CHAPITRE III. — SURFACES D ÉGALE PENTE. IID

, 363, Quand la développablo doit faire avec l'horizon le même angle que le plan de la directrice A, le produit mi est égal à l'unité, et l'on voit par les équations (9) que les courbes A et A'" se confondent. Leur plan fait deux fois partie de la dévcloppable complète, car le cône directeur mobile le touche toujours le long d'une certaine génératrice, et celte droite occupe les mêmes positions lorsque le sommet parcourt la partie supérieure et la partie inférieure de la courbe.

D'après ce que nous avons vu aux articles 456 et 509, la directrice A" doit être tangente au plan des deux autres réunies, et en effet, la droite dans laquelle les droites diamétrales conjuguéesO'IÎ' et O'D' se confondent est nécessairement une asymptote de cette conique.

56i. Lorsque le plan de la directrice A est horizontal, ce qui est le cas de la fig. 2'j2, l'équation (7) de A" se réduit à

Nous avons déjà obtenu cette équation à l'article o50.

On remarquera que les foyers de l'ellipse directrice AB ou A peuvent encore être regardés comme les foyers des projections des deux autres coniques A" et A"', lignes doubles de la développable, car ce sont les extrémités du segment de AB sur lequel se projette l'ellipse E'0"F' ou A" {/ig. ■>-']2), et la différence de leurs distances à un point quelconque de la droite indéfinie CD, projection de l'hyperbole A'", est constante.

565. Les équations (5) de l'article 557 permettent de reconnaître la nature des diverses surfaces du second degré inscrites dans une des surfaces d'égale pente que nous avons étudiées. On trouve des grandeurs infinies pour les trois axes de l'une des inscrites.

Nous avons vu (art. i08) que tous les points d'un plan situés à l'infini sont sur une droite; il en résulte que le lieu des points de l'espace situés à l'infini est coupé suivant une droite par un plan quelconque, et que par conséquent c'est un plan. La surface inscrite (|ui a tous ses points à l'infini est aplatie dans ce plan : c'est la directrice A'.

Etude générdle de la surface d' cgcde pente ci/co/i.scrife à une conique.

566. Nous n'avons encore étudié la surface d'égale pente cii'conscrite à une conique que dans le cas où l'un des axes de cette courbe est dans la direction de la ligne de plus grande pente de son plan. Il n'est pas nécessaire de faire cette restriction pour que la développable soit une variété de celle qui a quatre lignes doubles planes et du second degré, car, le cône directeur étant de révolution, la surface est circonscrite à une seconde coni(|ue située à riniiiii.

Il6 LIVRE VI. — SUIll'ACES DliVELOl'PAELES.

La (race complète de la développable sur le plan d'une ligne double comprend, outre celle courbe, qualre de ses tangenles. Dans les calculs précédenls nous avons pu faire disparaître ces droites; ainsi, à l'arlicleSoS, après avoir supprimé le dernier terme de l'équation (3), nous avons rejeté un facteur a et enlevé ainsi les solutions qui correspondent à la valeur nulle de celle variable auxiliaire, c'està-dire les génératrices tangentes de la ligne double, car l'équation (2; et la seconde des équations (4) déterminent ces droites, lorsque l'on suppose a nul et par suite p égal à ± h. De mémo, à l'article 557, nous avons éloigné un facteur commun |5. Enfin à l'article 19 i, dans le calcul c|ui a fait trouver la seconde des équations (6), nous avons supprimé un fadeur 7- qui correspondait au groupe simple situé dans le plan borizontal. Ainsi donc, si nos calculs ont conduit facilement aux résultats, c'est que, par suite de la symétrie du système géométrique considéré, un facteur représentant les générnlrices tangenles s'est trouvé mis en évidence, et a été rejeté. Cette symétrie ne se présente plus d'elle-même dans le problème qui va nous occuper.

Nous savons que, quand une des lignes doubles est a l'infini, les trois autres sont concentriques, et que les traces des plans de deux quelconques d'entre elles sur celui de la troisième sont deux diamètres conjugués de celle-ci; niais il y a dans la question une donnée nouvelle, la pente des génératrices, et nous ne pouvons pas prévoir son influence sur la position des lignes doubles, ce qui serait nécessaire pour que le facteur qu'il faut supprimer put être mis en évidence. Ce sont les résultats du calcul qui devront nous fixer à cet égard.

567. Nous représentons la conique directrice A par les équations

(2) ■i = y\ry.-^^^..

Si nous désignons, comme précédemment, par i la colangente de l'inclinaison constante des génératrices sur le plan borizontal, l'équation du cône directeur placé de manière à avoir son sommet au point considéré de la directrice sera

(X - af H- (Y - fi)-- = (Z ■-• M« - Nj-B/r.

ou, en ordonnant,

I ( 1 - M- /- a- - 2 IMN /- V.P. -+- ( I - N = /^ ) /5- -f- 2 ( MZ r - X \. v. ^^' \ -t- 2(NZt■■'-Y)/3 + X^-^y--rZ^ = o.

Différentianl l'équation (3) et remplaçant -^^ par sa valeur déduite de l'équa-