Nous coupons la surface par le plan
(6) C (MZ(- - X) - A (NZ/- - Y] ^ o.
En vertu des relations (5) et (6), l'équalion (4) perd deux de ses termes; on peut diviser les autres par (i, et il reste
[B(i - M-r) - A(i - N'rj]^ ~ X(i - N-r; 4- B.MN/- ','3
- C(NZ(:^-Yj-B MZr-Xr^o.
La courbe d'intersection est représentée par l'équation (6) et par celle qui doit résulter de l'élimination de « et de /3 entre les équations (i), (3) et (7). Il est facile de prévoir que nous allons trouver une courbe du second ordre, car le facteur supprimé ft a entraîné avec lui quatre génératrices tangentes; on peut, en effet, vérifier que, la relation (5) étant satisfaite, l'intersection des plans (2) et (6) a pour projection horizontale l'axe des abscisses, d'oîi il résulte que les points do la directrice A pour lesquels l'ordonnée |5 est nulle appartiennent au plan sécant (6), et que les génératrices qui passent à ces points sont situées dans ce plan.
570. Nous introduisons d'abord dans les équations (3) et (7) les valeurs des expressions iMNr et (NZr — Y) prises dans les équations (5) et (6). Nous obtenons ainsi
( (i- M=/-)(Aa=+ 2Cap)-+- i-N^t'-)A/;- + 2(.MZ/--X)(Aa+-(:,5) ^ ' I -+-A(X- + Y-- l'Z- '^o,
(9) [A(i- N=r)- B(i -M-r: (A« + C/5) + (C^- AB (MZj--X) = o.
Pour éliminer a, nous portons dans l'équation (8) les valeurs des binômes
(Aa- 4- iCafi) et [Av. + Cfi) déduites respectivement des é{|uations (1) et (9),
Il8 LIVr.E VI. — SUnFACES DKVELOPPABLES.
et ensuite dans r('(|uiition ij ht valeur de a. obtenue par l'équation (9 . Ces sudstitutions donnent
"Ai -X-r -B^i - M-r)j-;5= - 2(0^ - AB)(MZ/- - Xj-
.^r(,M-f- + A(X--^Y--/-Z-)J'A(i-N=j^)-B 1 -M-i- =0, [A(i - \-r - B(r - M-rV-fî- - ^C- - AB (iMZj- - X)-
En retranchant la première de ces équations de la seconde, [j disparaît, et l'on obtient après quel([ues réductions
\ ''•''^'^'^''(MZr - Xj^ -h ^A(i - NV-! - B (1 ^-Wr)] (10) \ ' r,
f X ^A(i N^/^:^ i-î\F/%-(C- - AB{X^+ Y- - /-Z-']=:o.
L'intersection de la surface du second ordre représentée par cette équation, avec le plan (G), est une conique concentrique avec la directrice, et, comme elle, ligne double de la développable. Eliminant Z entre les équations (G et (10), nous trouvons, pour représenter la projection horizontale de la conique, l'équation
/ (C'-AB)=(NX — MY)' A(i-N^/^]— B(i-M'/M j (CM-ANp + A
V xÎA,:.-X.-.-5.-M.,-'C^-AB[x^.Y=-g^AVy;
Si nous avions éliminé d'abord ]3, nous aurions trouvé deux équations complètes du second degré en x, et l'élimination de cette variable nous aurait donné une équation du quatrième degré en X, Y etZ, dont il aurait fallu extraire la racine pour avoir fio). L'opération aurait donc été peu praticable. Cela tient à ce que, sur la projection horizontale de la directrice A, les quatre points d'un même groupe sont les sommets d'un parallélogramme oblique; de sorte que, les axes étant rectangulaires et celui des abscisses correspondant aux deux points d'un groupe simple (i = o) par suite de l'orientation que nous avons donnée aux axes horizontaux (art. 5G8), chaque groupe ordinaire est caractérisé par une valeur de p-, mais non par une valeur de «-. Nous nous trouvons ainsi, en éliminant d'abord a, dans les mêmes circonstances qu'aux articles 494 etoo7.
571. Il faut maintenant rechercher les conséquences de l'éciuation (5) pour la position des axes cooi'donnés.
En rapportant la directrice A aux axes de sa projection horizontale et à la verticale de son centre, nous pourrons la représenter par les deux équations
CIIAPITRK lil. — SURFACES D'ÉGALE PENTE. I 19
Si nous appelons 9 l'angle dont il faut l'aire tourner les axes horizontaux poulies faire coïncider avec ceux du système au(|uel se rapportent les équations (1], nous aurons
c/! — acos'^ — jjsiu'jj, /5' = asino + [jCoso.
Portant ces valeurs dans les équations (12), et égalant leurs coellieients à ceux des équations (ij et (a), on trouve
. fl sin-o -t- /l'ros^'j ,, a- — /)■ . ,, aVos-o -l- 6'sin- .3 A = '—rrr, ' ' t —- — .-j^ sino cos'j, B = -'~vt, -
M = mcosç -r «siu^, N = " msins -4- «cosç;.
Introduisant enfin ces expressions dans l'équation de condition ( >), on obtient, toutes réductions faites,
(i4j n'-«i/ii'- tang-'j — '«-(i — m-i-)— b'-{i — n-/-) | taug'^ — b-miti- ^^ o.
Il existe donc deux valeurs pour l'angle y qui détermine la position de la projection horizontale de l'intersection du plan de la ligne double représentée par les équations (6) et (i i), avec le plan de la directrice A; le produit de leurs tangentes
est égal à ,-. et par suite les droites déterminées dans le plan de A sont deux
diamètres conjugués de cette conique, comme nous savons que cela doit être.
572. On peut vérifier les formules que nous avons obtenues en y supposant n nulle, ce qui nous ramène au cas étudié dans le paragraphe précédent.
Les deux valeurs de y données par l'équalion (i4) sont o et 90°.
En faisant ç ~ o dans les équations (i3), on obtient
Ar=-, C = o, B = -^, M = /«, Nr=0. L'équation (6) du plan de la courbe devient
I20 LIVRL VI. — SUHFACES Dlivi.LOPPABLlîS.
terme, au lieu du premier et du quatrième : le facteur supprimé eût alors été «; mais, eu égard à la symétrie qui existe jusque-là dans les formules, nous eussions obtenu un système d'équations équivalent à celui des équations (5), (6) et (loj.
573. Pour rendre les différentes coniques comparables entre elles, il faut les rapporter à un même système d'axes, qui sera naturellement celui des équations (12). Gela revient à faire touinerles axes horizontaux de l'angle — p, et par conséquent nous avons entre les anciennes coordonnées et les nouvelles, que nous indiquons par des minuscules, les relations
(i5) X = ^cosî; + j'sino, Y = -- a-sino -1- y coso, Z = c.
Ces valeurs et celles des coefficients données par les équations (i3j doivent être portées dans les équations ! 6) et (i i). La substitution dans l'équation (6) donne pour l'équation du plan de la conique
(16) a-'ini- z — icjtang'f — l>-\nrz —y) = o.
Quelle que soit celle des deux valeurs de l'angle 9 que l'on considère, le plan représenté par l'équation (iG) contiendra la droite dont les équations sont
ni'r z — oi' = o, ni- r — y := o, nx — my = o.
Cette ligne est donc l'intersection des plans des deux directrices A" et A" ; mais elle est évidemment perpendiculaire à la trace horizontale du plan de A, dont l'équation est, d'après (12),
mx -r- ny = o;
par conséquent, l'intersection des plans de deux lignes doubles est perpendiculaire à la trace /lorizontale du plan de la troisième.
o74. Nous allons maintenant transformer l'é(]ualion (i 1) de la projection horizontale de la ligne double; nous en éliminons d'abord r h l'aide de l'équation de condition (5), pour que les constantes soient indépendantes les unes des autres, et que les réductions dont l'équation définitive est susceptible se présentent d'elles-mêmes :
(O- An)'(NX-MY,= rfM--N')-(A- R1MN
CM — AN x|A + ^-(C -AB)(X- + \ -^^^,j^^^
introduisant les valeurs (r3) et ('i5 ; et réduisant séparément les diverses exprès-
CHAPITRK III. — SUnFACES d'ÉGAI.K PI:NTK.
sions (|iii figurent dans l'équation, nous obtenons
[nx — /?()•)' [fû — li\
ma
u-lr(i)ta'sino — iib- coso ' «'//-i m COS9 -t- h siii oj
^ r w6^ CCS o -+-««' sin'j x' -h y- (rt=x sino — /r )cos'^ ' /h cosc; H- h siii'v 1 I G-o'(mcos9 + ?i smo <i i>' a l>' a- — Ir Mir^cos -^i ///«-sino — /n''((i>v |
Oi'tlonnant par rapport aux varial)los et réduisant, on trouve
»x- iny'' mil a- — h-]
roso siti'y //( fus'^ -I- /(siii'v
Cette équation montre (jiie les projections des trois coniques, lignes doubles de la développaltle, ont les mêmes axes en direction. Si nous appelons a, et b, les demi-axes de la eoni(|ue représentée par l'équation que nous venons d'obtenir et considérée comme une ellipse, nous aurons
, , -.m rt' — /)' , ., Il a" — Zi' lanso
(17) fi- — 1 Ij- ~ — --')
d'où
Les coniques projeclions lioiizontales des trois lignes douilles sont liomofocales (' l.
o73. Pour représenter grapliiquement la surface, les données étant l'inclinaison des génératrices, la projeclion borizontale de la directrice A et son plan, on commencera par déterminer les quatre génératrices qui sont tangentes à cette courbe. Comme elles ont une inclinaison connue, et qu'elles sont dans un plan donné, on peut construire des droites qui leur soient parallèles, et on les trace ensuite comme tangentes à A. On obtient ainsi sur le plan horizontal un parallélogramme circonscrit à la projection de A, et analogue à X-Q/,P [fig. 274) ou a A'C'B'D' [fig. 275). Deux des sommets de ce parallélogramme appartiennent à la projection de A", et les deux autres ii la projeclion de A". Les diagonales sont les traces des plans de ces courbes sur celui de A.
Cette construction fait défaut lorsque la surface n'a pas de sommets sur A, car alors on ne peut pas mener à cette directrice des tangentes avant l'inclinaison donnée. Dans ce cas, pour avoir les traces des plans de A et de A'", on peut calculer les valeurs de tang? à l'aide de l'équation (lA)*
(') Les llléorèmes établis aux articles j73 el TiTl ont atiiré l'attention de M. Cremona, qui en a donné des démonstrations très-ingénieuses fondées sur li'S principes de la (iéométrie moderne : .V-i^iW/cc Annales de Malhénintiquex, i8()5, p. 017 1).
