coni(]ue double à l'infini, il faut comprendre que, si l'on coupe cette surface par un plan quelconque, et que l'on éloigne le plan parallèlement à lui-même, la section se composera de deux parties que l'on peut concevoir distinctes, et qui se rapprocberont indéfiniment l'une de l'autre, et toutes deux d'une conique dont l'espèce variera suivant la direction du plan. 11 ne s'agit d'ailleurs ici que d'un rapprochement relatifaux dimensions de la courbe, et à l'éloignement du plan sécant, car l'écartement des traces de deux droites parallèles reste invariable quand le plan se transporte parallèlement à lui-même.